Mesures Electriques Exam

Exercice 01 - Conception d'ampèremètres

Question 1 - Ampèremètre multi gammes

a. Figure d'un ampèremètre multi gammes Puisque le format de ce document ne permet pas d'inclure des schémas, voici la description du montage à tracer : Il s'agit de placer le galvanomètre (de résistance interne Rg) en parallèle avec un réseau de trois résistances indépendantes (R1, R2, R3). Un commutateur à trois positions permet au courant total I de traverser l'une des trois résistances shunt, tandis que le reste du courant (Ig) traverse le galvanomètre.

b. Facteurs multiplicateurs de chaque calibre Le facteur multiplicateur se définit par le rapport m = I / Ig, où I est le courant maximal du calibre et Ig est le courant de déviation maximale du galvanomètre (50 mA = 0,05 A).

• Pour I1 = 3 A : m1 = 3 / 0,05 = 60
• Pour I2 = 1 A : m2 = 1 / 0,05 = 20
• Pour I3 = 0,1 A : m3 = 0,1 / 0,05 = 2

c. Résistances shunts R1, R2, R3 Dans un montage à shunts indépendants, la résistance shunt pour un calibre donné se calcule par la formule : Rsh = Rg / (m - 1).

• R1 = 50 / (60 - 1) = 50 / 59 ≈ 0,847 Ω
• R2 = 50 / (20 - 1) = 50 / 19 ≈ 2,632 Ω
• R3 = 50 / (2 - 1) = 50 / 1 = 50 Ω

Question 2 - Ampèremètre à shunt universel

a. Figure d'un ampèremètre à shunt universel Description du montage (shunt d'Ayrton) : Les trois résistances R1, R2, et R3 sont montées en série. Cet ensemble est placé en parallèle avec le galvanomètre. Le commutateur déplace le point d'entrée du courant principal I le long de cette chaîne de résistances, modifiant ainsi la portion de résistance qui agit comme shunt et celle qui s'ajoute en série avec le galvanomètre.

b. Facteurs multiplicateurs en fonction de R1, R2, R3 et Rg Notons Rs = R1 + R2 + R3 la résistance totale du shunt.

• Calibre 3 (0,1 A), position 3 : Tout le courant entre à l'extrémité de la chaîne. Le shunt est (R1 + R2 + R3). m3 = (Rg + R1 + R2 + R3) / (R1 + R2 + R3)
• Calibre 2 (1 A), position 2 : Le courant entre entre R3 et R2. Le shunt est (R1 + R2), et R3 se retrouve en série avec le galvanomètre. m2 = (Rg + R1 + R2 + R3) / (R1 + R2)
• Calibre 1 (3 A), position 1 : Le shunt n'est plus que R1. (R2 + R3) est en série avec le galvanomètre. m1 = (Rg + R1 + R2 + R3) / R1

c. Rapports m1/m2 et m2/m3, et déduction de R2 et R3 En utilisant les expressions précédentes :

• m1 / m2 = (R1 + R2) / R1 = 1 + (R2 / R1) Sachant que m1 = 60 et m2 = 20, on a : 60 / 20 = 3 = 1 + (R2 / R1). Donc R2 / R1 = 2, ce qui donne R2 = 2 × R1.
• m2 / m3 = (R1 + R2 + R3) / (R1 + R2) = 1 + R3 / (R1 + R2) Sachant que m2 = 20 et m3 = 2, on a : 20 / 2 = 10 = 1 + R3 / (R1 + R2). Donc R3 = 9 × (R1 + R2). En remplaçant R2 par 2 × R1, on obtient R3 = 9 × (3 × R1), d'où R3 = 27 × R1.

d. Calcul des résistances shunts R1, R2, R3 Reprenons l'expression de m3 où Rs = R1 + R2 + R3 : m3 = (Rg + Rs) / Rs 2 = (50 + Rs) / Rs 2 × Rs = 50 + Rs, d'où Rs = 50 Ω.

Nous savons que Rs = R1 + R2 + R3 = R1 + 2 × R1 + 27 × R1 = 30 × R1.

• R1 = 50 / 30 = 5 / 3 ≈ 1,667 Ω
• R2 = 2 × (5 / 3) = 10 / 3 ≈ 3,333 Ω
• R3 = 27 × (5 / 3) = 45 Ω (Vérification : 1,667 + 3,333 + 45 = 50 Ω. Le compte est bon).

Exercice 02 - Mesure de résistance par voltmètre en série

Question 1 - Représentation du schéma de montage

Le montage est un circuit série simple. Le générateur de tension continue est relié en série avec la résistance inconnue R et le voltmètre (qui se comporte comme une résistance Rv).

Question 2 - Expression de R en fonction de Rv et x

Soit E la tension du générateur. Lors de la première mesure, le voltmètre lit E directement : E = k × n1 (où k est une constante liée au calibre). Lors de la deuxième mesure, le voltmètre est en série avec R. Il se comporte comme un diviseur de tension. La tension qu'il lit (Uv = k × n2) est la tension à ses propres bornes : Uv = E × [ Rv / (R + Rv) ] En remplaçant E et Uv : k × n2 = k × n1 × [ Rv / (R + Rv) ] n2 / n1 = Rv / (R + Rv) Puisque l'énoncé pose x = n1 / n2, on a : 1 / x = Rv / (R + Rv) R + Rv = x × Rv R = Rv × (x - 1)

Question 3 - Expression de l'incertitude relative ΔR/R

Partons de la relation R = Rv × (x - 1). En passant au logarithme népérien : ln(R) = ln(Rv) + ln(x - 1) En différenciant (méthode des incertitudes relatives maximales, on additionne les valeurs absolues) : ΔR/R = ΔRv/Rv + Δx/(x - 1)

Question 4 - Démonstration de l'expression de Δx/x

(Note : l'extraction PDF de la formule dans l'énoncé source a été altérée par le logiciel de numérisation. Nous démontrons ici la formule mathématique correcte : Δx/x = (Δn/n1) × (x + 1)).

On sait que x = n1 / n2. L'incertitude relative d'un quotient est la somme des incertitudes relatives : Δx/x = Δn1/n1 + Δn2/n2 L'énoncé précise que les incertitudes de lecture sont égales : Δn1 = Δn2 = Δn. Δx/x = Δn/n1 + Δn/n2 Or, d'après la définition de x, nous savons que 1/n2 = x/n1. Remplaçons cela dans l'expression : Δx/x = Δn/n1 + Δn × (x/n1) En factorisant par Δn/n1, on obtient bien : Δx/x = (Δn/n1) × (x + 1)

Question 5 - Valeur de x pour laquelle l'incertitude est minimale

Nous devons minimiser l'expression de ΔR/R. D'après la question 4, Δx = x × (Δn/n1) × (x + 1). Remplaçons Δx dans l'équation de la question 3 : ΔR/R = ΔRv/Rv + (Δn/n1) × [ x(x + 1) / (x - 1) ] Puisque ΔRv/Rv et (Δn/n1) sont des constantes pour un calibre donné, minimiser ΔR/R revient à minimiser la fonction f(x) = (x² + x) / (x - 1) sur l'intervalle x > 1 (puisque R > 0). Calculons la dérivée f'(x) : f'(x) = [ (2x + 1)(x - 1) - (x² + x)(1) ] / (x - 1)² f'(x) = (2x² - 2x + x - 1 - x² - x) / (x - 1)² = (x² - 2x - 1) / (x - 1)² Le minimum est atteint lorsque la dérivée s'annule (le numérateur vaut 0) : x² - 2x - 1 = 0 Le discriminant vaut Δ' = 4 - 4(1)(-1) = 8. La seule racine valide (x > 1) est x = (2 + √8) / 2 = 1 + √2 (soit environ 2,414).

Question 6 - Calcul de R et de ΔR/R

L'énoncé nous demande d'utiliser la configuration d'incertitude minimale calculée ci-dessus, donc x = 1 + √2.

• Calcul de R : R = Rv × (x - 1) = 20000 × (1 + √2 - 1) = 20000 × √2 ≈ 28284,27 Ω

• Calcul de ΔR/R : On remplace x = 1 + √2 dans l'expression : x(x + 1) / (x - 1) = (1 + √2)(2 + √2) / √2 = (4 + 3√2) / √2 = 2√2 + 3 ≈ 5,828 On sait que ΔRv/Rv = 1% = 0,01 ; n1 = 100 ; et Δn = 0,5. ΔR/R = 0,01 + (0,5 / 100) × (2√2 + 3) ΔR/R = 0,01 + 0,005 × 5,8284 = 0,01 + 0,02914 = 0,03914 (soit environ 3,91%)

Exercice 03 - Méthodes Voltampèremètrique et Pont de Wheatstone

I. Méthode Voltampèremètrique

Question 1 - Calcul des grandeurs du circuit

a. Tension mesurée U La tension lue sur le voltmètre se calcule par U = (Calibre / Echelle) × Lecture. U = (30 / 30) × 29,412 = 29,412 V

b. Courant mesuré I De la même manière pour l'ampèremètre : I = (100 mA / 100) × 58,823 = 58,823 mA = 0,058823 A

c. Calcul de la résistance Réq D'après la loi d'Ohm pour l'ensemble du montage aval : Réq = U / I = 29,412 / 0,058823 ≈ 500 Ω

d. Déduction de la valeur de Rx On sait que Réq = Rx // Rv. Il faut d'abord calculer la résistance interne du voltmètre Rv : Rv = Sensibilité × Calibre = 20000 Ω/V × 30 V = 600000 Ω (600 kΩ). La formule de résistances en parallèle donne 1/Réq = 1/Rx + 1/Rv, d'où Rx = (Réq × Rv) / (Rv - Réq). Rx = (500 × 600000) / (600000 - 500) = 300000000 / 599500 ≈ 500,417 Ω

Question 2 - Expression de ΔRx/Rx

Partons de l'expression : Rx = (Réq × Rv) / (Rv - Réq) Appliquons le logarithme népérien : ln(Rx) = ln(Réq) + ln(Rv) - ln(Rv - Réq) Différencions pour trouver l'erreur maximale : ΔRx/Rx = ΔRéq/Réq + ΔRv/Rv + (ΔRv + ΔRéq)/(Rv - Réq) En regroupant les termes liés à ΔRéq et ΔRv : ΔRx/Rx = ΔRéq [1/Réq + 1/(Rv - Réq)] + ΔRv [1/Rv + 1/(Rv - Réq)] En réduisant au même dénominateur, on trouve l'expression simplifiée classique du montage aval : ΔRx/Rx = (Rx/Réq) × (ΔRéq/Réq) + (Rx/Rv) × (ΔRv/Rv)

II. Pont de Wheatstone

(Note sur l'énoncé : l'extraction indique un texte brouillé "sur des décades de 0,2%, 2R". Dans le contexte des ponts de mesure, cela signifie que les résistances de proportion R1 et R2 sont également constituées de boîtes de décades ayant la même précision de 0,2%.)

Question 1 - Schéma du montage

Le pont de Wheatstone est constitué de quatre branches formant un losange. Les bras adjacents sont R1 et R2 (formant le rapport de proportion). Les deux autres bras sont la résistance étalon réglable R et la résistance inconnue Rx. Une source d'alimentation est connectée à deux nœuds opposés, et le galvanomètre servant de détecteur de zéro est connecté aux deux autres nœuds.

Question 2 - Expression et valeur de Rx

À l'équilibre du pont (courant nul dans le galvanomètre), l'égalité des produits en croix donne : Rx × R2 = R × R1. D'où l'expression : Rx = R × (R1 / R2) Calcul numérique : Rx = 3528 × (100 / 1000) = 3528 × 0,1 = 352,8 Ω

Question 3 - Calcul des incertitudes absolues des décades et déduction de ΔR/R

La résistance R = 3528 Ω est constituée de quatre boîtes : les milliers (Ra = 3000 Ω), les centaines (Rb = 500 Ω), les dizaines (Rc = 20 Ω) et les unités (Rd = 8 Ω). Chacune a une précision de 0,2%. L'incertitude absolue pour chaque décade se calcule ainsi :

• Δa = 3000 × 0,002 = 6 Ω
• Δb = 500 × 0,002 = 1 Ω
• Δc = 20 × 0,002 = 0,04 Ω
• Δd = 8 × 0,002 = 0,016 Ω

L'incertitude absolue totale sur R est la somme des incertitudes de ses composantes en série : ΔR = Δa + Δb + Δc + Δd = 6 + 1 + 0,04 + 0,016 = 7,056 Ω L'incertitude relative se déduit : ΔR/R = 7,056 / 3528 = 0,002, soit 0,2%.

Question 4 - Incertitude de Rx

À partir de l'expression Rx = R × (R1 / R2), l'incertitude relative est la somme des incertitudes relatives des trois composantes (toutes données à 0,2%) : ΔRx/Rx = ΔR/R + ΔR1/R1 + ΔR2/R2 = 0,2% + 0,2% + 0,2% = 0,6%

L'incertitude absolue se calcule en multipliant la valeur de Rx par l'incertitude relative : ΔRx = Rx × 0,006 = 352,8 × 0,006 = 2,1168 Ω

Méthode

Lors d'un examen portant sur la métrologie et les mesures électriques, trois points sont essentiels :

1. Schémas de base : Vous devez connaître par cœur l'architecture interne des appareils (Ayrton, Voltmètre/Ampèremètre série et parallèle, ponts de Wheatstone). Savoir qui est en parallèle (diviseur de courant) et qui est en série (diviseur de tension) est la clé de voûte de tous les calculs.
2. Propagations d'incertitudes : L'astuce consiste systématiquement à exprimer la grandeur cherchée isolée d'un côté de l'égalité, puis à passer par le logarithme népérien avant de différencier. Remplacez ensuite les « d » de différentielle par des « Δ » en additionnant toujours les termes (incertitude maximale).
3. Optimisation : Lorsqu'on vous demande une incertitude minimale en fonction d'un paramètre (comme le ratio x dans l'exercice 2), isolez la portion de l'équation contenant x, dérivez cette portion par rapport à x, et cherchez pour quelle valeur cette dérivée s'annule (en n'oubliant pas les contraintes physiques du type x > 1).