Principes de communications II

Ce document présente les principes fondamentaux de la transmission numérique dans un canal à bande passante limitée (BPL). Il s'adresse aux étudiants en communications numériques souhaitant comprendre la modélisation du canal, l'interférence inter-symboles (IIS), la conception de signaux adaptés, ainsi que les techniques de compensation et d'égalisation du canal.

Caractérisation d’un canal à bande passante limitée

Un canal de communication est modélisé par un filtre linéaire à bande passante finie. Ce filtre, noté c(t) avec sa transformée de Fourier C(f), agit sur le signal transmis gT(t) dont la transformée est GT(f). Le canal limite la bande passante à une fréquence W, ce qui signifie que C(f) = 0 pour |f| > W.

Le signal à la sortie du canal est donné par :

H(f) = C(f) GT(f)

ou en domaine temporel :

h(t) = c(t) * gT(t) = ∫ c(τ) gT(t - τ) dτ

où * désigne la convolution.

Démodulation du signal reçu et rapport signal-sur-bruit (SNR)

Le démodulateur utilise un filtre adapté GR(f) pour extraire le signal. La composante utile du signal à l'instant t0 est :

ys(t0) = ∫_{-W}^{W} H(f) G_R^*(f) e^{j2πft0} df = E_h

Le bruit est supposé additif blanc gaussien (AWGN) avec densité spectrale N0/2. La variance du bruit en sortie du filtre est :

σ² = (N0/2) ∫_{-W}^{W} |H(f)|² df = (N0/2) E_h

Le rapport signal-sur-bruit à la sortie est alors :

S/N = 2 E_h / N0

La différence principale avec un canal sans limitation de bande est que la puissance utile E_h dépend maintenant de la réponse du canal h(t) et non plus de la forme d'impulsion originale gT(t).

Exemple de calcul du SNR

Soit gT(t) une impulsion de type cosinus surélevé avec transformée GT(f) donnée par :

GT(f) = T sinc(fT) e^{-jπfT} (1 - f² T²)

Le canal a une réponse C(f) connue, donc :

H(f) = C(f) GT(f)

La puissance utile est :

E_h = ∫_{-W}^{W} |GT(f)|² df

La variance du bruit est :

σ² = (N0/2) E_h

Le SNR est donc :

S/N = 2 E_h / N0

Signaux en bande de base et interférence inter-symboles (IIS)

Pour un signal PAM transmis dans un canal BPL, la sortie du démodulateur pour le m-ième symbole est :

y_m = x_0 a_m + ∑_{n ≠ m} x_{m-n} a_n + n_m

où :

• a_m : symbole transmis
• x_0 = E_h : gain du canal pour le symbole courant
• x_{m-n} : réponse résiduelle du canal pour les symboles précédents
• n_m : bruit AWGN

La somme des termes avec n ≠ m représente l’interférence inter-symboles (IIS).

Signaux à porteuse dans un canal BPL

Pour un signal PAM modulé sur une porteuse :

u(t) = v(t) cos(2π f_c t)

avec :

v(t) = ∑_{n=-∞}^{∞} a_n gT(t - nT)

Pour les modulations QAM et PSK :

u(t) = v_c(t) cos(2π f_c t) - v_s(t) sin(2π f_c t)

avec :

v_c(t) = ∑ a_{n,c} gT(t - nT),  v_s(t) = ∑ a_{n,s} gT(t - nT)

On définit un signal complexe en bande de base équivalent :

v(t) = v_c(t) - j v_s(t) = ∑ (a_{n,c} - j a_{n,s}) gT(t - nT) = ∑ a_n gT(t - nT)

Le signal reçu après canal et démodulation est :

r(t) = ∑ a_n h(t - nT) + n(t)

y(t) = ∑ a_n x(t - nT) + n_0(t)

Ce modèle ramène l’analyse à la bande de base.

Spectre de puissance d’un signal à porteuse

Le spectre de puissance S_v(f) du signal en bande de base v(t) dépend des propriétés statistiques de la séquence de symboles {a_n} et de la forme d’impulsion gT(t).

La valeur moyenne de v(t) est :

E[v(t)] = m_a ∑ gT(t - nT)

où m_a est la moyenne des symboles a_n. Cette moyenne est périodique de période T.

La fonction d’autocorrélation de v(t) est :

R_v(t + τ, t) = E[v*(t) v(t + τ)] = ∑_p R_a(p) ∑_n gT(t - nT) gT(t + τ - pT - nT)

avec R_a(p) la fonction d’autocorrélation des symboles, dépendant uniquement de l’écart p entre symboles si la séquence est stationnaire au sens large.

Le spectre de puissance est alors :

S_v(f) = (1/T) ∑_{m=-∞}^{∞} R_a(m) e^{-j 2π m f T} |G_T(f)|²

où :

• R_a(m) : fonction d’autocorrélation des symboles
• G_T(f) : transformée de Fourier de gT(t)

Exemple de spectre de puissance

Pour une impulsion rectangulaire gT(t) d’amplitude A et durée T :

gT(t) = A pour 0 ≤ t ≤ T, 0 sinon

Le spectre de puissance S_v(f) est :

S_v(f) = (A² T) sinc²(f T)

Si la séquence {a_n} est formée par :

a_n = b_n + b_{n-1}

avec {b_n} une séquence binaire indépendante et non corrélée, de moyenne nulle et variance 1, alors la fonction d’autocorrélation de {a_n} est :

R_a(m) = 2 δ(m) + δ(m-1) + δ(m+1)

Le spectre de puissance devient :

S_a(f) = 4 cos²(π f T)

Le spectre total est :

S_v(f) = (1/T) S_a(f) |G_T(f)|² = (4/T) cos²(π f T) |G_T(f)|²

Conception de signaux pour canaux BPL

L’objectif est d’éliminer l’IIS. Deux cas sont distingués :

• Canal sans distorsion : h(t) = C_0 gT(t - t_0)
• Canal avec distorsion : C(f) variable en amplitude et phase

Pour un canal sans distorsion avec C_0 = 1 et t_0 = 0, on a :

H(f) = GT(f)

Le démodulateur adapté a pour réponse :

GR(f) = GT^*(f)

Le signal reçu au temps mT est :

y_m = x_0 a_m + ∑_{n ≠ m} a_n x_{m-n} + n_m

La condition d’élimination de l’IIS est :

x(nT) = { 1 si n=0, 0 sinon }

Cette condition est appelée critère de Nyquist pour IIS nul. Elle s’exprime en fréquence par :

∑_{m=-∞}^{∞} X(f + m/T) = T

où X(f) est la transformée de Fourier de x(t).

Cas du canal idéal

Pour un canal idéal de largeur W, X(f) = 0 pour |f| > W. Trois cas sont possibles selon le taux de symboles 1/T :

1. 1/T > 2W : impossible d’éviter l’IIS car les copies de X(f) se chevauchent
2. 1/T = 2W : condition de Nyquist satisfaite uniquement si X(f) est une fonction carrée (filtre idéal)
3. 1/T < 2W : condition satisfaite avec recouvrement spectral, permettant d’utiliser des filtres réalisables

Le cas 1/T = 2W correspond à la période minimale de transmission sans IIS, mais le filtre idéal est non causal et de durée infinie (fonction sinc).

Filtres cosinus surélevés

Pour résoudre les problèmes liés à la fonction sinc, on utilise des filtres cosinus surélevés, définis par :

x(t) = sinc(t/T) * (cos(πα t/T)) / (1 - 4 α² t² / T²)

où α est le facteur de décroissance (0 ≤ α ≤ 1). Ces filtres ont une décroissance plus rapide et sont réalisables.

Leurs caractéristiques spectrales permettent de concevoir des filtres de transmission avec zéro IIS, mais au prix d’un taux de symboles inférieur au taux optimal 1/(2W).

Signalisation à réponse partielle (duobinaire)

La signalisation à réponse partielle (PR) tolère plusieurs valeurs non nulles dans x(nT), permettant de communiquer au taux de Nyquist avec des filtres réalisables. Elle est aussi appelée signalisation duobinaire ou codage corrélateur.

La condition d’IIS devient :

x(nT) = { 1 si n=0, 1/2 si n=±1, 0 sinon }

Le prix à payer est un codage et décodage plus complexes.

Signalisation duobinaire classique

Le signal de sortie du démodulateur est :

y_m = b_m + w_m = a_m + a_{m-1} + w_m

où {b_m} est la séquence codée. Sans bruit, y_m peut prendre trois valeurs : +2, 0 ou -2.

Le décodage consiste à soustraire le symbole précédent, mais cela peut propager les erreurs.

Exemple de décodage et précodage

Pour éviter la propagation d’erreurs, on utilise un précodage modulo-2 :

p_m = (a_m + p_{m-1}) % 2

La séquence {p_m} est ensuite codée et transmise. Le décodage est effectué sans dépendance aux symboles précédents, évitant ainsi la propagation d’erreurs.

Signalisation duobinaire modifiée

Une autre variante utilise :

p_m = (a_m + p_{m-2}) % 2

avec une règle de codage différente :

b_m = p_m - p_{m-2}

Cette impulsion modifiée présente l’avantage d’une composante DC nulle.

Égalisation de canal

Dans un canal à distorsion, où C(f) n’est pas constant en amplitude ou phase :

C(f) = |C(f)| e^{j θ_c(f)}

Les techniques d’élimination de l’IIS sans distorsion ne sont plus efficaces. L’égalisation de canal est alors nécessaire.

Égalisation linéaire

L’égaliseur linéaire est un nouveau bloc inséré dans la chaîne de communication avec une fonction de transfert GE(f) telle que :

X(f) = GT(f) GR(f) C(f) GE(f)

On peut choisir GE(f) comme l’inverse de C(f) pour éliminer l’IIS, mais cela modifie le rapport signal-sur-bruit.

Égalisation sans connaissance préalable de C(f)

Dans la pratique, C(f) est rarement connue et varie dans le temps. L’égaliseur agit alors sur la réponse impulsionnelle finie du canal, modifiant ses coefficients pour réduire l’IIS.

Filtre linéaire transversal

Un filtre transversal avec (2N+1) coefficients {c_n} agit sur 2N+1 échantillons autour du symbole courant. On cherche à satisfaire :

∑_{n=-N}^{N} c_n x(mT - nT) = { 1 si m=0, 0 sinon }

Cette condition s’écrit en forme matricielle :

q = X c

où X est la matrice des échantillons et c le vecteur des coefficients.

Méthodes de calcul des coefficients

• Zéros forcés : On impose q avec un 1 central et des 0 ailleurs, puis on résout c = X^{-1} q. Cette méthode ignore le bruit.
• Minimum de l’erreur quadratique moyenne (MMSE) : Les coefficients minimisent l’erreur due à l’IIS et au bruit, offrant une meilleure robustesse.

Glossaire des termes clés

• Canal à bande passante limitée (BPL) : Canal dont la réponse en fréquence est nulle au-delà d’une fréquence limite W.
• Filtre adapté : Filtre utilisé en réception pour maximiser le rapport signal-sur-bruit.
• Interférence inter-symboles (IIS) : Interférence causée par le chevauchement des symboles successifs dans le canal.
• Signalisation à réponse partielle (PR) : Technique de transmission tolérant une certaine IIS contrôlée pour réduire la bande passante.
• Signalisation duobinaire : Type de signalisation PR utilisant un codage corrélateur pour éliminer l’IIS.
• Précodage modulo-2 : Transformation des bits avant codage pour éviter la propagation d’erreurs lors du décodage.
• Égaliseur de canal : Dispositif qui compense la distorsion du canal pour réduire l’IIS.
• Filtre transversal : Filtre à réponse impulsionnelle finie utilisé en égalisation.
• Méthode des zéros forcés : Technique d’égalisation qui annule l’IIS sans tenir compte du bruit.
• Méthode MMSE : Technique d’égalisation qui minimise l’erreur quadratique moyenne en tenant compte du bruit.

Points clés à retenir

• Un canal BPL est modélisé par un filtre linéaire à bande limitée, modifiant la forme du signal transmis.
• L’IIS est un phénomène majeur dans les canaux BPL, causé par le chevauchement des symboles.
• Le critère de Nyquist définit la condition pour éliminer l’IIS sans distorsion.
• Les filtres cosinus surélevés permettent de concevoir des signaux réalisables avec zéro IIS, mais à un taux de symboles réduit.
• La signalisation à réponse partielle (duobinaire) permet zéro IIS au taux de Nyquist avec des filtres réalisables, au prix d’une complexité accrue.
• Le précodage modulo-2 évite la propagation d’erreurs dans la signalisation duobinaire.
• Les canaux à distorsion nécessitent l’utilisation d’égaliseurs pour compenser la réponse non idéale du canal.
• Les égaliseurs linéaires peuvent être conçus par méthode des zéros forcés ou MMSE, cette dernière offrant une meilleure robustesse au bruit.