Mechanical Resistance Material Notes

Ce laboratoire porte sur la résistance des matériaux soumis à des sollicitations simples telles que la traction, la compression, le cisaillement, la flexion et la torsion. Il permet d’étudier les contraintes et déformations dans ces cas, d’appliquer les lois fondamentales comme la loi de Hooke, et de vérifier les conditions de résistance des pièces mécaniques. Pour réaliser ce TP, il est nécessaire de connaître les notions de base en mécanique des matériaux et d’avoir accès à des outils de calcul et de mesure adaptés.

Objectifs

• Comprendre et calculer les contraintes et déformations en traction, compression et cisaillement.
• Appliquer la loi de Hooke pour déterminer les déformations élastiques.
• Vérifier les conditions de résistance des pièces mécaniques en tenant compte des coefficients de sécurité.
• Analyser les sollicitations en flexion simple et torsion sur des poutres et arbres cylindriques.
• Calculer les moments d’inertie et moments quadratiques pour différentes sections.
• Déterminer les contraintes maximales en flexion et torsion et vérifier la sécurité des pièces.

Prérequis et installation

• Connaissances de base en mécanique des matériaux : notions de contrainte, déformation, module de Young, module de cisaillement.
• Formules fondamentales de la résistance des matériaux.
• Matériel : calculatrice scientifique ou logiciel de calcul, éventuellement logiciel de dessin pour déterminer les dimensions des sections.
• Matériaux étudiés : acier, aluminium, PET, avec leurs modules respectifs.

Traction et Compression : Calcul des contraintes et déformations

On considère une pièce soumise à deux forces opposées de même intensité F. La contrainte normale σ est définie par :

σ = F / S

où S est la surface de la section transversale. L’allongement relatif ε est donné par :

ε = ∆l / l

La loi de Hooke relie contrainte et déformation en régime élastique :

σ = E ε

avec E le module de Young du matériau.

Exemple de calcul :

• Force F = 95 kN
• Section S = π/4 × (d_ext^2 − d_int^2) = 2827,4 mm²
• Contrainte σ = 95000 / 2827,4 = 33,6 MPa
• Limite élastique Re = 250 MPa, coefficient de sécurité s = 4
• Contrainte admissible σ_adm = Re / s = 62,5 MPa

La pièce résiste car σ ≤ σ_adm.

Calcul de la déformation :

ε = σ / E = 33,6 / 120000 = 2,8 × 10⁻⁴

∆l = ε × l = 2,8 × 10⁻⁴ × 2,5 m = 0,7 mm

Cisaillement : Calcul et vérification

Le cisaillement correspond à une force appliquée parallèlement à la section. La contrainte de cisaillement τ est liée à l’effort tranchant T et à la surface S :

τ = T / S

La condition de résistance est :

τ ≤ Rg / s

avec Rg la limite élastique en cisaillement et s le coefficient de sécurité.

Exemple :

• Force F = 5800 N
• Effort tranchant T = F / 2 = 2900 N
• Diamètre de l’axe d = 10 mm, surface S = π × r² = 78,54 mm²
• Contrainte τ = 2900 / 78,54 = 36,92 MPa
• Limite élastique Rg = 400 MPa, coefficient s = 5
• Contrainte admissible τ_adm = 400 / 5 = 80 MPa

L’axe est bien dimensionné car τ ≤ τ_adm.

Flexion simple : Calcul des contraintes normales

Lorsqu’une poutre est soumise à une flexion simple, les fibres supérieures sont comprimées et les fibres inférieures étirées. La contrainte normale σ varie selon la position verticale y :

σ = Mfz × y / IGz

où :

• Mfz : moment fléchissant (N.m ou N.mm)
• IGz : moment d’inertie de la section par rapport à l’axe z passant par le centre de gravité (m4 ou mm4)
• y : distance verticale par rapport au centre de gravité (m ou mm)

Le moment d’inertie IGz pour une section rectangulaire est :

IGz = b × h³ / 12

avec b la base parallèle à l’axe z et h la hauteur de la section.

La condition de résistance impose que la contrainte maximale en compression et en traction soit inférieure à la contrainte admissible :

σ ≤ Rc / s  (compression)
σ ≤ Re / s  (traction)

Exemple :

• Mfz = 17,85 N.m
• IGz = 6 × 10⁻⁸ m⁴
• y_compression = 26 mm = 26 × 10⁻³ m
• σ_compression = (17,85 × 26 × 10⁻³) / (6 × 10⁻⁸) = 7,7 MPa
• Contrainte admissible compression = Rc / s = 270 / 3 = 90 MPa

La poutre résiste car σ ≤ σ_adm.

Torsion d’une poutre cylindrique : Calcul des contraintes tangentielles

La torsion génère une contrainte tangentielle τ donnée par :

τ = Mt × R / I0

où :

• Mt : moment de torsion (N.mm ou N.m)
• R : rayon de la section (mm ou m)
• I0 : moment d’inertie polaire de la section, pour un cylindre plein :

I0 = π × d⁴ / 32

En régime élastique, la contrainte est reliée à la déformation angulaire γ par :

τ = G × γ

avec G le module de cisaillement et :

γ = R × θ / L

où θ est la rotation en radians, L la longueur de la poutre.

La condition de résistance est :

τ ≤ Rg / s

Exemple de calcul :

• Mt = 2100000 N.mm
• d = diamètre de la section
• τ = 16 Mt / (π d³) = 68,44 MPa
• Calcul du module de cisaillement G = 64 GPa
• Déformation angulaire α = 0,315 rad = 18,05 degrés

Dimensionnement d’un arbre creux en torsion

Pour un arbre creux, la contrainte maximale en torsion est :

τ = Mt × R / I0

avec I0 = π (D_ext⁴ − D_int⁴) / 32

On impose la condition :

τ ≤ Rg / s

En utilisant la relation d = 0,6 D_ext pour le diamètre intérieur, on calcule :

• Diamètre extérieur minimal D_ext ≥ 30,8 mm
• Diamètre intérieur d = 0,6 × D_ext = 18,84 mm
• Déformation angulaire calculée α = 0,016 rad

Les diamètres et déformations sont proches de ceux d’un arbre plein, assurant un bon dimensionnement.

Résultats attendus

• Contrainte en traction/compression calculée conforme à la limite élastique divisée par le coefficient de sécurité.
• Déformation relative faible, de l’ordre de quelques dixièmes de millimètre pour des longueurs de plusieurs mètres.
• Contrainte de cisaillement inférieure à la contrainte admissible, garantissant la sécurité des liaisons mécaniques.
• Contrainte maximale en flexion localisée aux fibres extrêmes de la section, respectant la condition de résistance.
• Contrainte tangentielle en torsion respectant la limite élastique divisée par le coefficient de sécurité.
• Dimensionnement d’arbres pleins ou creux assurant la résistance mécanique et des déformations angulaires acceptables.

Pièges courants

• Confondre la surface de la section S avec la surface projetée ou négliger les dimensions intérieures dans le cas d’une section creuse.
• Oublier d’appliquer le coefficient de sécurité, ce qui conduit à une surestimation de la résistance.
• Ne pas distinguer les contraintes de traction et de compression en flexion, alors que les deux doivent être vérifiées.
• Utiliser des unités incohérentes (m, mm, N, MPa) dans les calculs, ce qui fausse les résultats.
• Ignorer que le module de cisaillement G est différent du module de Young E et ne pas l’utiliser correctement dans les calculs de torsion.
• Ne pas prendre en compte la position y dans le calcul des contraintes en flexion, ce qui fausse la détermination des contraintes maximales.
• Pour les arbres creux, ne pas appliquer correctement la formule du moment d’inertie polaire en tenant compte du diamètre intérieur.