Exercices de Mathématiques - Structure de groupe (II)

Exercice 1 - Automorphisme intérieur et morphisme de groupe

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'application qui à un élément associe son automorphisme intérieur, et d'en déterminer le noyau.

1. Montrons que ϕa est un automorphisme de G Pour que ϕa soit un automorphisme du groupe G, il faut vérifier deux choses : que c'est une bijection de G sur lui-même, et que c'est un morphisme de groupe.

   • Bijection : Soit a ∈ G. Pour tous x, y ∈ G, on a : y = ϕa(x) ⇔ y = a x a⁻¹ En multipliant à gauche par a⁻¹ et à droite par a, on obtient : a⁻¹ y a = x ⇔ x = ϕa⁻¹(y) Ainsi, chaque élément y admet un unique antécédent. ϕa est donc une bijection de G, et sa bijection réciproque est ϕa⁻¹.

   • Morphisme : Soient x, y ∈ G. Calculons l'image du produit xy : ϕa(xy) = a (xy) a⁻¹ = a x (a⁻¹ a) y a⁻¹ = (a x a⁻¹) (a y a⁻¹) = ϕa(x) ϕa(y) L'application ϕa est donc un morphisme.

   Étant un morphisme bijectif de G dans G, ϕa est bien un automorphisme de G.

2. Montrons que l'application a ↦ ϕa est un morphisme de G dans Aut(G) Soient a, b ∈ G. Nous devons évaluer la composition de ϕb et ϕa. Pour tout x ∈ G : (ϕb ◦ ϕa)(x) = ϕb(ϕa(x)) = ϕb(a x a⁻¹) = b (a x a⁻¹) b⁻¹ = (ba) x (ba)⁻¹ = ϕba(x)

   Nous obtenons donc l'égalité : ϕb ◦ ϕa = ϕba. Attention à l'ordre ! Pour prouver que l'application ϕ (qui à un élément a associe ϕa) est un morphisme, il faut vérifier que ϕ(ab) = ϕ(a) ◦ ϕ(b), c'est-à-dire ϕab = ϕa ◦ ϕb. Puisque le résultat ci-dessus est valable pour tout a et b, il suffit d'échanger les rôles de a et b pour écrire directement : ϕab = ϕa ◦ ϕb L'application a ↦ ϕa est donc bien un morphisme du groupe G vers Aut(G).

3. Détermination du noyau Par définition, le noyau (ker ϕ) est l'ensemble des éléments a ∈ G qui s'envoient sur l'élément neutre de l'ensemble d'arrivée. L'élément neutre de Aut(G) est l'application identité, id_G. a ∈ ker ϕ ⇔ ϕa = id_G ⇔ ∀ x ∈ G, ϕa(x) = x ⇔ ∀ x ∈ G, a x a⁻¹ = x ⇔ ∀ x ∈ G, a x = x a

   Le noyau de ϕ est donc constitué de tous les éléments de G qui commutent avec l'intégralité des éléments du groupe. C'est ce qu'on appelle le centre du groupe G.

Exercice 2 - Application puissance dans un groupe fini

Nous devons montrer que l'application f(x) = xᵏ est une bijection de G sur G, sachant que G est d'ordre n et que k est premier avec n.

• Surjectivité : Puisque k et n sont premiers entre eux, le théorème de Bachet-Bézout assure l'existence de deux entiers relatifs u et v tels que : u×n + v×k = 1. Soit y un élément quelconque de G. Cherchons-lui un antécédent par f. On peut écrire y = y¹ = y^(u×n + v×k). En utilisant les règles de calcul sur les puissances dans un groupe : y = (yⁿ)ᵘ (yᵛ)ᵏ Or, d'après le théorème de Lagrange, puisque G est un groupe fini d'ordre n, pour tout élément y de G, on a yⁿ = e (où e est l'élément neutre). L'équation devient alors : y = eᵘ (yᵛ)ᵏ = e (yᵛ)ᵏ = (yᵛ)ᵏ En posant x = yᵛ, nous avons bien trouvé un élément x dans G tel que xᵏ = y. L'application f est donc surjective.

• Conclusion : Puisque G est un ensemble fini, toute application surjective de G dans lui-même est nécessairement bijective. C'est donc une permutation de G.

Exercice 3 - Commutativité d'un groupe d'ordre 4

Soit G un groupe d'ordre 4. Notons ses éléments G = {e, a, b, c}, où e est l'élément neutre. Pour prouver que G est abélien (commutatif), il suffit de montrer que deux éléments quelconques commutent. e commutant avec tout le monde, et tout élément commutant avec lui-même, il nous reste à vérifier que pour les éléments distincts restants (par exemple a et b), on a ab = ba.

Calculons le produit ab. Ce produit doit être un élément de G.

• L'égalité ab = b est impossible : en multipliant à droite par b⁻¹, cela donnerait a = e, or a et e sont distincts.
• L'égalité ab = a est impossible : en multipliant à gauche par a⁻¹, cela donnerait b = e, or b et e sont distincts.

Par conséquent, ab appartient forcément à l'ensemble restreint {e, c}. Le même raisonnement symétrique s'applique à ba, donc ba ∈ {e, c}.

Examinons les cas possibles :

1. Si ab = e ou ba = e : Si le produit donne l'élément neutre, c'est que b est l'inverse de a (et vice-versa). Dans un groupe, un élément commute toujours avec son inverse, on a donc immédiatement ab = ba = e.
2. Si on n'est pas dans le cas 1 : La seule possibilité restante dans {e, c} est ab = c et ba = c. Dans ce cas, on a trivialement ab = ba = c.

Dans tous les cas de figure, l'égalité ab = ba est vérifiée. Le groupe G est commutatif.

Exercice 4 - Étude d'une table de loi de composition

La question demande si la table proposée (avec la loi que nous noterons ?) définit un groupe. (Note sur le document source : la table y est endommagée par l'extraction, mais la correction nous fournit suffisamment d'informations factuelles pour conclure rigoureusement).

Pour qu'un ensemble muni d'une loi de composition interne forme un groupe, l'un des axiomes fondamentaux à respecter est l'associativité : pour tous éléments x, y, z, on doit avoir (x ? y) ? z = x ? (y ? z).

Or, la correction met en évidence un contre-exemple direct. D'après la table originale : x ? (y ? z) = x ? t = z (x ? y) ? z = t ? z = x

Puisque z ≠ x, l'associativité n'est pas respectée. Par conséquent, la table ne définit pas un groupe, même si e sert d'élément neutre et que chaque élément y est son propre inverse.

Exercice 5 - Manipulation d'égalités dans un groupe

On dispose des hypothèses : a⁵ = e et ab = ba³.

• Démontrons que a²b = ba : Exprimons a²b et appliquons les règles d'associativité : a²b = a(ab) Substituons ab en utilisant la seconde hypothèse (ab = ba³) : a(ab) = a(ba³) Associons différemment pour faire réapparaître ab : a(ba³) = (ab)a³ Substituons à nouveau ab par ba³ : (ab)a³ = (ba³)a³ = b(a³a³) = ba⁶ Enfin, utilisons la première hypothèse (a⁵ = e) pour réduire l'exposant : ba⁶ = b(a⁵a) = b(ea) = ba On a bien prouvé que a²b = ba.

• Démontrons que ab³ = b³a² : Partons de ab³ et cherchons à déplacer le 'a' vers la droite en utilisant itérativement nos relations : ab³ = (ab)b² Remplaçons ab par ba³ : (ab)b² = (ba³)b² = ba(a²b)b Utilisons le résultat précédent (a²b = ba) : ba(a²b)b = ba(ba)b = b(ab)ab Remplaçons le premier ab par ba³ : b(ab)ab = b(ba³)ab = b²a²(a²b) Réutilisons a²b = ba : b²a²(a²b) = b²a²(ba) = b²(a²b)a Et une dernière fois a²b = ba : b²(a²b)a = b²(ba)a = b³a² Nous avons obtenu le résultat demandé : ab³ = b³a².

Exercice 6 - Puissances consécutives et commutativité

Soit G un groupe et k un entier tel que ∀ i ∈ {k, k+1, k+2}, ∀ a, b ∈ G, (ab)ⁱ = aⁱbⁱ.

Note préliminaire : L'indication du corrigé officiel mentionne l'utilisation du rang "k-1". Or, l'énoncé garantit la propriété uniquement sur l'ensemble {k, k+1, k+2}. Nous allons corriger cette faille logique et résoudre l'exercice en n'utilisant strictement que les entiers fournis par l'énoncé.

Soient x, y deux éléments quelconques de G.

1. Relation entre les rangs k et k+1 : Appliquons l'hypothèse au rang k+1 : (xy)^(k+1) = x^(k+1) y^(k+1) Décomposons le membre de gauche et le membre de droite : x (yx)ᵏ y = x (xᵏ yᵏ) y En simplifiant cette égalité par x à gauche (multiplication par x⁻¹) et par y à droite (multiplication par y⁻¹), il reste : (yx)ᵏ = xᵏ yᵏ Or, l'hypothèse au rang k nous dit que (xy)ᵏ = xᵏ yᵏ. On en déduit donc une première égalité fondamentale : (yx)ᵏ = (xy)ᵏ

2. Relation entre les rangs k+1 et k+2 : Nous reproduisons exactement la même logique au rang supérieur. Appliquons l'hypothèse au rang k+2 : (xy)^(k+2) = x^(k+2) y^(k+2) Décomposons : x (yx)^(k+1) y = x (x^(k+1) y^(k+1)) y En simplifiant par x à gauche et par y à droite, on obtient : (yx)^(k+1) = x^(k+1) y^(k+1) Comme l'hypothèse au rang k+1 est (xy)^(k+1) = x^(k+1) y^(k+1), on en déduit : (yx)^(k+1) = (xy)^(k+1)

3. Conclusion sur la commutativité : Écrivons la puissance (k+1)-ème comme le produit de la puissance 1 et de la puissance k : (yx)^(k+1) = (yx) (yx)ᵏ (xy)^(k+1) = (xy) (xy)ᵏ Puisque (yx)^(k+1) = (xy)^(k+1) (d'après l'étape 2), on peut égaler les décompositions : (yx) (yx)ᵏ = (xy) (xy)ᵏ Enfin, puisque nous avons prouvé à l'étape 1 que (yx)ᵏ = (xy)ᵏ, nous pouvons substituer (yx)ᵏ par (xy)ᵏ dans le membre de gauche : (yx) (xy)ᵏ = (xy) (xy)ᵏ En simplifiant à droite par l'inverse de (xy)ᵏ, nous obtenons l'égalité finale : yx = xy L'ordre des éléments n'a pas d'importance, ce qui montre que le groupe G est abélien.

Méthode

Face à une épreuve d'algèbre structurelle de ce type, voici les axes méthodologiques principaux à retenir :

1. Maîtriser les axiomes des structures : Pour vérifier si un ensemble muni d'une loi est un groupe, passez en revue la stabilité, l'associativité, la présence d'un neutre et l'inversibilité. Le manque d'associativité (comme dans l'exercice 4) est classique sur les lois définies par des tables bizarres.
2. Travailler par substitution systématique : L'exercice 5 est le prototype parfait du calcul dans un groupe. Ne cherchez pas à tout transformer d'un coup. Séparez votre produit (par exemple a²b), isolez un bloc connu (ab), remplacez-le par son équivalent (ba³), puis ré-associez jusqu'à pouvoir utiliser les simplifications de type aⁿ = e.
3. Vérifier la validité des ensembles d'indices : Dans des démonstrations comme l'exercice 6, prêtez une grande attention aux bornes. Si une propriété est vraie pour {k, k+1, k+2}, vous n'avez pas le droit de l'utiliser pour k-1, même si cela arrange les calculs. Cherchez toujours à construire la preuve "vers le haut" si c'est la direction permise par l'hypothèse.
4. Retour aux définitions : Quand on vous demande de caractériser un noyau (exercice 1) ou une image, écrivez littéralement l'équation de la définition (ϕa(x) = id_G(x)). La solution (le centre du groupe, ici) apparaît souvent de façon organique une fois la condition formellement posée.