M1 BADS

Question 1 - Analyse de la matrice de corrélation

La matrice de corrélation présente les liens de dépendance linéaire entre toutes les paires de variables. Elle est carrée, symétrique, et sa diagonale principale est remplie de 1 (chaque variable est parfaitement corrélée avec elle-même). Les valeurs varient de -1 à 1, où une valeur proche de 1 ou -1 indique une très forte liaison (positive ou négative), et une valeur proche de 0 indique une absence de corrélation linéaire.

• Le couple le plus corrélé : Il faut chercher la valeur (en valeur absolue) la plus proche de 1 en dehors de la diagonale. Il s'agit du couple PAA (Autre pain) et RAI (Raisin de tables), avec un coefficient de corrélation r = 0,959.
• Le couple le moins corrélé : Il faut chercher la valeur (en valeur absolue) la plus proche de 0. Il s'agit du couple PAA (Autre pain) et POT (Pommes de terre), avec un coefficient r = -0,333 (soit 0,333 en valeur absolue).

Question 2 - Valeurs propres et signification

• Total des valeurs propres : Dans le cas d'une ACP normée (basée sur la matrice de corrélation), la somme totale des valeurs propres est égale au nombre total de variables actives. L'énoncé comporte 8 variables (PAO, PAA, VIO, VIA, POT, LEC, RAI, PLP). Le total des valeurs propres est donc de 8. On peut le vérifier en sommant la colonne "Valeurs propres initiales" : 6,208 + 0,880 + 0,416 + 0,306 + 0,168 + 0,018 + 0,003 + ≈0 = 8,000.
• Signification d'une valeur propre λi : La valeur propre associée à un axe factoriel (ou composante) i représente la variance (ou inertie) expliquée par cet axe. Elle quantifie la part d'information du tableau de données initial qui est résumée par cette seule composante.

Question 3 - Choix du nombre d'axes factoriels

• Méthode de Kaiser : Cette règle stipule qu'il faut conserver uniquement les axes dont la valeur propre est strictement supérieure à 1 (λ > 1). D'après le tableau "Variance totale expliquée", seule la première composante remplit ce critère (λ1 = 6,208). Selon Kaiser, on ne retiendrait donc qu'un seul axe.
• Méthode du "Coude" : Cette méthode graphique consiste à observer le décrochage des valeurs propres. On constate une chute brutale entre le premier axe (6,208) et le deuxième (0,880), puis une baisse beaucoup plus modérée et régulière pour les suivants (0,416, puis 0,306, etc.). Le point d'inflexion (ou coude) se situe à l'axe 2. Selon cette méthode, on retiendrait deux axes.

Méthode utilisée par l'énoncé : Le tableau des variances et la matrice des composantes (notamment la rotation Varimax) montrent que deux axes ont été extraits. L'énoncé n'a donc pas appliqué strictement la règle de Kaiser (puisque λ2 = 0,880 < 1). Il s'est plutôt appuyé sur le critère du coude et sur le pourcentage de variance cumulée : les deux premiers axes permettent de restituer 88,595 % de l'information initiale, ce qui est un score d'explication excellent, rendant un troisième axe superflu.

Question 4 - Positionnement des variables et sens des axes

Pour interpréter les axes, on s'appuie sur le tableau "Rotation de la matrice des composantes" qui nous donne les corrélations entre les variables initiales et les axes factoriels extraits et tournés (Varimax).

• Axe 1 (Composante 1) : Cet axe est très fortement et positivement corrélé avec PAA (0,950), RAI (0,938), VIA (0,905) et PLP (0,714). À l'inverse, il est corrélé négativement avec PAO (-0,728) et LEC (-0,679). Sens de l'axe 1 : Il oppose les produits "élaborés", chers ou typiques des modes de consommation modernes (autre pain, raisin de table, autre jus, plats préparés) aux aliments basiques et traditionnels (pain ordinaire, légumes secs). On peut le qualifier d'axe du "budget alimentaire" ou du "raffinement / modernité".

• Axe 2 (Composante 2) : Cet axe est défini par une très forte corrélation positive avec POT (0,923). Il tire également avec lui, dans une moindre mesure, PAO (0,661), VIO (0,650) et LEC (0,616). Sens de l'axe 2 : Cet axe regroupe les aliments très nourrissants, traditionnels et d'origine agricole directe (pommes de terre, complétées par le pain et le jus ordinaire). C'est un axe qui caractérise une alimentation "rurale, roborative ou paysanne".

Question 5 - Positionnement des individus et groupes

Bien que nous n'ayons pas le graphique des individus sous les yeux, leurs profils de consommation dans le tableau de départ permettent de déterminer leurs coordonnées sur les axes que nous venons de définir. Nous pouvons distinguer trois groupes distincts :

1. Le groupe des classes favorisées / urbaines (CSUP, PRIN, CMOY) :
   • Profil : Dans le tableau initial, les Cadres supérieurs et les Professions indépendantes ont les scores les plus élevés en PAA, VIA, RAI et PLP.
   • Positionnement : Ils se trouveront complètement à droite (côté positif) de l'Axe 1.
2. Le groupe agricole (AGRI, SAAG) :
   • Profil : Les Exploitants et Salariés agricoles consomment massivement du Pain ordinaire (PAO = 167), du Jus ordinaire (VIO = 163) et des Pommes de terre (POT = 41), avec des scores quasi nuls sur les produits élaborés (PAA = 1).
   • Positionnement : Ils se trouveront du côté très négatif de l'Axe 1 (peu de raffinement urbain) et très positif sur l'Axe 2 (forte consommation de pommes de terre et produits basiques).
3. Le groupe populaire / intermédiaire (OUVR, INAC, EMPL) :
   • Profil : Ouvriers et Inactifs se caractérisent par la plus forte consommation de pommes de terre après les agriculteurs (POT = 53 pour INAC, 43 pour OUVR), tout en conservant une consommation modérée à forte des produits ordinaires.
   • Positionnement : Ils occuperont une position intermédiaire, plutôt du côté négatif de l'Axe 1, et se distingueront vers le haut de l'Axe 2 en raison de leur consommation de produits roboratifs.

Méthode

Face à une Analyse en Composantes Principales (ACP) en examen :

1. Vérifiez toujours la matrice de corrélation initiale : elle permet d'anticiper les regroupements de variables que vous retrouverez sur les axes factoriels. Si A et B ont une forte corrélation, leurs vecteurs pointeront dans la même direction sur la carte factorielle.
2. Analysez les valeurs propres : mémorisez les deux règles de sélection (Kaiser = λ > 1 ; Coude = cassure graphique). Pensez à toujours regarder la colonne "% cumulé" : une très bonne ACP explique plus de 70 à 80 % de la variance avec 2 ou 3 axes.
3. Utilisez la matrice des composantes (ou matrice des chargements) : c'est la clé de l'exercice. Identifiez les valeurs extrêmes (positives et négatives, généralement > 0,6 ou < -0,6) sur chaque axe pour nommer et donner un sens concret à cet axe.
4. Croisez avec les données brutes : si on vous demande de placer les individus (les lignes du tableau) sans avoir la carte, croisez le sens de l'axe que vous venez de trouver avec les valeurs fortes du tableau initial.