Réseaux Mobiles - Théorie du Trafic

Ce matériel couvre la théorie du trafic dans les réseaux mobiles, un sujet essentiel pour les étudiants en télécommunications et réseaux. Il présente les concepts fondamentaux de l’intensité de trafic, les modèles Erlang B et Erlang C, ainsi que des exemples pratiques pour dimensionner et analyser les systèmes cellulaires.

Intensité de Trafic

Les réseaux mobiles doivent gérer un grand nombre d’utilisateurs avec un spectre radio limité. La théorie du trafic permet d’optimiser l’utilisation des canaux disponibles en attribuant temporairement un canal à chaque appel, puis en le libérant dès la fin de l’appel.

Le concept de trafic a été introduit par le mathématicien danois A.K. Erlang.

Définition du trafic : 1 Erlang correspond à un canal occupé en continu pendant une heure. Par exemple, un canal occupé 30 minutes dans une heure transporte 0,5 Erlang.

Grade of Service (GoS) : C’est la probabilité qu’un appel soit bloqué ou retardé au-delà d’un certain seuil pendant une période donnée (heure de pointe, semaine, mois, année). Par exemple, un système AMPS est conçu pour une GoS de 2 %, ce qui signifie que 2 appels sur 100 sont bloqués en heure de pointe.

L’intensité de trafic A est donnée par la formule :

A = (λ × H) / T

• λ : nombre moyen de demandes d’appel par unité de temps
• H : durée moyenne d’un appel
• T : temps d’observation (souvent 3600 secondes pour une heure)

Pour un seul utilisateur, on note Au et λu. Pour n utilisateurs, A = n × Au et λ = n × λu. Si m canaux sont disponibles, l’intensité de trafic par canal est A/m.

Exemples d’intensité de trafic

Exemple 1 : Un abonné génère 2 appels par heure, chaque appel durant 120 secondes. Calculer l’intensité de trafic :

A = (2 × 120) / 3600 = 0,0667 Erlangs

Exemple 2 : Sur une période de 90 minutes, 10 appels ont été enregistrés avec des durées respectives (en secondes) : 60, 74, 80, 90, 92, 70, 96, 48, 64, 126. Calculer l’intensité de trafic :

Durée moyenne H = (60 + 74 + 80 + 90 + 92 + 70 + 96 + 48 + 64 + 126) / 10 = 80 s
λ = 10 appels / 1.5 h = 6,667 appels/heure
A = (6,667 × 80) / 3600 = 0,148 Erlangs

Exemple 3 : Considérons un réseau sans fil avec :

• Population : 200 000
• Abonnés : 25 % soit 50 000
• Durée moyenne d’appel mobile-fixe ou fixe-mobile : H = 100 s, λ = 3 appels/heure
• Durée moyenne d’appel mobile-mobile : H = 80 s, λ = 4 appels/heure
• Distribution du trafic : mobile-fixe 50 %, fixe-mobile 40 %, mobile-mobile 10 %

Calcul du trafic total et nombre de MSC nécessaires sachant qu’un MSC supporte 1800 Erlangs :

Trafic mobile-fixe ou fixe-mobile : A1 = (3 × 100) / 3600 = 0,0833 Erlangs
Trafic mobile-mobile : A2 = (4 × 80) / 3600 = 0,0889 Erlangs
Trafic total = 45000 × 0,0833 + 5000 × 0,0889 = 4194,5 Erlangs
Nombre de MSC = 4194,5 / 1800 ≈ 3 MSC

Modèles de Trafic : Erlang B et Erlang C

Systèmes d’Erlang B (Appels bloqués sans file d’attente)

Dans ce modèle :

• Nombre infini d’utilisateurs
• Nombre fini de canaux disponibles m
• Pas de file d’attente : si tous les canaux sont occupés, l’appel est bloqué et perdu

La probabilité de blocage (Grade of Service) est donnée par la formule :

GoS = Pr(Appel bloqué) = (A^m / m!) / Σ (A^i / i!) pour i=0 à m

où A est l’intensité de trafic en Erlangs, m le nombre de canaux.

Exemple 1 : Nombre d’utilisateurs pour une probabilité de blocage donnée

Soit un système avec Au = 0,1 Erlang par utilisateur, et une probabilité de blocage de 0,5 %.

• (a) m = 5 canaux
• (b) m = 10 canaux

Solutions :

• (a) A ≈ 1 Erlang, donc n = A / Au = 1 / 0,1 = 10 utilisateurs
• (b) A ≈ 4 Erlangs, donc n = 4 / 0,1 = 40 utilisateurs

Exemple 2 : Dimensionnement d’un réseau cellulaire

Données :

• Durée moyenne d’appel H = 2 minutes
• Nombre total de canaux = 395
• Probabilité de blocage maximale Pb = 1 %
• Facteur de réutilisation de fréquence N = 7

Questions :

1. Nombre de canaux par cellule
2. Intensité de trafic supportée par cellule
3. Nombre d’appels par heure par cellule
4. Nombre de canaux par secteur avec sectoring 120°
5. Intensité de trafic par secteur
6. Nombre d’appels par heure par secteur
7. Nombre d’appels par heure par cellule avec sectoring
8. Effet du sectoring sur la capacité et les interférences

Solutions :

1. Canaux par cellule = 395 / 7 = 57
2. Pour Pb=0,01 et m=57, A = 38 Erlangs (d’après diagramme Erlang B)
3. Appels par cellule = (A × 3600) / (H × 60) = (38 × 3600) / (2 × 60) = 1140 appels/heure
4. Avec sectoring 120°, canaux par secteur = 57 / 3 = 19
5. Pour Pb=0,01 et m=19, A = 9 Erlangs
6. Appels par secteur = (9 × 3600) / (2 × 60) = 270 appels/heure
7. Appels par cellule avec sectoring = 270 × 3 = 810 appels/heure
8. Le sectoring réduit la capacité globale du trafic mais diminue les interférences, augmentant ainsi le rapport signal sur interférence (SIR) pour chaque utilisateur.

Exemple 3 : Conception et dimensionnement

Données :

• Bande de fréquence : 20 MHz
• Largeur de bande par canal simplex : 25 KHz
• γ = 4 (exposant de propagation)
• Chaque utilisateur fait 2 appels par jour de 2 minutes chacun
• Probabilité de blocage Pb ≤ 5 %

Questions :

1. Nombre de canaux duplex disponibles
2. Valeurs possibles de K et N pour SIR ≥ 15
3. Intensité de trafic par utilisateur
4. Intensité de trafic globale par secteur/cellule
5. Nombre maximal d’utilisateurs par cellule

Solutions :

1. Nombre de canaux duplex = (20 × 10^6) / (2 × 25 × 10^3) = 400 canaux
2. SIR = sqrt((3N)^γ / K)
3. Au = (2 appels × 2 minutes) / (24 × 60 minutes) = 1/360 Erlang ≈ 0,00278 Erlang
4. (Données pour Pb et intensité globale non précisées dans la source)
5. (Calcul non précisé dans la source)

Système d’Erlang C (Appels retardés avec file d’attente)

Dans ce modèle :

• Les appels bloqués ne sont pas perdus mais mis en attente dans une file
• La probabilité qu’un appel ne puisse pas accéder immédiatement au système est :

Prob[Retard > 0] = (A^m / m!) / (Σ (A^k / k!) de k=0 à m-1 + (A^m / m!) × (m / (m - A)))

La probabilité que le retard dépasse un temps t est :

Prob[Retard > t] = Prob[Retard > 0] × exp(- (m - A) × t / H)

où H est la durée moyenne d’un appel en secondes, m le nombre de canaux duplex, A l’intensité de trafic.

Exemple Erlang C

Données :

• Cellule hexagonale avec rayon R = 1,387 km
• Nombre total de canaux m = 60
• Facteur de cluster N = 4
• Intensité de trafic par utilisateur Au = 0,029 Erlang
• λ = 1 appel/heure
• Probabilité de blocage (GoS) = 5 %

Questions :

1. Nombre d’utilisateurs supportés par km²
2. Probabilité que le retard dépasse 10 secondes

Solutions :

Surface cellule = 2,5981 × R^2 = 2,5981 × (1,387)^2 ≈ 5 km²
Canaux par cellule = 60 / 4 = 15
Pour GoS = 0,05 et m = 15, A = 9 Erlangs (d’après diagramme Erlang C)
Nombre d’utilisateurs = trafic total / trafic par utilisateur = 9 / 0,029 ≈ 310
Densité d’utilisateurs = 310 / 5 = 62 utilisateurs/km²

Durée moyenne d’appel H = Au / λ = 0,029 h = 0,029 × 3600 = 104,4 s
Prob[Retard > 10 s] = 0,05 × exp(- (15 - 9) × 10 / 104,4) ≈ 2,81 %

Glossaire des termes clés

• Intensité de trafic (A) : Mesure du trafic en Erlangs, égale au produit du nombre moyen d’appels par unité de temps et de la durée moyenne d’un appel, normalisée sur la période d’observation.
• Erlang : Unité de mesure du trafic téléphonique correspondant à un canal occupé en continu pendant une heure.
• Grade of Service (GoS) : Probabilité qu’un appel soit bloqué ou retardé au-delà d’un seuil donné.
• Erlang B : Modèle de trafic pour systèmes sans file d’attente où les appels bloqués sont perdus.
• Erlang C : Modèle de trafic pour systèmes avec file d’attente où les appels bloqués sont retardés.
• Canal : Ressource de communication attribuée à un appel.
• MSC (Mobile Switching Center) : Centre de commutation mobile supportant un certain trafic.
• Sectoring : Technique de division d’une cellule en secteurs pour réduire les interférences.
• Facteur de réutilisation de fréquence (N) : Nombre de cellules dans un cluster pour la réutilisation des fréquences.
• SIR (Signal to Interference Ratio) : Rapport signal sur interférence, indicateur de qualité de la communication.

Points clés à retenir

• La théorie du trafic permet d’optimiser l’utilisation des canaux dans un réseau mobile limité en ressources.
• 1 Erlang correspond à un canal occupé en continu pendant une heure.
• Le modèle Erlang B s’applique aux systèmes sans file d’attente, où les appels bloqués sont perdus.
• Le modèle Erlang C s’applique aux systèmes avec file d’attente, où les appels bloqués sont retardés.
• Le dimensionnement des réseaux cellulaires utilise les diagrammes Erlang pour déterminer la capacité en fonction du nombre de canaux et du GoS souhaité.
• Le sectoring réduit la capacité globale mais améliore la qualité du signal en diminuant les interférences.
• La densité d’utilisateurs supportée dépend de l’intensité de trafic par utilisateur et du nombre de canaux disponibles.