Exercices de Mathématiques

Ce document présente une série d'exercices corrigés portant sur les espaces euclidiens, destinés à tester les compétences en algèbre linéaire, notamment la compréhension des endomorphismes, des projections orthogonales, des propriétés des applications linéaires et des notions d'orthogonalité et de similitude.

Exercice 1

Déterminer les endomorphismes f de R3 euclidien orienté tels que :

∀ u, v ∈ E, f(u ∧ v) = f(u) ∧ f(v).

Solution :

On commence par remarquer que l'application nulle f = 0 est une solution évidente. On suppose donc f ≠ 0.

Soit (e1, e2, e3) une base orthonormée directe de R3. On utilise les relations :

• e1 = e2 ∧ e3 ⇒ f(e1) = f(e2 ∧ e3) = f(e2) ∧ f(e3)
• e2 = e3 ∧ e1 ⇒ f(e2) = f(e3 ∧ e1) = f(e3) ∧ f(e1)
• e3 = e1 ∧ e2 ⇒ f(e3) = f(e1 ∧ e2) = f(e1) ∧ f(e2)

Ces égalités montrent que les vecteurs f(e1), f(e2), f(e3) sont orthogonaux deux à deux.

On a aussi :

kf(e1)k = kf(e2) ∧ f(e3)k = kf(e2)k kf(e3)k

kf(e2)k = kf(e3) ∧ f(e1)k = kf(e3)k kf(e1)k

kf(e3)k = kf(e1) ∧ f(e2)k = kf(e1)k kf(e2)k

Comme f ≠ 0, au moins un des vecteurs f(ei) est non nul, donc tous le sont. En multipliant ces égalités deux à deux, on obtient :

kf(e1)k² = kf(e2)k² = kf(e3)k² = 1.

La famille (f(e1), f(e2), f(e3)) est donc une base orthonormée de R3, et l'égalité f(e3) = f(e1) ∧ f(e2) montre qu'elle est directe.

Par conséquent, f est un automorphisme orthogonal positif, c’est-à-dire une rotation vectorielle de R3.

Réciproquement, toute rotation vectorielle f d'angle θ autour d'un vecteur unitaire ε1, complétée en une base orthonormée directe (ε1, ε2, ε3), vérifie :

f(u) = 
⎛ 1      0           0       ⎞
⎜ 0   cos θ    -sin θ ⎟
⎝ 0   sin θ     cos θ ⎠
·
⎛ x ⎞
⎜ y ⎟
⎝ z ⎠

On calcule ensuite :

f(u) ∧ f(v) = u ∧ v

ce qui confirme que f conserve le produit vectoriel.

Conclusion : Les endomorphismes de R3 qui conservent le produit vectoriel sont l'application nulle et les rotations vectorielles (automorphismes orthogonaux positifs).

Exercice 2

Soit F le sous-espace vectoriel de R4 défini par les équations :

• x + y + z + t = 0
• x − y + z − t = 0

Déterminer la projection orthogonale sur F par deux méthodes différentes et calculer la distance d(u, F) d’un vecteur u de R4 au sous-espace F.

Solution :

Première méthode

Soit u = (x, y, z, t) ∈ R4 et v = (x0, y0, z0, t0) sa projection orthogonale sur F.

On note :

• a = (1, 1, 1, 1), vecteur orthogonal à l'hyperplan H : x + y + z + t = 0
• b = (1, −1, 1, −1), vecteur orthogonal à l'hyperplan K : x − y + z − t = 0

Le plan F est l'intersection de H et K, donc F⊥ est engendré par a et b. Il existe λ, µ tels que :

v − u = λa + µb

On a donc :

• x0 = x + λ + µ
• y0 = y + λ − µ
• z0 = z + λ + µ
• t0 = t + λ − µ

Comme v ∈ F, on impose :

• x0 + y0 + z0 + t0 = 0
• x0 − y0 + z0 − t0 = 0

En remplaçant, on obtient :

• (x + y + z + t) + 4λ = 0
• (x − y + z − t) + 4µ = 0

Donc :

λ = −(x + y + z + t)/4

µ = −(x − y + z − t)/4

La distance au carré est :

d² = ||v − u||² = ||λa + µb||² = 2(λ² + µ²) = 1/2 ((x + y + z + t)² + (x − y + z − t)²)

Deuxième méthode

On remarque que F peut aussi s'écrire avec les équations :

• x + z = 0
• y + t = 0

Les vecteurs :

• c = (1/√2)(1, 0, −1, 0)
• d = (1/√2)(0, 1, 0, −1)

forment une base orthonormée de F.

La projection orthogonale de u sur F est :

v = p(u) = <c, u> c + <d, u> d = (1/2)(x − z, y − t, −x + z, −y + t)

La distance d(u, F) est alors :

d² = ||u − v||² = 1/2 ((x + z)² + (y + t)²)

Remarque

La distance d(u, F) peut aussi se calculer sans trouver explicitement la projection, en utilisant la distance aux hyperplans H et K :

d²(u, F) = d²(u, H) + d²(u, K) = (1/4)(x + y + z + t)² + (1/4)(x − y + z − t)²

Exercice 3

Soit E un espace vectoriel euclidien et f un endomorphisme de E qui conserve l’orthogonalité, c’est-à-dire :

Pour tous u, v ∈ E, si <u, v> = 0 alors <f(u), f(v)> = 0.

Montrer qu’il existe un réel λ ≥ 0 tel que, pour tout u ∈ E, ||f(u)|| = λ ||u||.

Solution :

Soit (e1, ..., en) une base orthonormée de E. Par hypothèse, les vecteurs f(ej) sont orthogonaux deux à deux.

Considérons i ≠ j :

Les vecteurs ei + ej et ei − ej sont orthogonaux car :

<ei + ej, ei − ej> = ||ei||² − ||ej||² = 1 − 1 = 0.

On en déduit :

0 = <f(ei + ej), f(ei − ej)> = <f(ei) + f(ej), f(ei) − f(ej)> = ||f(ei)||² − ||f(ej)||².

Donc, pour tous i, j, ||f(ei)|| = ||f(ej)|| = λ ≥ 0.

Pour tout vecteur u = Σ x_i e_i, v = Σ y_j e_j :

<f(u), f(v)> = Σ x_i y_i ||f(e_i)||² = λ² Σ x_i y_i = λ² <u, v>.

En particulier :

||f(u)|| = λ ||u||.

Conclusion : Il existe un réel λ ≥ 0 tel que f est une similitude de rapport λ.

Exercice 4

Soient E un espace vectoriel euclidien et f un endomorphisme de E tel que f² = 0.

Soit f* l’adjoint de f. Montrer que :

Ker(f + f*) = Ker(f) ∩ Ker(f*).

Solution :

L'inclusion Ker(f) ∩ Ker(f*) ⊂ Ker(f + f*) est évidente car si f(x) = 0 et f*(x) = 0, alors (f + f*)(x) = 0.

Réciproquement, soit x ∈ Ker(f + f*), donc (f + f*)(x) = 0, ce qui implique :

f*(x) = −f(x).

Calculons :

||f*(x)||² = <f*(x), f*(x)> = −<f*(x), f(x)> = −<x, f²(x)> = −<x, 0> = 0.

Donc f*(x) = 0, et par l'égalité f*(x) = −f(x), on a aussi f(x) = 0.

Donc x ∈ Ker(f) ∩ Ker(f*).

Conclusion : Ker(f + f*) = Ker(f) ∩ Ker(f*).

Exercice 5

Soit E un espace vectoriel euclidien et u ∈ L(E) tel que u ◦ u* = u* ◦ u.

1. Montrer que u et u* ont le même noyau.
2. Montrer que Sp(u) = Sp(u*) et que pour toute valeur propre λ, les sous-espaces propres de u et de u* pour λ sont identiques.
3. Montrer que les sous-espaces propres de u sont orthogonaux deux à deux.

Solution :

1. Pour tout x ∈ E :

||u(x)||² = <u(x), u(x)> = <x, u* ◦ u(x)> = <x, u ◦ u*(x)> = <u*(x), u*(x)> = ||u*(x)||²

Donc ||u(x)|| = ||u*(x)||.

On en déduit :

x ∈ Ker(u) ⇔ ||u(x)|| = 0 ⇔ ||u*(x)|| = 0 ⇔ x ∈ Ker(u*).

Conclusion : u et u* ont le même noyau.

2. Pour tout scalaire λ, posons v = u − λ Id, alors v* = u* − λ Id.

On a :

v ◦ v* = v* ◦ v, donc Ker(v) = Ker(v*), c’est-à-dire :

Ker(u − λ Id) = Ker(u* − λ Id).

Autrement dit, u et u* ont les mêmes valeurs propres, et pour chaque valeur propre λ, les sous-espaces propres associés sont identiques.

3. Soient λ ≠ µ deux valeurs propres de u (et donc de u*), x un vecteur propre pour λ, y un vecteur propre pour µ.

On calcule :

<u(x), y> = <λ x, y> = λ <x, y>

Mais aussi :

<u(x), y> = <x, u*(y)> = <x, µ y> = µ <x, y>

Donc :

λ <x, y> = µ <x, y> avec λ ≠ µ, ce qui implique :

<x, y> = 0.

Conclusion : Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux deux à deux.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des propriétés des espaces euclidiens et des endomorphismes, notamment :

• La manipulation du produit vectoriel dans R3 et l’utilisation des bases orthonormées directes.
• La compréhension des projections orthogonales, avec la capacité à utiliser différentes méthodes (bases orthonormées, systèmes d’équations, propriétés géométriques).
• L’analyse des propriétés des endomorphismes qui conservent l’orthogonalité, en particulier la démonstration de similitude et l’usage des bases orthonormées.
• La maîtrise des notions d’adjoint, de noyau, et d’orthogonalité des sous-espaces propres, ainsi que l’utilisation des relations entre u et u*.

Les erreurs pénalisées sont notamment :

• Le non-respect des hypothèses (par exemple, ne pas exclure la solution nulle quand demandé).
• Le manque de rigueur dans l’utilisation des bases orthonormées ou dans le calcul des projections.
• La confusion entre propriétés des endomorphismes et celles de leurs adjoints.
• L’absence de justification des égalités ou des inclusions dans les démonstrations.

Il est essentiel de toujours expliciter les étapes, notamment les calculs intermédiaires et les implications logiques, pour assurer une bonne compréhension et validation des résultats.