Partiel de Traitement du Signal

Réponse impulsionnelle

Question 1 - Définition de la réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle d'un système à temps continu, classiquement notée h(t), est le signal de sortie produit par ce système lorsqu'il est excité par une impulsion de Dirac (δ(t)) à l'instant initial t = 0.

Question 2 - Réponse à un signal quelconque

a) Propriétés requises Pour que la connaissance de l'unique fonction h(t) suffise à caractériser complètement le système pour n'importe quelle entrée, celui-ci doit posséder deux propriétés : il doit être linéaire et invariant par translation dans le temps (système LIT).

b) Formule de calcul La réponse y(t) s'obtient en réalisant le produit de convolution entre le signal d'entrée x(t) et la réponse impulsionnelle h(t). La formule s'écrit : y(t) = ∫ (de -∞ à +∞) x(τ) h(t − τ) dτ

c) Preuve de la formule On peut décomposer la démonstration étape par étape, en observant comment les propriétés du système s'appliquent à l'entrée modélisée par une superposition d'impulsions de Dirac :

Signal d'entrée	Signal de sortie	Propriété utilisée
δ(t)	h(t)	Définition de la réponse impulsionnelle
δ(t − τ)	h(t − τ)	Invariance par translation dans le temps (décalage de τ)
x(τ) δ(t − τ)	x(τ) h(t − τ)	Linéarité (multiplication par le scalaire x(τ))

Le signal continu x(t) peut s'écrire comme une somme continue (intégrale) d'impulsions pondérées : x(t) = ∫ (de -∞ à +∞) x(τ) δ(t − τ) dτ

Par linéarité, la réponse globale du système est l'intégrale des réponses individuelles à chaque impulsion : y(t) = ∫ (de -∞ à +∞) x(τ) h(t − τ) dτ

Échantillonnage et repliement de spectre

Question 3 - Condition de reconstruction parfaite

Pour reconstruire parfaitement un signal à temps continu x(t) à partir de ses échantillons xn = x(nT), ce signal doit posséder une bande de fréquence limitée (B1, B2) et la fréquence d'échantillonnage Fe doit respecter le critère de Nyquist-Shannon.

La condition est donc : Fe ≥ B2 - B1. Dans ce cas, la formule de reconstruction (interpolation de Shannon) s'écrit (en corrigeant le symbole de sommation extrait du document) : x(t) = Σ (pour n de -∞ à +∞) xn sinc(Fe × t - n)

Question 4 - Explication du repliement spectral

Lors de l'échantillonnage, le spectre initial continu X(F) est copié et répété à l'infini dans le domaine fréquentiel, avec une période correspondant à la fréquence d'échantillonnage Fe. C'est ce que décrit la formule de Poisson, dont l'extraction a légèrement corrompu l'écriture mathématique, mais qui s'établit comme : Spectre échantillonné = Fe × Σ (sur n) X(F - nFe).

Si le spectre d'origine X(F) s'étale sur une largeur supérieure à Fe, les différentes copies répétées de ce spectre vont déborder les unes sur les autres et se chevaucher. Dans la bande d'observation (de largeur Fe), les fréquences situées à l'extérieur se "replient" vers l'intérieur pour un signal réel, venant corrompre le contenu spectral d'origine.

Question 5 - Conséquences pratiques du repliement

Si un repliement se produit, le signal continu y(t) reconstruit à partir des échantillons sera fondamentalement différent du signal physique original x(t). Aucun filtre de reconstruction H(F) ne pourra isoler proprement X(F).

En pratique, l'information est perdue. Pour une fréquence F donnée, l'amplitude observée sera la somme (la superposition) des amplitudes des fréquences F, F - Fe, F + Fe, F + 2Fe, etc. du signal de départ. Des signaux hautes fréquences apparaîtront sous forme de fausses basses fréquences (fréquences fantômes ou "alias").

Question 6 - Comment éviter le repliement

Pour éviter ce phénomène, la largeur de la bande spectrale du signal (le support de |X(F)|) doit impérativement rester strictement inférieure à la fréquence d'échantillonnage Fe. Deux solutions pratiques existent pour cela :

1. Augmenter la fréquence d'échantillonnage Fe pour l'adapter au contenu du signal.
2. Limiter la bande du signal analogique avant l'échantillonnage, en le faisant passer dans un filtre analogique passe-bas (appelé filtre anti-repliement ou anti-aliasing).

Filtre numérique

L'équation aux différences étudiée est : y(n) = 1/2 x(n) - x(n-1) + 1/2 x(n-2).

Question 7 - Réponse impulsionnelle

On applique une impulsion en entrée : on remplace x(n) par la distribution discrète δ(n). La réponse impulsionnelle est : h(n) = 1/2 δ(n) - δ(n-1) + 1/2 δ(n-2)

Question 8 - Fonction de transfert H(z)

En passant dans le domaine en Z, chaque retard de k échantillons correspond à une multiplication par z^(-k). H(z) = 1/2 - z^(-1) + 1/2 z^(-2)

Pour simplifier cette expression et trouver une forme fractionnaire, on met en évidence le carré parfait : H(z) = 1/2 × (1 - 2z^(-1) + z^(-2)) H(z) = 1/2 × (1 - z^(-1))² En factorisant par z^(-2), on trouve la forme demandée par le corrigé : H(z) = (z - 1)² / (2z²)

Question 9 - Pôles et zéros de H(z)

L'analyse de la fraction H(z) = (z - 1)² / (2z²) dans le plan complexe révèle :

• Le numérateur s'annule en z = 1, avec une multiplicité de 2. Il y a donc un zéro double en z = 1.
• Le dénominateur s'annule en z = 0, avec une multiplicité de 2. Il y a donc un pôle double à l'origine (z = 0). C'est ce qui garantit la causalité du filtre numérique.

Question 10 - Réponse en fréquence

La réponse en fréquence s'obtient en évaluant H(z) sur le cercle unité du plan complexe, c'est-à-dire en posant z = exp(2πif). H(exp(2πif)) = 1/2 × (1 - exp(-2πif))²

Le gain (module de la réponse) se calcule grâce à l'identité d'Euler (1 - exp(-iθ) = 2i sin(θ/2) exp(-iθ/2)) : |H(exp(2πif))| = 1/2 × |2i sin(πf) exp(-iπf)|² = 2 sin²(πf) Ce qui peut aussi s'écrire, via une formule trigonométrique : 1 - cos(2πf).

Comportement qualitatif :

• Le gain vaut 0 pour f = 0.
• Il augmente pour atteindre sa valeur maximale (qui est de 2) aux extrémités de la bande f = ± 1/2.
• S'agissant d'un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie) symétrique d'ordre 2, sa phase décroît de manière parfaitement linéaire, allant de 2π à f = -1/2, en passant par π à f = 0, jusqu'à 0 à f = 1/2.

Question 11 - Genre du filtre

Étant donné que le gain est nul à la fréquence nulle (composante continue) et maximal aux plus hautes fréquences représentables (f = 1/2), ce filtre est un filtre passe-haut.

Question 12 - Comportement aux basses fréquences

Aux basses fréquences (f proche de 0), l'argument exponentiel 2πif est très petit. Géométriquement, la distance entre exp(2πif) et le zéro double en z = 1 est approximativement égale à l'arc, soit 2πf. Puisque le zéro est double, le gain au voisinage de 0 est de l'ordre de (2πf)².

Analytiquement, un développement limité à l'ordre 1 de exp(-2πif) ≈ 1 - 2πif permet de retrouver ce résultat : H(exp(2πif)) = 1/2 × (1 - (1 - 2πif))² = 1/2 × (2πif)² = - (2πf)² / 2.

Dans le domaine temporel continu, appliquer une multiplication par -(2πf)² dans le domaine de Fourier correspond très exactement à appliquer une dérivée temporelle seconde. Par conséquent, aux très petites fréquences, ce filtre numérique approche (à un facteur 1/2 près) le calcul de la dérivée seconde continue du signal : x(t) ↦ x''(t).

Implémentations d'un filtre numérique FIR

Le filtre étudié ici a pour fonction de transfert : H(z) = 1 + a z^(-1) + a² z^(-2) + ... + a^q z^(-q)

Question 13 - Implémentation non récursive

L'implémentation non récursive (transversale) calcule y(n) par un produit de convolution direct, sans rétroaction sur les anciennes valeurs de y. La relation temporelle directe est : y(n) = x(n) + a x(n-1) + a² x(n-2) + ... + a^q x(n-q)

Question 14 - Expression compacte de la fonction de transfert

L'expression de H(z) est la somme des q+1 premiers termes d'une suite géométrique dont la raison est (a z^(-1)). La formule classique de la somme géométrique permet de la réécrire : H(z) = (1 - a^(q+1) z^(-(q+1))) / (1 - a z^(-1))

Cette expression est valide mathématiquement à condition que le dénominateur ne soit pas nul, c'est-à-dire pour z ≠ a. (Note pédagogique : Bien qu'il y ait (z-a) au dénominateur, le numérateur s'annule également pour z=a. Il n'y a pas de divergence ; le domaine de convergence s'étend bien à tout le plan complexe privé de l'origine.)

Question 15 - Implémentation récursive

À partir de la forme compacte H(z) = Y(z) / X(z) trouvée ci-dessus, on obtient : Y(z) × (1 - a z^(-1)) = X(z) × (1 - a^(q+1) z^(-(q+1))) Y(z) - a z^(-1) Y(z) = X(z) - a^(q+1) z^(-(q+1)) X(z)

En transformant cette équation pas à pas dans le domaine temporel avec la règle de retard temporel (z^(-k) X(z) correspond à x(n-k)), on obtient une relation autorégressive : y(n) = a y(n-1) + x(n) - a^(q+1) x(n-q-1)

Cette implémentation est beaucoup plus efficace informatiquement (peu de termes à mémoriser et calculer à chaque étape), tout en demeurant inconditionnellement stable (système Entrée Bornée / Sortie Bornée).

Méthode

Face à une épreuve de traitement du signal de ce type, il est fondamental de structurer votre réflexion autour de ces axes :

1. La circulation entre les domaines : Apprenez à traduire instinctivement une équation aux différences vers le domaine en Z (fonction de transfert), puis vers le domaine de Fourier (réponse en fréquence par z = exp(2πif)), et inversement.
2. Le sens physique des pôles et zéros : La proximité du cercle unité vers un zéro implique une atténuation (ex: un zéro en z=1 indique que la composante continue f=0 est bloquée) ; la proximité vers un pôle entraîne un pic de résonance. Dessiner systématiquement un cercle trigonométrique avec les pôles et les zéros vous empêchera de faire des erreurs de calcul grossières sur l'esquisse de l'amplitude.
3. Séries temporelles discrètes : Soyez très rigoureux avec les indices de sommation et reconnaissez les mathématiques élémentaires (la série géométrique finie est incontournable dans l'analyse des filtres RIF à coefficients constants).
4. Notation : N'omettez jamais les variables d'intégration (dτ) ni les bornes de vos sommes ou intégrales. Une formule de convolution ou de Poisson approximative vous prive généralement des points, même si votre raisonnement est correct.