MØthodes Monte Carlo & Simulation des ModŁles Financiers

Ce document présente des exercices d’entraînement sur les méthodes Monte Carlo appliquées à la simulation et à l’évaluation de modèles financiers. Il s’adresse aux étudiants de troisième année en finance ou informatique financière, souhaitant approfondir la modélisation stochastique des options et portefeuilles, ainsi que l’estimation numérique de quantiles et d’intervalles de confiance.

Évaluation d’une option européenne par la méthode de Monte Carlo

On considère une option d’achat européenne dont le prix initial de l’actif sous-jacent est s0 = 100, le taux sans risque r = 0,05, la volatilité ν = 0,20, et la maturité T = 1 an. L’objectif est d’évaluer par simulation Monte Carlo l’espérance et la variance du prix de l’option selon le modèle de Black & Scholes, puis de comparer ces résultats aux valeurs analytiques exactes.

Le premier moment théorique (espérance) est donné par :

θ = EQ [e−rT max(S − K; 0)] = s0 N(d) − K e−rT N(d − ν√T)

avec

d = (ln(s0/K) + (r + ν²/2) T) / (ν√T)

La variance théorique est :

σ² = Var [e−rT max(S − K; 0)] = s0² eν²T N(d + ν√T) − 2 s0 K e−rT N(d) + K² e−2rT N(d − ν√T) − θ²

où N(·) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

Exemple d’application :

• Simuler un grand nombre de trajectoires du prix S(T) selon le modèle Black & Scholes.
• Calculer pour chaque trajectoire le payoff e−rT max(S(T) − K; 0).
• Estimer l’espérance et la variance par la moyenne et la variance empirique des payoffs simulés.
• Comparer ces résultats aux formules analytiques données.

Évaluation d’un portefeuille composé de deux actifs indépendants

Considérons deux titres A et B avec prix Sa(t) et Sb(t) au temps t. On achète na unités de A et nb unités de B au temps 0, la richesse initiale est :

W0 = na Sa(0) + nb Sb(0)

À l’échéance T, la richesse finale est :

WT = na Sa(T) + nb Sb(T)

Les prix suivent des mouvements browniens géométriques indépendants :

Sa(T) = Sa(0) exp((µa − ½ σa²) T + σa Za √T)

Sb(T) = Sb(0) exp((µb − ½ σb²) T + σb Zb √T)

où Za et Zb sont des variables normales indépendantes.

L’objectif est d’écrire un algorithme Monte Carlo pour estimer la probabilité :

P(WT / W0 ≤ 0.9)

c’est-à-dire la probabilité que la valeur du portefeuille diminue de 10% ou plus.

Estimation de quantiles et intervalles de confiance

On cherche à estimer des quantiles d’ordre α = 0,25 et α = 10⁻³ pour des tailles d’échantillon n = 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶. Cette estimation s’effectue par simulation Monte Carlo en ordonnant les résultats et en sélectionnant la valeur correspondante au rang α × n.

Pour une taille d’échantillon de 100 000 et un niveau θ = 1%, on détermine des intervalles de confiance aux niveaux 80%, 90% et 99% à partir de la distribution empirique des résultats simulés.

Évaluation d’une option dans le modèle NGARCH

Le modèle NGARCH est un modèle stochastique à volatilité conditionnelle pour le prix St de l’actif sous-jacent, simulé sur une base quotidienne sous la mesure neutre au risque Q :

ln(St+1 / St) = ρ − ½ ht+1 + √ht+1 εt+1

où (εt) est une suite de variables normales indépendantes centrées réduites sous Q, et ht+1 est la variance conditionnelle du rendement quotidien :

ht+1 = β0 + β1 ht + β2 ht εt²

Les paramètres sont choisis pour que le modèle NGARCH ait un comportement similaire à Black & Scholes :

• S0 = 100
• ρ = 0,05 / 365 ≈ 1,3699 × 10⁻⁴ (taux d’intérêt quotidien)
• β0 = 0,00001, β1 = 0,8, β2 = 0,1
• Variance stationnaire h* = β0 / (1 − β1 − β2) = 1,0959 × 10⁻⁴
• Paramètre ˜λ = 0,29580

On demande :

1. De calculer par simulation Monte Carlo les prix d’options d’achat de maturité 6 mois avec prix d’exercice 0,8 × S0, 0,9 × S0, S0, 1,1 × S0 et 1,2 × S0, pour des tailles d’échantillon 5000, 10000, 25000, 50000 et 100000.
2. De construire les intervalles de confiance autour de ces prix.
3. De noter les temps de calcul nécessaires pour chaque taille d’échantillon.
4. De produire un graphe présentant la marge d’erreur en abscisse et le temps de calcul en ordonnée.

Évaluation d’une option asiatique par simulation Monte Carlo

Une option asiatique européenne a un payoff dépendant de la moyenne des prix du sous-jacent sur la durée de vie de l’option :

(¯S − K)+

où ¯S est la moyenne des prix du sous-jacent sur la trajectoire jusqu’à l’échéance. Le prix de l’option est :

C(t, s) = e−r(T−t) EQ[(¯S − K)+]

Cette espérance est évaluée par simulation Monte Carlo en discretisant la durée T en m pas Δt = T/m, avec :

St+1 = St e(r − ½ σ²) Δt + σ √Δt εt+1

où εt+1 ~ N(0, 1) sont des variables normales indépendantes.

Les étapes pour calculer le prix d’un call asiatique sont :

1. Diviser la durée T en m intervalles Δt.
2. Générer une trajectoire du prix St en simulant les εt.
3. Calculer la moyenne ¯Si des prix sur la trajectoire i :

¯Si = (1/m) Σ Sj

4. Calculer le cash-flow de l’option pour la trajectoire i :

CFi = (¯Si − K)+

5. Répéter pour N trajectoires et calculer la moyenne des cash-flows actualisés :

ˆC = e−r(T−t) (1/N) Σ CFi

6. Estimer l’écart-type de cette estimation :

ˆs² = (1/(N−1)) Σ (Ci − ˆC)², avec Ci = e−r(T−t) CFi

Application numérique :

• S0 = 80, K = 85, T = 1 an, r = 0,05, σ = 0,2, n = 1000 simulations.
• Interpréter le prix obtenu.
• Déterminer les prix d’options d’achat de maturité 6 mois avec prix d’exercice 0,8 × S0, 0,9 × S0, S0, 1,1 × S0, 1,2 × S0 pour des tailles d’échantillon 5000, 10000, 25000, 50000, 100000.
• Construire les intervalles de confiance autour de ces prix.
• Noter les temps de calcul pour chaque taille d’échantillon.
• Produire un graphe présentant la marge d’erreur en abscisse et le temps de calcul en ordonnée.

Glossaire des termes clés

• Option européenne : Contrat donnant le droit d’acheter ou vendre un actif à un prix fixé à une date d’échéance précise.
• Monte Carlo : Méthode de simulation numérique utilisant des tirages aléatoires pour estimer des quantités complexes.
• Black & Scholes : Modèle mathématique de valorisation d’options basé sur un mouvement brownien géométrique.
• GBM (Mouvement Brownien Géométrique) : Processus stochastique modélisant l’évolution du prix d’un actif financier.
• Variance conditionnelle : Variance d’un rendement conditionnée à l’information disponible à un instant donné.
• NGARCH : Modèle de volatilité conditionnelle non linéaire utilisé pour modéliser les rendements financiers.
• Payoff : Valeur finale d’un contrat financier à l’échéance.
• Path-dependent : Caractéristique d’une option dont la valeur dépend du chemin suivi par le prix sous-jacent.
• Quantile : Valeur sous laquelle une proportion donnée des données se trouve.
• Intervalle de confiance : Intervalle estimé contenant la vraie valeur d’un paramètre avec une probabilité donnée.

Points clés à retenir

• La simulation Monte Carlo permet d’estimer numériquement l’espérance et la variance des options lorsque les formules analytiques sont complexes ou inexistantes.
• Le modèle Black & Scholes repose sur un mouvement brownien géométrique avec volatilité constante, tandis que NGARCH introduit une volatilité conditionnelle variable.
• Les options asiatiques sont path-dependent, leur payoff dépend de la moyenne des prix sur la durée de vie de l’option.
• La précision des estimations Monte Carlo s’améliore avec le nombre de trajectoires simulées, mais au coût d’un temps de calcul plus élevé.
• Les intervalles de confiance permettent de quantifier l’incertitude des estimations issues des simulations.
• Les quantiles sont essentiels pour évaluer les risques extrêmes dans les portefeuilles financiers.