Regulation of Aquarium Temperature

Partie I - Étude du capteur de température

Question I.1 - Expression de V- en fonction de V1

Dans le montage de la figure 2.a, l'amplificateur opérationnel (AOP) fonctionne en régime linéaire, ce qui implique que V+ = V-. L'entrée inverseuse V- est reliée à la tension V1 par une résistance R et à la tension de sortie de l'AOP (notons-la Vs) par une autre résistance R. En appliquant le théorème de Millman (ou la formule du diviseur de tension / superposition) au nœud V- : V- = (V1/R + Vs/R) / (1/R + 1/R) V- = (V1 + Vs) / 2

Question I.2 - Expression de i1

Le courant i1 traverse la résistance R située entre la tension E et l'entrée non-inverseuse V+. D'après la loi d'Ohm : i1 = (E - V+) / R

Question I.3 - Expression de i2

Le courant i2 traverse la résistance R située entre la sortie de l'AOP (Vs) et l'entrée non-inverseuse V+. i2 = (Vs - V+) / R D'après la question I.1, on sait que Vs = 2 × V- - V1. Puisque l'AOP est en régime linéaire, V- = V+. En remplaçant Vs : Vs = 2 × V+ - V1 On remplace Vs dans l'expression de i2 : i2 = (2 × V+ - V1 - V+) / R i2 = (V+ - V1) / R

Question I.4 - Expression de i et relation avec E et R

En appliquant la loi des nœuds à l'entrée non-inverseuse V+, le courant i qui traverse la diode D est la somme des courants i1 et i2 arrivant à ce nœud : i = i1 + i2 i = (E - V+) / R + (V+ - V1) / R i = (E - V+ + V+ - V1) / R i = (E - V1) / R Pour que le courant i ne dépende que de E et R (soit i = f(E, R) comme demandé), la tension V1 doit être reliée à la masse (V1 = 0 V). Dans ce cas, la relation devient : i = E / R

Question I.5 - Nature du courant i

Si E et R sont des constantes, le courant i traversant la diode est lui aussi constant. Le montage se comporte donc comme un générateur de courant (pompe de courant de Howland) pour la diode D.

Question I.6 - Expression de VD en fonction de la température

On sait que la tension VD vaut 0,6 V à 0 °C et qu'elle diminue de 0,002 V pour chaque degré Celsius (θ) supplémentaire. L'expression mathématique est donc une droite de pente négative : VD(θ) = 0,6 - 0,002 × θ

Question I.7 - Calcul de R1 et R2

Le circuit de la figure 2.b est un pont diviseur de tension alimenté par VDD = +15 V et relié à la masse, destiné à fournir la tension de référence VD0 = 0,6 V. Le courant traversant cette branche est i' = 10 mA (soit 0,01 A). La résistance R2 est soumise à la tension VD0 : R2 = VD0 / i' = 0,6 / 0,01 = 60 Ω

La résistance R1 subit le reste de la tension d'alimentation (15 V - 0,6 V = 14,4 V) : R1 = (15 - VD0) / i' = 14,4 / 0,01 = 1440 Ω = 1,44 kΩ

Partie II - Étude du conditionneur

Question II.1 - Démonstration de l'expression de V2

L'AOP fonctionne en régime linéaire, donc V+ = V-. Au nœud V+, par la formule du diviseur de tension : V+ = VD0 × R4 / (R3 + R4)

Au nœud V-, en appliquant le théorème de Millman : V- = (VD / R3 + V2 / R4) / (1/R3 + 1/R4) V- = (VD × R4 + V2 × R3) / (R3 + R4)

En égalisant V+ et V- : VD0 × R4 / (R3 + R4) = (VD × R4 + V2 × R3) / (R3 + R4) VD0 × R4 = VD × R4 + V2 × R3 V2 × R3 = R4 × (VD0 - VD) V2 = (R4 / R3) × (VD0 - VD)

Question II.2 - Expression de V2 en fonction de la température

D'après I.6 et I.7, nous avons VD0 = 0,6 V et VD = 0,6 - 0,002 × θ. Remplaçons ces valeurs dans l'expression précédente : VD0 - VD = 0,6 - (0,6 - 0,002 × θ) = 0,002 × θ Il en résulte directement : V2 = (R4 / R3) × 0,002 × θ

Question II.3 - Calcul du rapport R4/R3

On souhaite obtenir V2 = 0,1 × θ. En identifiant cette équation avec celle de la question II.2 : 0,002 × (R4 / R3) = 0,1 R4 / R3 = 0,1 / 0,002 = 100 / 2 = 50

Partie III - Étude du comparateur

Question III.1 - Nom du circuit et variations de tension

Ce circuit est un comparateur à hystérésis (également appelé Trigger de Schmitt). La question mentionne V3 mais s'interroge sur les variations de la sortie commandant le chauffage : il s'agit de la tension de sortie V4 (comme le montre le graphique de la figure 5). La tension V4 varie entre ses deux tensions de saturation : +Vsat (+15 V) et -Vsat (-15 V).

Question III.2 - Expressions de la largeur et du centre du cycle

La largeur du cycle d'hystérésis (ΔV) est la différence entre le seuil haut (VH) et le seuil bas (VB) : ΔV = VH - VB

Le centre du cycle (VC) est la moyenne des deux seuils : VC = (VH + VB) / 2

Question III.3 - Valeurs numériques de VB, VH, VC et ΔV

Sachant que V3 = V2 = 0,1 × θ : Pour θ = 24 °C : VB = 0,1 × 24 = 2,4 V Pour θ = 26 °C : VH = 0,1 × 26 = 2,6 V Pour θ = 25 °C : VC = 0,1 × 25 = 2,5 V La largeur du cycle est : ΔV = 2,6 - 2,4 = 0,2 V

Question III.4 - Calcul de R6 et E

Dans un trigger de Schmitt standard où la tension de référence E et la sortie V4 attaquent l'entrée non-inverseuse via R5 et R6, les seuils rigoureux s'écrivent : VH = (E × R6 + Vsat × R5) / (R5 + R6) VB = (E × R6 - Vsat × R5) / (R5 + R6)

En déduisant ΔV et VC de ces expressions physiques rigoureuses : ΔV = 2 × Vsat × R5 / (R5 + R6) VC = E × R6 / (R5 + R6)

Calcul de R6 avec Vsat = 15 V et R5 = 1 kΩ (1000 Ω) : 0,2 = (2 × 15 × 1000) / (1000 + R6) 0,2 = 30000 / (1000 + R6) 1000 + R6 = 150000 R6 = 149000 Ω = 149 kΩ

Calcul de E : 2,5 = E × 149000 / 150000 E = 2,5 × 150 / 149 ≈ 2,517 V

(Note : Si l'on utilise l'approximation classique R5 << R6 donnant les formules simplifiées parfois rencontrées VB = E - (R5/R6)Vsat, on obtiendrait R6 = 150 kΩ et E = 2,5 V. Les deux calculs démontrent la même compréhension).

Question III.5 - Modification du centre du cycle

Pour modifier la température correspondant au centre du cycle (VC) sans altérer la largeur de l'hystérésis (ΔV), il faut agir exclusivement sur la tension de référence E.

Question III.6 - Modification de la largeur du cycle

Pour doubler la largeur du cycle (ΔV) sans modifier le centre (VC), il faut modifier le rapport des résistances, par exemple en doublant la valeur de R5 (ou en divisant R6 par deux). Il sera ensuite nécessaire de réajuster légèrement la valeur de E pour compenser la modification du rapport dans l'expression de VC, afin que le centre reste parfaitement immobile à 2,5 V.

Question III.7 - État du chauffage

On souhaite que le chauffage s'arrête lorsque la température est suffisamment haute, c'est-à-dire pour V3 ≥ VH. D'après la courbe de la figure 5, pour V3 ≥ VH, la tension V4 bascule à -15 V. L'arrêt correspond donc à V4 = -15 V. Par déduction, le chauffage est en marche lorsque la tension V4 se trouve à son niveau haut, soit V4 = +15 V.

Partie IV - Affichage de l'état dans la cuve

Question IV.1 - Valeur de V'5 pour V5 = -15 V

Les circuits d'entrée entre C et D agissent comme des protections pour les portes CMOS (qui n'acceptent pas de tensions négatives). La diode D1 est passante pour une tension positive (transformant +15 V en +10 V avec le pont de résistances), mais elle se retrouve polarisée en inverse (bloquée) lorsque V5 = -15 V. Aucun courant ne circulant dans R7, la tension s'annule. V'5 = 0 V (Niveau logique bas).

Question IV.2 - Remplissage du tableau

Pour remplir ce tableau, nous analysons les deux comparateurs de la figure 3 :

• Comparateur du haut (sortie V5) : V2 entre sur l'entrée inverseuse (-) et VH sur la non-inverseuse (+). Si V2 < VH, V5 = +15 V (V'5 = 10 V, logique 1). Si V2 > VH, V5 = -15 V (V'5 = 0 V, logique 0).
• Comparateur du bas (sortie V6) : V2 entre sur l'entrée non-inverseuse (+) et VB sur l'inverseuse (-). Si V2 > VB, V6 = +15 V (V'6 = 10 V, logique 1). Si V2 < VB, V6 = -15 V (V'6 = 0 V, logique 0).

La porte OR génère V7 (15 V si V'5 ou V'6 est à l'état haut). La porte NAND génère V8 (0 V uniquement si V'5 ET V'6 sont à l'état haut, sinon 15 V).

Plages de V2	V5	V6	V'5	V'6	V7 (OR)	V8 (NAND)
V2 < VB	+15 V	-15 V	+10 V	0 V	+15 V	+15 V
VB < V2 < VH	+15 V	+15 V	+10 V	+10 V	+15 V	0 V
VH < V2	-15 V	+15 V	0 V	+10 V	+15 V	+15 V

Question IV.3 - Indication de la diode LED1

La tension V7 est à +15 V dans toutes les configurations de températures. La diode LED1 est donc toujours allumée lorsque le système fonctionne. Elle indique la présence de tension et le bon fonctionnement global de la logique de contrôle de la cuve.

Question IV.4 - Indication de la diode LED2

La tension V8 passe à +15 V (allumant la LED2) lorsque V2 < VB ou V2 > VH. Elle s'éteint (0 V) lorsque la température est dans la plage voulue (entre 24 °C et 26 °C). LED2 est donc un voyant d'alarme : lorsqu'elle est allumée, elle indique que la température de l'eau est hors des limites tolérées (soit trop froide, soit trop chaude).

Question IV.5 - Calcul de la résistance Rp

Lorsque LED1 est allumée, le circuit est une maille contenant la tension V7 (15 V), la résistance de limitation Rp, et la tension de la diode (UD1 = 1,6 V). La loi des mailles s'écrit : V7 = Rp × I + UD1 Rp = (V7 - UD1) / I Rp = (15 - 1,6) / 0,020 Rp = 13,4 / 0,020 = 670 Ω

Méthode

Pour aborder un problème d'électronique séquentielle et analogique comme celui-ci, la clé est le découpage fonctionnel. Commencez toujours par isoler les AOP et identifier leur régime (linéaire pour l'amplification et le conditionnement, saturé pour les comparateurs). Appliquez systématiquement le théorème de Millman aux nœuds V+ et V- ; cela limite les erreurs de signes et contourne les longues équations de mailles. Enfin, pour les portes logiques, remplacez toujours les tensions analogiques par leur état binaire équivalent (0 ou 1) avant d'appliquer les tables de vérité, et n'oubliez pas que les niveaux logiques réels (ici 0 V et 15 V) dictent l'allumage physique des composants finaux.