Introduction aux SystŁmes Financiers & Gestion Bancaire

Ce document présente une introduction aux systèmes financiers et à la gestion bancaire, avec un accent particulier sur le calcul des intérêts simples et la gestion des comptes bancaires. Il s’adresse principalement aux étudiants de première année en sciences économiques ou gestion, souhaitant maîtriser les bases du calcul d’intérêts, des placements et des opérations bancaires courantes.

Intérêt simple : principes et calculs

L’intérêt simple est calculé sur le capital initial pendant une période donnée, sans capitalisation des intérêts. La formule générale pour déterminer le montant final C(t) d’un capital C(0) placé à un taux annuel r pendant une durée t (exprimée en fraction d’année) est :

C(t) = C(0) × (1 + r × t)

Exemple 1 : Calcul du capital initial

Un prêt est consenti le 13 mars à un taux d’intérêt de 12%, remboursé le 8 juillet par une somme de 9 351 D. Calculer le capital initial.

Durée entre le 13 mars et le 8 juillet : 117 jours (sur une base de 360 jours).

C(0) = C(t) / (1 + r × t)
     = 9351 / (1 + 0.12 × (117/360))
     = 9000 D

Exemple 2 : Différence entre intérêt commercial et intérêt civil

La différence entre l’intérêt commercial et l’intérêt civil d’un capital placé à 9,5% pendant 72 jours est de 1,140 D. Calculer ce capital.

Formule :

Différence = ICom − ICiv
           = C(0) × r × t × ((1/360) − (1/365))

⇔ C(0) = Différence / [r × t × ((1/360) − (1/365))]

Calcul :

C(0) = 1.140 / (0.095 × 72 × ((1/360) − (1/365))) = 4380 D

Exemple 3 : Calcul de capital, durée et date de retrait

Un capital C est placé le 6 avril à un taux de 9,6% pendant j jours, produisant un intérêt de 43,680 D. Si le retrait s’effectue le 5 juillet, les intérêts seraient de 93,600 D. Trouver C, j et la date du retrait.

Durée entre le 6 avril et le 5 juillet :

j = (30 − 6) + 31 + 30 + 5 = 90 jours

Calcul du capital :

C = I2 / (r × j)
  = 93.600 / (0.096 × (90/360))
  = 3900 D

Calcul de la durée j correspondant à 43,680 D :

j = I1 / (C × r)
  = 43.680 / (3900 × 0.096) × 360
  = 42 jours

La date de retrait correspondant à 42 jours après le 6 avril est le 18 mai.

Gestion des placements successifs à intérêt simple

Exemple 4 : Placement en deux temps avec taux différents

Une personne dépose 20 000 D le 1er janvier dans un compte à intérêt simple au taux t. Le 30 septembre, elle solde ce compte et dépose la somme obtenue dans un autre compte au taux (t + 1,5)%. La durée est exprimée en mois.

1. Si t = 6%, calculer la valeur acquise au 31 décembre et déterminer le taux moyen de placement.
2. Si la valeur acquise au 31 décembre est de 21 394,5 D, trouver t puis le taux moyen de placement.

Solution 1 :

Au 30/09 : C = 20000 × (1 + 0.06 × 9/12) = 20 900 D
Au 31/12 : C = 20 900 × (1 + 0.075 × 3/12) = 21 291,875 D

Taux moyen T = (20000 × 6% × 9 + 20900 × 7.5% × 3) / (20000 × 9 + 20900 × 3) = 6,337%

Solution 2 :

On pose :

21 394,5 = 20000 × (1 + t × 9/12) × (1 + (t + 0.015) × 3/12)

Ce qui donne une équation quadratique :

t² + (3/16) × 4.015 t − (21394.5 / 20000) = 0

Résolution :

t1 = 6.5% (solution retenue)
t2 < 0 (rejetée)

Calcul du taux moyen :

T = (20000 × 6.5% × 9 + 20975 × 8% × 3) / (20000 × 9 + 20975 × 3) = 6,889%

Calculs avec plusieurs capitaux et durées différentes

Exemple 5 : Deux capitaux avec taux et durées différentes

Un capital de 21 000 D est placé à un taux t pendant j jours, un autre capital de 15 000 D est placé au taux (t + 1,5)% pendant (j + 18) jours. La somme des intérêts est de 557,250 D et le taux moyen de placement est de 11,257576%. Trouver j et t.

Solution :

I1 + I2 = 557,250
T = 11,257576%

21000 × t × j / 360 + 15000 × (t + 1.5) × (j + 18) / 360 = 557,250

T = (21000 × t × j + 15000 × (t + 1.5) × (j + 18)) / (21000j + 15000(j + 18))

Après calcul :

j = 42 jours
t = 10,5%

Exemple 6 : Calcul des taux effectifs avec intérêts précomptés

Si les intérêts sont payés à l’avance (intérêt précompté), le taux effectif TEG est donné par :

TEG = t / (1 − t × n / 360)

Pour les deux capitaux :

TEG1 = 10.5% / (1 − 10.5% × 42 / 360) = 10.63%
TEG2 = 12% / (1 − 12% × 60 / 360) = 12.245%

Exemple 7 : Résolution d’un système avec deux capitaux et taux inconnus

Deux capitaux C1 et C2 placés à taux t% et (t + 0,4)% pendant un an, avec C1 + C2 = 16 800 D. La somme des intérêts est 1 651,2 D. Si on inverse les taux, la somme des intérêts devient 1 641,6 D. Trouver t, C1 et C2.

Solution :

C1 + C2 = 16800
C1 × t + C2 × (t + 0.004) = 1651.2
C1 × (t + 0.004) + C2 × t = 1641.6

En combinant, on obtient :
t = 9.6%
C1 = 7200 D
C2 = 9600 D

Exemple 8 : Deux capitaux avec intérêts connus

Deux capitaux C1 et C2 placés à taux t% et (t + 1)% pendant un an, avec C1 + C2 = 20 000 D. Les intérêts produits sont 1080 D et 800 D respectivement. Trouver t, C1 et C2.

Solution :

C1 + C2 = 20000
I1 = C1 × t = 1080
I2 = C2 × (t + 0.01) = 800

Résolution donne :
t = 9%
C1 = 12000 D
C2 = 8000 D

Gestion d’un livret d’épargne avec opérations multiples

Exemple 9 : Calcul des intérêts trimestriels et valeur acquise

Un épargnant ouvre un livret le 12 mars 2010 avec un dépôt de 300 TND. Les taux d’intérêt sont 2,25% de janvier à juillet, puis 2,5% d’août à novembre. Plusieurs opérations sont réalisées (retraits et versements). Calculer les intérêts trimestriels et la valeur acquise au 30 septembre 2010, en tenant compte d’un impôt de 20% sur les revenus.

Principes :

• Le nombre de jours pendant lesquels le solde est stable est comptabilisé.
• La date de valeur correspond à la date de l’opération.
• Les intérêts nets sont versés à la fin du trimestre après retenue à la source.

Les calculs détaillés prennent en compte les dates et montants des opérations, ainsi que le taux d’intérêt applicable à chaque période.

Exemple 10 : Calcul des intérêts sur un livret avec opérations en 2012

Un épargnant ouvre un compte le 10 janvier 2012 avec 70 TND. Plusieurs versements et retraits sont effectués durant l’année. Le taux d’intérêt est stable à 2%. Calculer les intérêts servis au client au 31 décembre 2012.

La méthode est similaire à l’exemple précédent, en tenant compte des dates de valeur, des soldes stables et du taux d’intérêt annuel.

Calcul des agios et commissions sur compte courant

Exemple 11 : Calcul des agios au 30 juin 2013

Un client présente plusieurs mouvements sur son compte courant. Les données sont :

• Jours de banque = 1 jour
• Taux du découvert = taux du marché monétaire (5%) + 3%
• Commission sur le plus fort découvert = 0,1%
• Commission sur les mouvements débit = 0,03%
• Les mouvements créditeurs ne sont pas rémunérés

Calcul :

Intérêt = 756000 × 8% / 360 = 168
Commission plus fort découvert = 0.1% × (6000 + 28000) = 34
Commission débit = 0.03% × (25000 + 30000) = 16.5
Total agios = 168 + 34 + 16.5 = 218.5

Coût réel du découvert = 218.5 × 36500 / (6000 × 28 + 28000 × 21) = 10.55%

Exemple 12 : Calcul des agios au 30 septembre 2010 pour la société "AZER"

Le solde initial est de 5 000 D. Plusieurs opérations de virements, remises de chèques, retraits et versements sont effectués au cours du troisième trimestre 2010. Les données :

• Taux de découvert = TMM + 4%
• TMM : 4,52% en juillet, 4,61% en août, 4,52% en septembre
• Commission plus fort découvert (CPFD) = 0,05%
• Commission mouvements débit = 0,025%
• Les mouvements créditeurs ne sont pas rémunérés

Le calcul des agios prend en compte les soldes débiteurs, le nombre de jours débiteurs, les taux appliqués, ainsi que les commissions. Le coût réel du découvert est ensuite calculé en fonction des agios totaux et des montants débiteurs.

Placement de deux capitaux avec intérêts liés

Exemple 13 : Deux capitaux totalisant 105 750 D

Deux capitaux sont placés à intérêts simples, l’un pendant 150 jours au taux 8%, l’autre pendant 90 jours au taux 9%. L’intérêt du premier placement est le double de celui du second.

Calcul des capitaux :

C1 + C2 = 105750
I1 = 2 × I2

C2 = (C × t1 × n1) / (2 × t2 × n2 + t1 × n1) = 45000 D
C1 = 105750 − 45000 = 60750 D

Valeurs acquises :

Valeur acquise C1 = 60750 × (1 + 0.08 × 150/360) = 62775 D
Valeur acquise C2 = 45000 × (1 + 0.09 × 90/360) = 46012.5 D

Durée nécessaire pour une différence donnée entre valeurs acquises

Pour que la différence entre les valeurs acquises soit égale à 16 550 D, on calcule :

n = (d − C1(1 + t1 × n2) + C2(1 + t2 × n2)) / (C1 × t1)
  = (16550 − 60750(1 + 0.08 × 90/360) + 45000(1 + 0.09 × 90/360)) / (60750 × 0.08)
  ≈ −15 jours (rejeté car négatif)

Durée réelle n1 = n2 + n = 90 + (−15) = 75 jours

Glossaire des termes clés

• Capital (C) : Somme d’argent initialement placée ou prêtée.
• Intérêt simple : Intérêt calculé uniquement sur le capital initial, sans capitalisation.
• Taux d’intérêt (r ou t) : Pourcentage annuel appliqué au capital pour calculer l’intérêt.
• Durée (t ou j) : Temps pendant lequel le capital est placé, exprimé en fraction d’année ou en jours.
• Intérêt commercial : Calculé sur une base de 360 jours.
• Intérêt civil : Calculé sur une base de 365 jours.
• Intérêt précompté : Intérêt payé à l’avance, affectant le taux effectif.
• Taux effectif global (TEG) : Taux réel tenant compte des intérêts précomptés ou autres frais.
• Agios : Intérêts et commissions dus par un client en cas de découvert bancaire.
• Commission sur le plus fort découvert (CPFD) : Commission calculée sur le montant maximal du découvert.
• Commission sur mouvements débit : Commission appliquée sur les opérations de débit.
• Valeur acquise : Montant total obtenu à la fin d’une période de placement, capital + intérêts.
• Jours de banque : Délai comptable entre la date d’opération et la date de valeur.

Points clés à retenir

• Le calcul de l’intérêt simple repose sur la formule C(t) = C(0) × (1 + r × t), avec t exprimé en fraction d’année.
• La différence entre intérêt commercial et civil provient de la base de calcul (360 vs 365 jours).
• Le taux moyen de placement peut être calculé lors de placements successifs avec taux différents.
• Les intérêts précomptés modifient le taux effectif réel, qui est supérieur au taux nominal.
• La gestion d’un livret d’épargne nécessite de prendre en compte les dates de valeur, les opérations et les taux variables.
• Les agios sur compte courant incluent intérêts débiteurs et diverses commissions, calculés selon les soldes et durées de découvert.
• Les systèmes d’équations permettent de résoudre des problèmes complexes impliquant plusieurs capitaux et taux.