Le Filtrage des Signaux Numériques

Cette conférence traite du filtrage des signaux numériques, une étape essentielle dans le traitement du signal. Elle s'inscrit dans un cours de Master 1 en traitement du signal et couvre les principes fondamentaux des filtres analogiques et numériques, la transformée en z, la conception et l'analyse des filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) et infinie (RII), ainsi que les applications avancées comme les bancs de filtres et la transmission numérique.

Filtres analogiques et numériques : notions fondamentales

Les filtres linéaires sont caractérisés par leur fonction de transfert, qui décrit la relation entre l'entrée et la sortie du système. En analogique, on distingue quatre types principaux de filtres idéaux : passe-bas (lowpass), passe-haut (highpass), passe-bande (bandpass) et rejecteur de bande (bandstop).

Dans la réalité, ces filtres présentent des caractéristiques proches mais non parfaites, avec des réponses en fréquence qui varient selon leur conception. Les filtres analogiques passifs sont réalisés à partir d'éléments R, L, C, tandis que les filtres actifs utilisent des amplificateurs opérationnels.

Les filtres numériques sont quant à eux implémentés via des structures numériques telles que les DSP ou microprocesseurs, qui calculent la convolution ou la transformée de Fourier rapide (FFT).

Exemples de filtres analogiques passifs

Un filtre passe-bas passif est constitué d'une résistance R et d'un condensateur C en série, avec la sortie prise aux bornes du condensateur. Sa fonction de transfert s'écrit :

H(jω) = 1 / (1 + jωRC)

La fréquence de coupure est définie par ω = 1/RC. La réponse en amplitude présente un gain de 0 dB à basse fréquence et une atténuation progressive au-delà de la fréquence de coupure.

De manière similaire, un filtre passe-haut passif utilise un condensateur en série suivi d'une résistance, avec la sortie prise aux bornes de la résistance. Sa fonction de transfert est :

H(jω) = jωRC / (1 + jωRC)

Les filtres passe-bande passifs combinent des éléments R, L, C pour obtenir une bande de fréquences centrée autour d'une fréquence ω0, avec une largeur de bande définie par les valeurs des composants.

Transformée en z et systèmes discrets

La transformée en z est un outil fondamental pour l'analyse des systèmes discrets. Elle est définie pour une suite {x(n)} par :

X(z) = ∑ x(n) z⁻ⁿ, n ∈ ℤ

La transformée en z bilatérale prend en compte toutes les valeurs entières de n, tandis que la transformée monolatérale se limite à n ≥ 0.

Cette transformée est liée à la transformée de Laplace par la relation z = e^(pT), où p = σ + j2πf, σ étant l'amortissement et f la fréquence.

Les propriétés principales de la transformée en z incluent la linéarité, le décalage temporel, la multiplication par une exponentielle et la convolution. Le domaine de convergence (ROC) est essentiel pour la validité de la transformée.

Systèmes linéaires invariants et relations de récurrence

Un système discret linéaire et invariant dans le temps est caractérisé par une relation de récurrence entre l'entrée x(n) et la sortie y(n) :

∑ a_m y(n - m) = ∑ b_k x(n - k)

où les coefficients {a_m} et {b_k} définissent le système. La transformée en z permet de passer de cette relation temporelle à une fonction de transfert H(z) :

H(z) = Y(z) / X(z) = (∑ b_k z⁻ᵏ) / (1 + ∑ a_m z⁻ᵐ)

La stabilité du système ARMA (Auto-Régressif à Moyenne Mobile) est assurée si tous les pôles de H(z) sont à l'intérieur du cercle unité du plan complexe.

Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) et infinie (RII)

Les filtres RIF sont définis par une réponse impulsionnelle finie h(n), et leur sortie est donnée par la convolution finie :

y(n) = ∑_{k=0}^{N-1} h(k) x(n - k)

Ils sont toujours stables et peuvent avoir une phase linéaire, ce qui est important pour éviter la distorsion de phase dans des applications comme l'audio ou l'imagerie.

Les filtres RII, quant à eux, sont définis par une relation de récurrence impliquant des sorties passées :

y(n) = ∑_{k=0}^N b_k x(n - k) - ∑_{m=1}^M a_m y(n - m)

Ils sont généralement plus compacts et plus efficaces en termes de calcul, mais peuvent être instables et présentent une phase non linéaire.

Le choix entre RIF et RII dépend des contraintes de l'application : les RIF sont préférés pour la stabilité et la phase linéaire, tandis que les RII sont choisis pour leur efficacité et leur sélectivité.

Conception de filtres numériques par la méthode des fenêtres

La conception d'un filtre RIF passe-bas idéal consiste à tronquer la réponse impulsionnelle infinie h(n) par une fenêtre de longueur finie 2N+1 :

h_n = (sin(2π b n)) / (π n)

Cette troncature introduit des lobes secondaires dans la réponse en fréquence, ce qui peut être atténué en multipliant h(n) par une fenêtre de pondération comme la fenêtre de Hamming :

w_H(n) = 0.54 + 0.46 cos(2π n / N), n ∈ [-N/2, N/2]

Cette pondération réduit les oscillations dans la bande passante et améliore l'atténuation dans la bande arrêt.

La largeur de la bande de transition Δf est inversement proportionnelle à la longueur N de la fenêtre :

Δf ≈ 3.3 / N

Différentes fenêtres (rectangulaire, Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser) offrent des compromis entre largeur de bande de transition, ondulations et atténuation.

Bancs de filtres et traitement multicadence

Un banc de filtres est un ensemble de filtres numériques travaillant en parallèle pour découper la bande de fréquence en K sous-bandes. Ces systèmes sont utilisés pour le traitement multicadence, où différentes cadences de traitement coexistent, permettant un gain d'efficacité.

Les opérations de suréchantillonnage (interpolation) et de sous-échantillonnage (décimation) sont des exemples typiques de traitement multicadence. Le suréchantillonnage consiste à insérer M-1 valeurs intermédiaires entre deux échantillons, tandis que le sous-échantillonnage consiste à ne conserver qu'un échantillon sur M.

Transmission numérique et modulation

La transmission numérique peut se faire en bande de base, où les signaux sont transmis tels quels, ou par modulation, qui transpose le signal en fréquence pour permettre le multiplexage fréquentiel et l'adaptation au canal de transmission.

La quantité d'information contenue dans un message est mesurée par l'entropie, définie par :

H(X) = - ∑ p(x_i) log₂ p(x_i)

Un message numérique est une suite de variables aléatoires binaires {d_k}, modulée par une impulsion h(t) décalée :

x(t) = ∑ d_k h(t - k T_b)

La modulation sur porteuse associe à chaque symbole un signal sinusoïdal de fréquence porteuse f0 et phase Φ_k :

x(t) = A cos(2π f₀ t + Φ_k)

Modulation PCM et modulation delta

La modulation PCM (Pulse Code Modulation) quantifie un signal analogique en q = 2^n niveaux, nécessitant n impulsions binaires par échantillon. Le débit binaire est alors M = n F_e (en baud), avec F_e la fréquence d'échantillonnage.

La bande passante nécessaire est approximativement :

B ≈ n F_e / 2

La modulation delta est une quantification à un seul bit basée sur la différence entre l'échantillon et une estimation extrapolée. Elle impose des contraintes strictes sur la bande passante et la précision du pas de quantification Δ.

Points clés

• Les filtres analogiques passifs et actifs sont la base des filtres numériques, qui sont réalisés via des DSP ou microprocesseurs.
• La transformée en z est un outil essentiel pour l'analyse des systèmes discrets, avec des propriétés de linéarité, décalage et convolution.
• Les filtres RIF sont toujours stables et peuvent avoir une phase linéaire, tandis que les filtres RII sont plus compacts mais peuvent être instables.
• La méthode des fenêtres permet de concevoir des filtres RIF en tronquant la réponse impulsionnelle idéale et en appliquant une fenêtre de pondération pour réduire les lobes secondaires.
• Les bancs de filtres et le traitement multicadence permettent de découper la bande de fréquence et d'optimiser le traitement numérique.
• La transmission numérique utilise des techniques de modulation en bande de base ou sur porteuse, avec des codages adaptés pour optimiser la quantité d'information transmise.
• La modulation PCM quantifie le signal en plusieurs niveaux, tandis que la modulation delta utilise une quantification à un seul bit basée sur la différence d'amplitude.