Exercices de Mathématiques

Ce document présente une série d'exercices de mathématiques portant sur les nombres complexes et la géométrie, accompagnés de leurs corrigés détaillés. Ces exercices évaluent la capacité à manipuler les affixes complexes, à raisonner sur les propriétés géométriques des figures dans le plan complexe, ainsi qu'à établir et démontrer des conditions nécessaires et suffisantes dans divers contextes géométriques.

Exercice 1

On considère un quadrilatère ABCD. À partir de chaque côté, on construit vers l’extérieur un triangle rectangle isocèle. Il s'agit de montrer que les diagonales du quadrilatère obtenu sont orthogonales et de même longueur.

Étapes de la démonstration :

• Soit A0 le sommet droit du triangle construit sur le segment [A, B]. L'affixe de A0, notée a0, vérifie la relation (a − a0) = i(b − a0) car la construction forme un angle droit isocèle.
• En isolant a0, on obtient : a0 = (a − i b) / (1 − i).
• De même, on calcule les affixes b0, c0, d0 des sommets B0, C0, D0 construits sur les segments [B, C], [C, D] et [D, A] : b0 = (b − i c) / (1 − i), c0 = (c − i d) / (1 − i), d0 = (d − i a) / (1 − i).
• On calcule les vecteurs c0 − a0 et d0 − b0 : c0 − a0 = (c − a − i(d − b)) / (1 − i), d0 − b0 = (d − b − i(a − c)) / (1 − i).
• On remarque que d0 − b0 = i (c0 − a0), ce qui signifie que le segment [B0, D0] est obtenu par une rotation d’angle π/2 du segment [A0, C0].
• Par conséquent, les diagonales du quadrilatère formé par A0, B0, C0, D0 sont orthogonales et de même longueur.

Réponse : Les diagonales du quadrilatère obtenu sont orthogonales et de même longueur.

Exercice 2

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que l’orthocentre du triangle de sommets A(z), B(z²), C(z³) soit à l’origine.

Analyse et résolution :

• On commence par considérer les cas particuliers où au moins deux des points A, B, C sont confondus : cela correspond à z ∈ {0, 1} (tous confondus) ou z = −1 (A = B ≠ C).
• On pose z = x + iy ∈ ℂ.
• La condition que l’orthocentre soit à l’origine se traduit par : - Le segment OA est orthogonal à BC, - Le segment OB est orthogonal à AC.
• Ces conditions s’écrivent en termes d’arguments : arg((z³ − z²)/z) = π/2 (mod π) et arg((z² − z)/z) = π/2 (mod π).
• On simplifie : arg(z² − z) = π/2 (mod π) ⇔ z² − z est imaginaire pur.
• En développant, on obtient : z² − z = (x² − y² − x) + i y(2x − 1), donc la partie réelle doit être nulle : x² − y² − x = 0.
• La deuxième condition donne : arg((z³ − z)/z²) = π/2 (mod π) ⇔ Re(z) = 0 ou |z| = 1.
• En combinant, on obtient deux systèmes : - (x − 1/2)² − y² = 1/4 avec x = 0, - ou x² + y² = 1 avec x² − y² − x = 0.
• Le premier système ne donne que la solution z = 0.
• Le second système, avec x² + y² = 1, conduit à : 2x² − x − 1 = 0, soit x = 1 ou x = −1/2.
• Les solutions sont donc z ∈ {0, 1, j, j²} où j et j² sont les racines cubiques de l’unité autres que 1.

Réponse : La condition nécessaire et suffisante est que z ∈ {0, j, j²}, où j = e^(2iπ/3). Dans ces cas, l’orthocentre est à l’origine.

Exercice 3

Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que les points M(u) et N(v) soient symétriques par rapport à la droite passant par A(a) et d’angle polaire α (mod π).

Développement :

• On effectue une translation de vecteur −a pour ramener la droite à passer par l’origine.
• On effectue ensuite une rotation d’angle −α pour que la droite devienne l’axe Ox.
• La symétrie par rapport à Ox s’écrit : P(z) et P'(z0) sont symétriques par rapport à Ox ⇔ z0 = conjugaison de z, c’est-à-dire z0 = z̅.
• En revenant aux coordonnées initiales, la condition s’écrit : (v − a) e^(−iα) = conjugaison de (u − a) e^(−iα) = (u − a) e^(iα).
• On en déduit la condition : v = a + (u − a) e^(2iα) = e^(2iα) u + a − a e^(2iα).

Réponse : Les points M(u) et N(v) sont symétriques par rapport à la droite d’angle polaire α passant par A(a) si et seulement si v = e^(2iα) u + a − a e^(2iα).

Exercice 4

Donner une condition nécessaire et suffisante sur a, b, c pour que les points A(a), B(b), C(c) soient alignés.

Analyse :

• Si deux des points sont égaux, par exemple a = b, alors les trois points sont alignés.
• Dans ce cas, on vérifie que ab + bc + ca est réel. Par exemple, si a = b, alors ab + bc + ca = |a|² + ac + ca = |a|² + 2 Re(ac), qui est réel.
• Supposons maintenant que a, b, c sont distincts deux à deux.
• Les points sont alignés si et seulement si les vecteurs c − a et b − a sont colinéaires, c’est-à-dire que arg((c − a)/(b − a)) ∈ {0, π} (mod π).
• Cette condition s’écrit : (c − a)/(b − a) ∈ ℝ, ou encore ab + bc + ca ∈ ℝ.

Réponse : Les points A(a), B(b), C(c) sont alignés si et seulement si ab + bc + ca est un nombre réel.

Exercice 5

Trouver la condition nécessaire et suffisante sur les complexes a, b, c pour que les points images des racines de l’équation z⁴ + a z² + b z + c = 0 forment un carré.

Étapes :

• La somme des racines de P(z) = z⁴ + a z² + b z + c est nulle, donc le centre du carré est à l’origine.
• Si les racines forment un carré, elles peuvent s’écrire sous la forme : α, i α, −α, −i α avec α ∈ ℂ.
• Le polynôme associé est alors : (z − α)(z − i α)(z + α)(z + i α) = z⁴ − α⁴.
• En identifiant avec P(z), on obtient : a = 0, b = 0, et c = −α⁴.
• Réciproquement, si a = b = 0, alors P(z) = z⁴ + c, dont les racines sont les racines quatrièmes de −c, formant un carré centré en 0.

Réponse : La condition nécessaire et suffisante est a = 0 et b = 0.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des techniques suivantes :

• Utilisation rigoureuse des affixes complexes pour modéliser des figures géométriques et leurs transformations (rotations, translations, symétries).
• Capacité à exprimer des conditions géométriques (orthogonalité, alignement, symétrie) en termes d’arguments et de relations algébriques entre nombres complexes.
• Manipulation des polynômes complexes, notamment l’identification des racines et leur interprétation géométrique.
• Respect strict des définitions et notations données dans l’énoncé, notamment pour les angles et les rotations.

Les erreurs pénalisées sont notamment :

• Confusion entre les angles et leurs mesures modulo π ou 2π.
• Omissions dans les étapes de calcul, notamment dans la justification des conditions nécessaires et suffisantes.
• Utilisation incorrecte des propriétés des nombres complexes (par exemple, inversion des rotations ou mauvaise gestion des conjugaisons).
• Manque de rigueur dans la démonstration des égalités ou des implications.

En résumé, ce sujet exige une démarche claire, complète et rigoureuse, combinant algèbre complexe et géométrie plane.