Problèmes de Mathématiques

Ce sujet de mathématiques est un problème d’analyse fonctionnelle portant sur les espaces vectoriels engendrés par les translatées d’une application lisse. Il s’agit d’un exercice d’évaluation qui teste la compréhension des notions d’indépendance linéaire, de dimension d’un sous-espace vectoriel, ainsi que la capacité à relier ces notions à des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Exercice 1

Vérifier que pour certaines fonctions f données, le sous-espace Ef engendré par les translatées ft est de dimension finie et en donner une base constituée de fonctions du type ft.

(a) f(x) = exp(x)

Soit g un élément de Ef. Par définition, il existe des réels λ1, ..., λp et t1, ..., tp tels que :

g = ∑(k=1 à p) λk ftk

Pour tout x ∈ ℝ :

g(x) = ∑(k=1 à p) λk exp(tk + x) = (∑(k=1 à p) λk exp(tk)) exp(x) = μ f(x), avec μ = ∑(k=1 à p) λk exp(tk).

Donc tout élément de Ef est un multiple scalaire de f. Réciproquement, f = f0 appartient à Ef.

Conclusion : dim Ef = 1 et Ef = ℝ f.

(b) f(x) = sin x

Pour tous réels t et x :

ft(x) = sin(t + x) = cos(t) sin(x) + sin(t) cos(x) = cos(t) f0(x) + sin(t) fπ/2(x).

Donc :

ft = cos(t) f0 + sin(t) fπ/2.

Toute combinaison linéaire des ft est donc combinaison linéaire de f0 et fπ/2. Ces deux fonctions sont linéairement indépendantes.

Conclusion : Ef = vect{f0, fπ/2} et dim Ef = 2.

(c) f(x) = x

Pour tous réels t et x :

ft(x) = t + x = (1 - t) x + t (x + 1) = (1 - t) f0(x) + t f1(x).

Donc :

ft = (1 - t) f0 + t f1.

Toute combinaison linéaire des ft est combinaison linéaire de f0 et f1. Ces deux fonctions sont indépendantes.

Conclusion : Ef = vect{f0, f1} et dim Ef = 2.

Exercice 2

Montrer que si f est de la forme f(x) = P(x) e^(αx), où P est un polynôme et α un réel, alors Ef est de dimension finie.

Soit P de degré n. Pour tous réels t et x :

ft(x) = f(t + x) = P(t + x) e^(α(t + x)) = e^(α t) P(t + x) e^(α x).

Le polynôme x → P(x + t) est de degré n et peut s’écrire comme combinaison linéaire des fonctions x → x^k, 0 ≤ k ≤ n.

Donc ft est combinaison linéaire des fonctions gk définies par :

gk(x) = x^k e^(α x), 0 ≤ k ≤ n.

Par conséquent, toute combinaison linéaire des ft appartient au sous-espace engendré par les gk, qui est de dimension n + 1.

Conclusion : dim Ef ≤ n + 1, donc Ef est de dimension finie.

Exercice 3

On suppose f(x) = exp(exp x). Montrer que pour tout entier n ≥ 0, les fonctions f0, f1, ..., fn sont linéairement indépendantes. Qu’en déduit-on pour Ef ?

Supposons par l’absurde qu’il existe des réels λ0, ..., λn, non tous nuls, tels que :

∑(k=0 à n) λk fk = 0.

Soit r le plus grand indice k tel que λk ≠ 0. On peut écrire :

∑(k=0 à r-1) λk fk + λr fr = 0.

En développant :

∀x ∈ ℝ, ∑(k=0 à r-1) λk exp(e^k x) + λr exp(e^r x) = 0.

Multiplions par exp(-e^r x) :

∀x ∈ ℝ, ∑(k=0 à r-1) λk exp((e^k - e^r) x) + λr = 0.

Comme e^k - e^r < 0 pour k < r, lorsque x → +∞, les termes exp((e^k - e^r) x) tendent vers 0, donc :

λr = 0,

ce qui contredit la définition de r.

Conclusion : la famille {f0, ..., fn} est libre pour tout n, donc Ef n’est pas de dimension finie.

Exercice 4

Caractériser les familles libres finies de E à l’aide d’un déterminant.

(a)

Soient g1 et g2 une famille libre de E. Montrer qu’il existe deux réels distincts a1 et a2 tels que le déterminant :

∆2 = | g1(a1)  g2(a1) |
      | g1(a2)  g2(a2) |

soit non nul.

Comme g1 est non nulle, il existe a1 tel que g1(a1) ≠ 0. Considérons :

δ2(x) = g1(a1) g2(x) - g2(a1) g1(x).

Si δ2 était nulle, alors g1 et g2 seraient liées, ce qui est impossible. Donc δ2 n’est pas nulle, et il existe a2 distinct de a1 tel que :

∆2 = δ2(a2) ≠ 0.

Conclusion : on peut choisir a1, a2 distincts tels que ∆2 ≠ 0.

(b)

Montrer que si g1, ..., gn est une famille libre de E, on peut trouver n réels a1, ..., an distincts deux à deux tels que le déterminant :

∆n = det(gi(aj))_{1 ≤ i,j ≤ n}

soit non nul.

On procède par récurrence :

• Pour n=1, trivial.
• Pour n=2, démontré en (a).
• Supposons vrai au rang n. Soient g1, ..., gn+1 libres. Par hypothèse, il existe a1, ..., an distincts tels que ∆n ≠ 0.
• On définit :

δn+1(x) = det
| g1(a1)  ...  g1(an)  g1(x)  |
| ...     ...  ...     ...    |
| gn(a1)  ...  gn(an)  gn(x)  |
| gn+1(a1)... gn+1(an) gn+1(x)|

Le développement selon la dernière colonne montre que δn+1 est combinaison linéaire des gi, et nulle uniquement si les gi sont liées, ce qui est impossible.

Donc δn+1 n’est pas nulle, et il existe a_{n+1} distinct de a1,...,an tel que :

∆_{n+1} = δ_{n+1}(a_{n+1}) ≠ 0.

Conclusion : la propriété est vraie pour tout n.

Exercice 5

Soit f ∈ E tel que dim Ef = n ≥ 1, et g1, ..., gn une base de Ef.

(a)

Montrer qu’il existe une unique suite h1, ..., hn d’applications IR → IR telle que :

∀(x, t) ∈ ℝ², f(x + t) = ∑(k=1 à n) hk(t) gk(x).

En effet, pour chaque t, ft = f(· + t) appartient à Ef, donc s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des gk :

ft = ∑(k=1 à n) hk(t) gk.

Les coefficients hk(t) dépendent de t et sont donc des fonctions de t.

Conclusion : l’expression est unique et les hk sont bien définies.

(b)

Montrer qu’on peut trouver n réels a1, ..., an distincts tels que chaque hj soit combinaison linéaire des fa1, ..., fan. En conclure que les hj appartiennent à Ef.

Considérons la matrice carrée A d’ordre n définie par :

A = (gi(aj))_{1 ≤ i,j ≤ n}.

Par la question 4b, A est inversible.

En évaluant l’égalité de (a) en x = a1, ..., an, on obtient un système linéaire :

∀t ∈ ℝ,
A (h1(t), ..., hn(t))^T = (f(a1 + t), ..., f(an + t))^T.

Ce système a une solution unique donnée par la formule de Cramer. Par exemple :

h1(t) = (1/∆n) det( matrice obtenue en remplaçant la 1ère colonne de A par (f(a1 + t), ..., f(an + t))^T ),

et de même pour h2(t), ..., hn(t).

Le déterminant du numérateur peut s’écrire comme combinaison linéaire des faj, donc chaque hj est combinaison linéaire des faj, donc appartient à Ef.

Conclusion : les fonctions hj sont dans Ef.

(c)

Montrer que les dérivées successives de f appartiennent à Ef et en déduire que f satisfait une équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants.

On a :

∀(x, t) ∈ ℝ², f(x + t) = ∑(k=1 à n) hk(t) gk(x).

Les fonctions hk et gk sont dans Ef, donc de classe C∞. En dérivant p fois par rapport à t :

f^(p)(x + t) = ∑(k=1 à n) h_k^(p)(t) gk(x).

Posons t = 0 :

f^(p)(x) = ∑(k=1 à n) h_k^(p)(0) gk(x),

donc f^(p) ∈ Ef.

Comme dim Ef = n, les n + 1 fonctions f, f', ..., f^(n) sont liées, donc il existe λ0, ..., λn, non tous nuls, tels que :

λ0 f + λ1 f' + ... + λn f^(n) = 0.

Ceci est une équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants.

Conclusion : f satisfait une équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants.

Exercice 6

Trouver tous les éléments f de E tels que dim Ef ≤ 2.

La question précédente montre que f satisfait une équation différentielle linéaire d’ordre ≤ 2 à coefficients constants :

a f'' + b f' + c f = 0.

Considérons l’équation caractéristique :

a t² + b t + c = 0, avec discriminant ∆ = b² - 4 a c.

Cas possibles :

• Si a = 0, alors l’équation est de la forme b f' + c f = 0, et f est multiple de x → exp(λ x) (par exemple λ = 0 si c = 0).
• Si ∆ > 0, avec racines réelles distinctes λ, μ, alors f est combinaison linéaire de :

x → exp(λ x) et x → exp(μ x).

• Si ∆ < 0, avec racines complexes λ + i μ, μ ≠ 0, alors f est combinaison linéaire de :

x → exp(λ x) cos(μ x) et x → exp(λ x) sin(μ x).

• Si ∆ = 0, avec racine double λ, alors f est combinaison linéaire de :

x → exp(λ x) et x → x exp(λ x).

Dans tous les cas, f est de l’une des formes suivantes, avec α, β, λ, μ réels :

• u(x) = α exp(λ x) + β exp(μ x),
• v(x) = (α x + β) exp(λ x),
• w(x) = exp(λ x) (α cos(μ x) + β sin(μ x)).

Inversement, pour chacune de ces formes, on vérifie que dim Ef ≤ 2 car les translatées ft restent dans l’espace engendré par deux fonctions de base.

Conclusion : toutes les fonctions f telles que dim Ef ≤ 2 sont de l’une des formes u, v ou w décrites ci-dessus.

Méthode

Ce problème récompense la maîtrise des notions d’espaces vectoriels engendrés par des familles de fonctions, en particulier la compréhension des translatées d’une fonction et leur impact sur la dimension du sous-espace associé.

Les techniques clés sont :

• Utilisation des propriétés des exponentielles et des fonctions trigonométriques pour exprimer les translatées.
• Application de l’indépendance linéaire et de la caractérisation par déterminants pour prouver la liberté des familles.
• Utilisation de systèmes linéaires et des formules de Cramer pour exprimer les coefficients des combinaisons linéaires.
• Relier la dimension finie de Ef à l’existence d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants satisfaite par f.
• Analyse des racines de l’équation caractéristique pour décrire précisément les formes des fonctions f avec dim Ef ≤ 2.

Les erreurs à éviter sont :

• Confondre la liberté des familles avec la simple indépendance ponctuelle.
• Omettre de vérifier la non-nullité des déterminants dans les preuves d’indépendance.
• Ignorer la dépendance des coefficients hk en t dans la décomposition des translatées.
• Ne pas exploiter la dimension finie pour déduire l’existence d’une équation différentielle.