Exercices de Mathématiques

Ce document présente une série d’exercices de mathématiques portant sur les développements et factorisations de polynômes. Il s’agit d’un contrôle ou d’un devoir qui évalue les compétences en manipulation algébrique, en factorisation, en utilisation des racines complexes, ainsi qu’en raisonnement par récurrence.

Exercice 1

Factoriser le polynôme Pn = 1 + 1/1! X + 1/2! X(X + 1) + · · · + 1/n! [X(X + 1) · · · (X + n − 1)].

On commence par vérifier les premiers cas :

• P1 = 1 + X
• P2 = 1 + X + (1/2!) X(X + 1) = (1/2!) (X + 1)(X + 2)

On conjecture que :

Pn = (1/n!) (X + 1)(X + 2) · · · (X + n)

Montrons-le par récurrence :

• Pour n = 1 et n = 2, la propriété est vraie.
• Supposons qu’elle soit vraie pour un entier n fixé :

Alors :

Pn+1 = Pn + 1/(n+1)! X(X + 1) · · · (X + n)

En utilisant l’hypothèse de récurrence :

Pn = (1/n!) ∏_k=1ⁿ (X + k)

Donc :

Pn+1 = (1/n!) ∏_k=1ⁿ (X + k) + (1/(n+1)!) ∏_k=0ⁿ (X + k)

Or :

(1/n!) = (n+1)/(n+1)! donc :

Pn+1 = (1/(n+1)!) [ (n+1) ∏_k=1ⁿ (X + k) + ∏_k=0ⁿ (X + k) ]

En factorisant :

Pn+1 = (1/(n+1)!) ∏_k=0ⁿ (X + k) ( (n+1) + 1 ) = (1/(n+1)!) ∏_k=1ⁿ⁺¹ (X + k)

Ce qui établit la propriété au rang n + 1.

Réponse finale : Pn = (1/n!) (X + 1)(X + 2) · · · (X + n).

Exercice 2

Développer le polynôme Pn = (1 + X)(1 + X²) · · · (1 + X²ⁿ).

On remarque que :

Pn = ∏_k=0ⁿ (1 + X^{2^k})

En développant, chaque terme correspond à une somme sur tous les choix αk ∈ {0,1} :

Pn = ∑_{(α₀,...,αₙ)∈{0,1}^{n+1}} X^{α₀·2⁰ + α₁·2¹ + ... + αₙ·2ⁿ}

Les exposants parcourent ainsi tous les entiers de 0 à 2^{n+1} - 1, car chaque entier s’écrit de façon unique en base 2 sur n+1 chiffres.

Conclusion :

Pn = ∑m=02^{n+1}-1 X^m

Exercice 3

Développer le polynôme P = (1 − X)(1 − ω₁X)(1 − ω₂X) · · · (1 − ω_{n−1}X), où 1, ω₁, ..., ω_{n−1} sont les racines n-ièmes de l’unité.

On utilise la factorisation connue :

Xⁿ − 1 = ∏k=0n−1 (X − ω_k)

On a :

P = ∏_k=0ⁿ⁻¹ (1 − ω_k X) = ∏_k=0ⁿ⁻¹ (−ω_k) ∏_k=0ⁿ⁻¹ (X − ω_k) = (−1)^n ∏_k=0ⁿ⁻¹ ω_k (Xⁿ − 1)

Or, le produit des racines n-ièmes de l’unité vaut (−1)^{n−1}, donc :

∏ ω_k = (−1)^{n−1}

Donc :

P = (−1)^n (−1)^{n−1} (Xⁿ − 1) = −(Xⁿ − 1) = 1 − Xⁿ.

Réponse finale : P = 1 − Xⁿ.

Exercice 4

Factoriser sur ℝ les polynômes A = X⁴ + X² + 1 et B = X⁸ + X⁴ + 1.

Pour A, on remarque que :

A = (X² + 1)² − X² = (X² + X + 1)(X² − X + 1)

Pour B, on pose B = A(X²) :

B = A(X²) = (X⁴ + X² + 1)(X⁴ − X² + 1)

On peut factoriser davantage :

(X⁴ − X² + 1) = (X² + √3 X + 1)(X² − √3 X + 1)

Donc :

B = (X² + X + 1)(X² − X + 1)(X² + √3 X + 1)(X² − √3 X + 1)

Réponse finale :

• A = (X² + X + 1)(X² − X + 1)
• B = (X² + X + 1)(X² − X + 1)(X² + √3 X + 1)(X² − √3 X + 1)

Exercice 5

Factoriser P = X⁶ − 2X³ cos 3θ + 1 dans ℂ[X] et dans ℝ[X].

On utilise la formule de la différence de cubes dans ℂ :

a³ − b³ = (a − b)(a − j b)(a − j² b), où j = e^{2iπ/3}.

Posons :

P = X⁶ − 2X³ cos 3θ + 1 = (X³ − e^{3iθ})(X³ − e^{-3iθ})

On factorise chaque terme :

(X³ − e^{3iθ}) = (X − e^{iθ})(X − j e^{iθ})(X − j² e^{iθ})

(X³ − e^{-3iθ}) = (X − e^{-iθ})(X − j e^{-iθ})(X − j² e^{-iθ})

En regroupant :

P = (X − e^{iθ})(X − e^{i(θ + 2π/3)})(X − e^{i(θ − 2π/3)})(X − e^{-iθ})(X − e^{-i(θ + 2π/3)})(X − e^{-i(θ − 2π/3)})

Pour obtenir la factorisation dans ℝ[X], on regroupe les racines conjuguées deux à deux :

(X − e^{iα})(X − e^{-iα}) = X² − 2X cos α + 1

On obtient :

P = (X² − 2X cos θ + 1)(X² − 2X cos(θ + 2π/3) + 1)(X² − 2X cos(θ − 2π/3) + 1)

Réponse finale :

• Dans ℂ[X] :

P = (X − e^{iθ})(X − e^{i(θ + 2π/3)})(X − e^{i(θ − 2π/3)})(X − e^{-iθ})(X − e^{-i(θ + 2π/3)})(X − e^{-i(θ − 2π/3)})

• Dans ℝ[X] :

P = (X² − 2X cos θ + 1)(X² − 2X cos(θ + 2π/3) + 1)(X² − 2X cos(θ − 2π/3) + 1)

Exercice 6

Factoriser le polynôme P = (X + i)ⁿ − (X − i)ⁿ dans ℂ[X].

On commence par observer le développement :

P = (X + i)ⁿ − (X − i)ⁿ = 2n i X^{n−1} + ...

On cherche les racines de P, c’est-à-dire les z tels que :

(z + i)ⁿ = (z − i)ⁿ

On note ω_k = exp(2i k π / n), les racines n-ièmes de l’unité.

Alors :

(z + i)/(z − i) = ω_k, avec k ∈ {0, ..., n−1}.

La valeur k = 0 donne 1, ce qui correspond à z = i, qui n’est pas une racine de P.

Pour k ≠ 0 :

z = i (ω_k + 1)/(ω_k − 1)

En développant :

z = cotan(k π / n), avec 1 ≤ k ≤ n − 1.

Les racines sont donc :

z_k = cotan(k π / n), k = 1, ..., n − 1

Ces racines sont distinctes car cotan est strictement décroissante sur ]0, π[.

Le degré de P est n−1, donc on a trouvé toutes les racines simples.

Le coefficient dominant étant 2 n i, on en déduit la factorisation :

P = 2 n i ∏k=1n−1 (X − cotan(k π / n))

Réponse finale :

P = 2 n i ∏k=1n−1 (X − cotan(k π / n))

Méthode

Ce devoir récompense la maîtrise des techniques suivantes :

• Le raisonnement par récurrence pour démontrer une formule générale (Exercice 1).
• L’utilisation des propriétés des racines de l’unité et des factorisations classiques (Exercices 3, 5, 6).
• La manipulation des polynômes en base 2 pour identifier des sommes de puissances (Exercice 2).
• La reconnaissance de formes de polynômes comme des carrés ou des différences de carrés pour factoriser (Exercice 4).
• La transformation de factorisations complexes en factorisations réelles en regroupant les racines conjuguées (Exercice 5).

Les erreurs pénalisées sont :

• Omettre les étapes de justification, notamment en récurrence.
• Confondre les racines ou oublier d’exclure certaines valeurs (par exemple z = i dans l’Exercice 6).
• Ne pas vérifier la multiplicité ou la nature des racines (simples, distinctes).
• Ne pas regrouper correctement les facteurs conjugués pour obtenir la factorisation réelle.

Un soin particulier doit être apporté à la rigueur des calculs et à la clarté des démonstrations, car ce sont ces qualités qui permettent de valider la compréhension des propriétés algébriques des polynômes.