Exercices de Mathématiques

Ce document présente une série d'exercices corrigés portant sur les applications entre ensembles et les parties d’un ensemble. Ces exercices évaluent la compréhension des propriétés des images et images réciproques par une application, ainsi que les notions d'injectivité, surjectivité et bijectivité dans ce contexte.

Exercice 1

On considère une application f de E dans E et l'ensemble S = {X ⊂ E | f⁻¹(f(X)) = X}. Il s'agit de montrer que :

1. Pour toute partie A de E, f⁻¹(f(A)) appartient à S.
2. Toute intersection ou réunion d’éléments de S est encore un élément de S.

Correction :

1. Soit A une partie quelconque de E et posons B = f⁻¹(f(A)).

On utilise la propriété générale suivante :

• Pour toute partie X de E, f⁻¹(f(X)) contient X.
• Pour toute partie Y de E, f(f⁻¹(Y)) est inclus dans Y.

Comme B = f⁻¹(f(A)) contient A, on en déduit que f(B) contient f(A).

De plus, f(B) = f(f⁻¹(f(A))) est inclus dans f(A).

On a donc l'égalité f(B) = f(A).

Par conséquent :

f⁻¹(f(B)) = f⁻¹(f(A)) = B.

On conclut que B appartient à S, c’est-à-dire que f⁻¹(f(A)) ∈ S.

2. Soit (A_i)_{i∈I} une famille quelconque d’éléments de S.

Pour la réunion :

f⁻¹(f(⋃_{i∈I} A_i)) = f⁻¹(⋃_{i∈I} f(A_i)) = ⋃_{i∈I} f⁻¹(f(A_i)) = ⋃_{i∈I} A_i

car chaque A_i est dans S, donc f⁻¹(f(A_i)) = A_i.

Pour l’intersection :

On a l'inclusion :

f⁻¹(f(⋂_{i∈I} A_i)) ⊂ ⋂_{i∈I} f⁻¹(f(A_i)) = ⋂_{i∈I} A_i

et l'inclusion inverse est vraie car f⁻¹(f(X)) contient toujours X.

Donc :

f⁻¹(f(⋂_{i∈I} A_i)) = ⋂_{i∈I} A_i

On en déduit que ⋃_{i∈I} A_i et ⋂_{i∈I} A_i appartiennent à S.

Réponse finale : Pour toute partie A de E, f⁻¹(f(A)) ∈ S, et S est stable par réunion et intersection.

Exercice 2

Soit f une application de E dans F. Il faut démontrer :

1. Pour toute partie A de E, f⁻¹(f(A)) ⊃ A.
2. Pour toute partie B de F, f(f⁻¹(B)) = f(E) ∩ B.
3. f est injective si et seulement si ∀ A ⊂ E, f⁻¹(f(A)) = A.
4. f est surjective si et seulement si ∀ B ⊂ F, f(f⁻¹(B)) = B.

Correction :

1. Soit A ⊂ E et a ∈ A.

Par définition, f(a) ∈ f(A), donc a ∈ f⁻¹(f(A)).

On a donc l'inclusion A ⊂ f⁻¹(f(A)).

2. Soit B ⊂ F. Montrons l'égalité :

b ∈ f(f⁻¹(B)) ⇔ ∃ a ∈ f⁻¹(B), f(a) = b ⇔ ∃ a ∈ E, f(a) ∈ B et f(a) = b ⇔ b ∈ f(E) ∩ B.

Donc :

f(f⁻¹(B)) = f(E) ∩ B.

3. Supposons f injective. Pour A ⊂ E, on veut montrer :

f⁻¹(f(A)) ⊂ A.

Soit b ∈ f⁻¹(f(A)). Alors f(b) ∈ f(A), donc il existe a ∈ A tel que f(b) = f(a).

Par injectivité, b = a ∈ A.

Donc f⁻¹(f(A)) = A.

Réciproquement, supposons que pour toute partie A de E, f⁻¹(f(A)) = A.

Soient a, b ∈ E tels que f(a) = f(b).

Alors b ∈ f⁻¹(f({a})) = {a} par hypothèse, donc b = a.

Donc f est injective.

4. Supposons que pour toute partie B de F, f(f⁻¹(B)) = B.

Or d'après le point 2, f(f⁻¹(B)) = f(E) ∩ B.

Donc B = f(E) ∩ B pour tout B ⊂ F, ce qui implique f(E) = F.

Donc f est surjective.

Réciproquement, si f est surjective, alors f(E) = F, donc :

f(f⁻¹(B)) = f(E) ∩ B = F ∩ B = B.

Réponse finale :

• Pour toute partie A de E, f⁻¹(f(A)) ⊃ A.
• Pour toute partie B de F, f(f⁻¹(B)) = f(E) ∩ B.
• f est injective ⇔ ∀ A ⊂ E, f⁻¹(f(A)) = A.
• f est surjective ⇔ ∀ B ⊂ F, f(f⁻¹(B)) = B.

Exercice 3

Soient A et B deux parties non vides d’un ensemble E. On considère l’application f de P(E) dans P(A) × P(B) définie par :

f(X) = (X ∩ A, X ∩ B)

Il faut :

1. Montrer que f est injective si et seulement si A ∪ B = E.
2. Montrer que f est surjective si et seulement si A ∩ B = ∅.
3. Dans le cas où f est bijective, déterminer f⁻¹.

Correction :

1. On remarque que :

f(A ∪ B) = ( (A ∪ B) ∩ A, (A ∪ B) ∩ B ) = (A, B).

Donc f(E) = (A, B) si A ∪ B = E.

Si f est injective, alors pour X, Y ⊂ E tels que f(X) = f(Y), on a :

X ∩ A = Y ∩ A et X ∩ B = Y ∩ B.

En prenant l'union :

(X ∩ A) ∪ (X ∩ B) = (Y ∩ A) ∪ (Y ∩ B) ⇒ X ∩ (A ∪ B) = Y ∩ (A ∪ B).

Si A ∪ B = E, alors X = Y, donc f est injective.

Réciproquement, si f est injective, alors en particulier :

f(A ∪ B) = f(E) = (A, B), donc A ∪ B = E.

2. Supposons A ∩ B = ∅. Soient A₀ ⊂ A et B₀ ⊂ B.

Posons X = A₀ ∪ B₀.

Alors :

f(X) = (X ∩ A, X ∩ B) = (A₀ ∪ B₀) ∩ A, (A₀ ∪ B₀) ∩ B) = (A₀, B₀)

car B₀ ∩ A = ∅ et A₀ ∩ B = ∅.

Donc f est surjective.

Réciproquement, si f est surjective, il existe X ⊂ E tel que :

f(X) = (∅, B).

Donc :

X ∩ A = ∅ et X ∩ B = B.

On en déduit B ⊂ X et X ⊂ E \ A, donc B ⊂ E \ A, c’est-à-dire B ∩ A = ∅.

3. Si f est bijective, alors d'après les questions précédentes :

A ∪ B = E et A ∩ B = ∅.

La bijection réciproque g de f est alors l’application :

g : P(A) × P(B) → P(E) définie par :

g(A₀, B₀) = A₀ ∪ B₀

Réponse finale :

• f est injective ⇔ A ∪ B = E.
• f est surjective ⇔ A ∩ B = ∅.
• Si f est bijective, alors A ∪ B = E et A ∩ B = ∅, et f⁻¹(A₀, B₀) = A₀ ∪ B₀.

Exercice 4

Soit A une partie de E. On définit l’application χ_A de E dans {0, 1} par :

χ_A(x) = 1 si x ∈ A
χ_A(x) = 0 si x ∉ A

Il faut montrer que l’application A ↦ χ_A est une bijection de P(E) sur l’ensemble F(E, {0, 1}) des fonctions de E dans {0, 1}.

Correction :

Soit f : E → {0, 1} une application quelconque.

On définit l’ensemble :

A = f⁻¹({1}) = {x ∈ E | f(x) = 1}.

Alors, par définition, f = χ_A.

Cette construction montre que pour toute fonction f, il existe une unique partie A de E telle que f = χ_A.

De plus, pour toute partie A de E, χ_A est bien une fonction de E dans {0, 1}.

Donc l’application A ↦ χ_A est bijective.

Réponse finale : L’application A ↦ χ_A est une bijection de P(E) sur F(E, {0, 1}).

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des propriétés fondamentales des images et images réciproques par une application, ainsi que la capacité à manipuler les inclusions et égalités entre ensembles. Il est essentiel de :

• Bien utiliser les définitions des images et images réciproques, notamment les inclusions générales comme A ⊂ f⁻¹(f(A)) et f(f⁻¹(B)) ⊂ B.
• Comprendre les liens entre injectivité, surjectivité et égalités sur les images réciproques.
• Utiliser les opérations sur les ensembles (union, intersection) pour caractériser l’injectivité et la surjectivité d’une application définie sur des parties.
• Ne pas oublier de vérifier les deux sens des équivalences, particulièrement pour les propriétés d’injectivité et surjectivité.
• Présenter clairement les étapes de raisonnement, en explicitant chaque inclusion ou égalité utilisée.

Les erreurs fréquentes sont :

• Confondre image et image réciproque.
• Omettre de justifier les inclusions dans les deux sens.
• Ne pas vérifier la réciproque dans les équivalences.
• Ne pas utiliser les hypothèses données (par exemple, injectivité ou surjectivité) pour valider les inclusions.

Une rigueur dans la manipulation des ensembles et une bonne compréhension des définitions sont donc indispensables pour réussir ce type d'exercices.