Problèmes de Mathématiques

Ce document présente un problème de mathématiques sur les ensembles normaux pour une application entre parties d'ensembles finis. Il s'agit d'un exercice qui teste la maîtrise des propriétés des applications entre parties, les inclusions, les cardinaux, ainsi que la construction d'une bijection par récurrence.

Exercice 1

On considère une application f de P(E) dans P(F), où E et F sont deux ensembles finis de même cardinal, vérifiant :

• f(∅) = ∅
• ∀ A, B ∈ P(E), f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

On demande de montrer que pour tous A, B ∈ P(E), l'inclusion A ⊂ B entraîne f(A) ⊂ f(B).

Solution :

Soient A et B deux parties de E telles que A ⊂ B. Cette inclusion s'exprime aussi par A ∪ B = B.

En appliquant f, on obtient :

f(B) = f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

Cette égalité implique que f(A) ⊂ f(B).

Réponse : Pour tous A, B ∈ P(E), A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B).

Exercice 2

En déduire que pour tous A, B ∈ P(E), on a :

f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B).

Solution :

On sait que A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B. Par l'exercice précédent, on a donc :

f(A ∩ B) ⊂ f(A) et f(A ∩ B) ⊂ f(B).

Par conséquent :

f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

Réponse : Pour tous A, B ∈ P(E), f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B).

Exercice 3

On suppose maintenant que f satisfait la condition supplémentaire :

∀ A ∈ P(E), Card(f(A)) ≥ Card(A).

On dit qu'un ensemble A est normal (pour f) si Card(f(A)) = Card(A).

3(a)

Montrer que ∅ et E sont normaux.

Solution :

On a f(∅) = ∅ donc Card f(∅) = 0 = Card ∅, donc ∅ est normal.

Par hypothèse, Card f(E) ≥ Card E. Or f(E) ⊂ F et Card E = Card F, donc f(E) = F et Card f(E) = Card F = Card E.

Donc E est normal.

Réponse : ∅ et E sont normaux.

3(b)

Montrer que si A et B sont normaux, alors A ∪ B et A ∩ B sont normaux.

Solution :

Soient A et B normaux, donc Card f(A) = Card A et Card f(B) = Card B.

On a :

Card f(A ∪ B) = Card (f(A) ∪ f(B))
              = Card f(A) + Card f(B) − Card (f(A) ∩ f(B))
              ≤ Card A + Card B − Card f(A ∩ B)

Car f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) donc Card f(A ∩ B) ≤ Card (f(A) ∩ f(B)).

De plus, par hypothèse Card f(A ∩ B) ≥ Card (A ∩ B), donc :

Card f(A ∪ B) ≤ Card A + Card B − Card (A ∩ B) = Card (A ∪ B).

Or l'inégalité inverse Card f(A ∪ B) ≥ Card (A ∪ B) est toujours vraie, donc :

Card f(A ∪ B) = Card (A ∪ B), donc A ∪ B est normal.

De plus, toutes les inégalités utilisées sont en fait des égalités, donc :

Card f(A ∩ B) = Card (f(A) ∩ f(B)) = Card (A ∩ B), donc A ∩ B est normal.

Réponse : L'union et l'intersection de deux ensembles normaux sont normaux.

3(c)

Montrer que si A et B sont normaux, alors :

f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

Solution :

On sait déjà que f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B).

De plus, puisque A et B sont normaux, on a :

Card f(A ∩ B) = Card (A ∩ B) = Card (f(A) ∩ f(B))

Donc f(A ∩ B) et f(A) ∩ f(B) sont deux ensembles inclus l'un dans l'autre et de même cardinal, ils sont donc égaux :

f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)

Réponse : Si A et B sont normaux, alors f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

Exercice 4

Soit A0 un sous-ensemble normal non vide de E de cardinal minimum parmi tous les sous-ensembles normaux non vides.

4(a)

Soit A un sous-ensemble normal de E. Montrer que A ⊃ A0 ou A ∩ A0 = ∅.

Solution :

On sait que A ∩ A0 est normal (intersection de deux normaux).

Donc Card (A ∩ A0) ≤ Card A0.

Par minimalité de A0, on a deux cas :

• Soit A ∩ A0 = ∅
• Soit Card (A ∩ A0) = Card A0, donc A0 ⊂ A

Réponse : Pour tout sous-ensemble normal A, on a soit A ⊃ A0, soit A ∩ A0 = ∅.

4(b)

Soient α ∈ A0 et β ∈ f({α}). On pose E0 = E \ {α} et F0 = F \ {β}.

On définit g : P(E0) → P(F0) par :

∀ C ∈ P(E0), g(C) = f(C) ∩ F0

Montrer que g vérifie les trois conditions analogues à celles de f.

Solution :

• g(∅) = f(∅) ∩ F0 = ∅ ∩ F0 = ∅
• Pour A, B ⊂ E0,

g(A ∪ B) = f(A ∪ B) ∩ F0 = (f(A) ∪ f(B)) ∩ F0 = (f(A) ∩ F0) ∪ (f(B) ∩ F0) = g(A) ∪ g(B)

Il reste à montrer que pour toute partie A de E0, Card g(A) ≥ Card A.

On distingue deux cas :

• Si A est normal pour f :

Par la propriété de la question 4(a), soit A0 ⊂ A, soit A ∩ A0 = ∅.

Or α ∈ A0 mais α ∉ A (car A ⊂ E0 = E \ {α}), donc A0 ⊄ A, donc A ∩ A0 = ∅.

Par conséquent :

f(A) ∩ f(A0) = f(A ∩ A0) = f(∅) = ∅.

De plus, β ∈ f({α}) ⊂ f(A0), donc β ∉ f(A) car f(A) ∩ f(A0) = ∅.

Donc :

g(A) = f(A) ∩ F0 = f(A) ∩ (F \ {β}) = f(A)

et donc Card g(A) = Card f(A) = Card A.

• Si A n'est pas normal pour f :

On a Card f(A) ≥ Card A + 1.

Or f(A) ⊂ g(A) ∪ {β}, donc :

Card f(A) ≤ Card g(A) + 1.

On en déduit :

Card A ≤ Card f(A) − 1 ≤ Card g(A).

Dans tous les cas, Card g(A) ≥ Card A.

Réponse : L'application g vérifie bien :

• g(∅) = ∅
• g(A ∪ B) = g(A) ∪ g(B)
• ∀ A ⊂ E0, Card g(A) ≥ Card A

4(c)

En déduire qu'il existe une bijection ϕ : E → F telle que :

∀ x ∈ E, ϕ(x) ∈ f({x})

Indication : procéder par récurrence sur n = Card E = Card F.

Solution :

On procède par récurrence sur n = Card E = Card F.

Initialisation (n = 1) :

Si E = {x} et F = {y}, alors Card f({x}) ≥ 1, donc f({x}) = {y}.

L'application ϕ définie par ϕ(x) = y est bijective et satisfait ϕ(x) ∈ f({x}).

Hérédité :

Supposons la propriété vraie pour n − 1.

Soit E, F de cardinal n ≥ 2.

Soit A0 un sous-ensemble normal minimal non vide, α ∈ A0, β ∈ f({α}), et E0 = E \ {α}, F0 = F \ {β}.

On a défini g : P(E0) → P(F0) vérifiant les conditions analogues à f.

Par hypothèse de récurrence, il existe une bijection ψ : E0 → F0 telle que :

∀ x ∈ E0, ψ(x) ∈ g({x})

On étend ψ en ϕ : E → F en posant ϕ(α) = β.

Alors ϕ est bijective et :

• ϕ(α) = β ∈ f({α})
• Pour x ∈ E0, ϕ(x) = ψ(x) ∈ g({x}) = f({x}) ∩ F0 ⊂ f({x})

Donc ϕ vérifie la propriété souhaitée.

Réponse : Il existe une bijection ϕ : E → F telle que ∀ x ∈ E, ϕ(x) ∈ f({x}).

Méthode

Ce problème récompense une bonne maîtrise des propriétés des applications sur les parties d'un ensemble, notamment la manipulation des inclusions et des égalités d'ensembles, ainsi que des cardinaux.

La preuve par récurrence est essentielle pour construire la bijection finale, en utilisant la suppression d'un élément et la restriction de l'application.

Les erreurs à éviter sont :

• Ne pas confondre inclusion stricte et inclusion large
• Omettre de vérifier les égalités de cardinal dans les inclusions
• Ne pas justifier les étapes d'égalité en cardinal, notamment lors des unions et intersections
• Oublier de distinguer les cas normaux et non normaux dans la définition de g
• Ne pas appliquer correctement l'hypothèse de récurrence dans la construction de la bijection

Enfin, il est important de suivre rigoureusement les définitions données, notamment celle des ensembles normaux, et de ne pas introduire d'hypothèses extérieures.