Examination on Antenna Radiation, Electromagnetic Radiation, and Radiodiffusion

Exercice N°1

Constat sur l'énoncé : L'expression du champ électrique pour l'antenne A est manquante ou corrompue dans le texte fourni. Les fragments à la fin du document suggèrent une dépendance angulaire de la forme f(θ, φ) = sin(θ)sin(φ) pour certaines plages de θ et φ.

Résolution : Pour trouver la direction (θmax, φmax) du maximum de radiation, il faut déterminer les angles pour lesquels l'amplitude du champ électrique est maximale. En supposant que le diagramme de rayonnement dépend de la fonction f(θ, φ) = sin(θ)sin(φ) :

1. La fonction sin(θ) atteint son maximum absolu de 1 pour θ = π/2 (soit 90°).
2. La fonction sin(φ) atteint son maximum absolu de 1 pour φ = π/2 (soit 90°).

La direction du maximum de radiation de l'antenne A est donc (θmax, φmax) = (π/2, π/2).

Exercice N°2

Calcul du champ électrique rayonné par une antenne λ/2 verticale : Le module du champ électrique E créé à une distance r par un dipôle demi-onde (λ/2) est donné par la formule : |E| = (60 × I0 / r) × |cos((π/2)cos(θ)) / sin(θ)|

Où :

• I0 est le courant maximal au centre de l'antenne = 1 A.
• r est la distance = 1 km = 1000 m.
• θ est l'angle de colatitude par rapport à l'axe de l'antenne (la verticale).

L'énoncé donne les angles α par rapport à l'horizontale. L'angle θ par rapport à la verticale est donc θ = 90° - α. Le terme de distance (60 × I0 / r) vaut (60 × 1 / 1000) = 0,06 V/m, soit 60 mV/m.

Direction 0° par rapport à l'horizontale

α = 0°, donc θ = 90° = π/2 rad. cos(θ) = 0 et sin(θ) = 1. |E| = 0,06 × |cos(0) / 1| = 0,06 × 1 = 0,06 V/m = 60 mV/m.

Direction 30° par rapport à l'horizontale

α = 30°, donc θ = 60° = π/3 rad. cos(60°) = 0,5 et sin(60°) = √(3)/2 ≈ 0,866. |E| = 0,06 × |cos((π/2) × 0,5) / (√(3)/2)| = 0,06 × |cos(π/4) / (√(3)/2)| cos(π/4) = √(2)/2 ≈ 0,707. |E| = 0,06 × (√(2)/2) / (√(3)/2) = 0,06 × √(2/3) ≈ 0,06 × 0,8165 ≈ 0,049 V/m = 49,0 mV/m.

Direction 60° par rapport à l'horizontale

α = 60°, donc θ = 30° = π/6 rad. cos(30°) = √(3)/2 ≈ 0,866 et sin(30°) = 0,5. |E| = 0,06 × |cos((π/2) × (√(3)/2)) / 0,5| L'angle (π/2) × (√(3)/2) rad vaut environ 1,3603 rad. cos(1,3603) ≈ 0,2089. |E| = 0,06 × (0,2089 / 0,5) ≈ 0,06 × 0,4178 ≈ 0,025 V/m = 25,1 mV/m.

Exercice N°3

Question 1 - Courant d'alimentation pour un dipôle λ/2

Données :

• Antenne émettrice : dipôle λ/2 vertical.
• D = 10 km = 10 000 m.
• E = 100 µV/m = 10⁻⁴ V/m.
• Direction θ = φ = π/2 (donc le champ est maximum, le facteur angulaire vaut 1).

En utilisant la formule de l'exercice 2 pour θ = π/2 : |E| = 60 × I0 / D On isole I0 : I0 = |E| × D / 60 I0 = (10⁻⁴ × 10 000) / 60 = 1 / 60 ≈ 0,01667 A

Le courant maximal nécessaire est de 16,67 mA.

Question 2 - Courant d'alimentation pour un « patch »

Constat sur l'énoncé : L'expression du champ lointain du patch est corrompue dans l'énoncé. D'après les fragments textuels, la forme générale typique est E = (ρ × I0 / (2 × λ × D)) × f(θ, φ), avec f(θ, φ) = sin(θ)sin(φ). La constante ρ (qui représente l'impédance caractéristique de l'air) n'est pas clairement lisible (le texte indique m/5,109Ω=ρ ce qui est inexploitable directement). Nous utiliserons l'impédance du vide standard ρ = 120π Ω ≈ 377 Ω.

Calcul : Fréquence f = 10 GHz = 10¹⁰ Hz. Longueur d'onde λ = c / f = (3 × 10⁸) / 10¹⁰ = 0,03 m. Dans la direction θ = φ = π/2, f(π/2, π/2) = 1. |E| = (120π × I0) / (2 × λ × D) On isole I0 : I0 = (|E| × 2 × λ × D) / 120π I0 = (10⁻⁴ × 2 × 0,03 × 10 000) / 377 = 0,06 / 377 ≈ 1,59 × 10⁻⁴ A

Le courant nécessaire serait d'environ 0,159 mA. (Note : si la constante ρ de votre cours diffère de 120π, il suffit de diviser 0,06 par cette constante).

Question 3 - Diagramme de rayonnement

Constat sur l'énoncé : La "Fig. 1" mentionnée n'est pas présente dans le texte extrait, il est donc impossible de sélectionner l'une des 4 représentations. Explication théorique : Le diagramme de rayonnement défini par f(θ, φ) = sin(θ)sin(φ) pour 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ φ ≤ π présente un unique lobe principal dirigé selon l'axe Y (c'est-à-dire là où θ = 90° et φ = 90°). Il faudrait choisir la figure montrant un lobe maximal perpendiculaire au plan du patch.

(Note : La numérotation de l'énoncé passe directement de 3 à 5, la question 4 est inexistante).

Question 5 - Puissance reçue par une antenne parabolique

a) Expression de la puissance électromagnétique captée La densité de puissance surfacique (vecteur de Poynting) de l'onde incidente est S = E² / η0 (en supposant que E est la valeur efficace du champ, avec η0 = 120π Ω l'impédance du vide). La surface géométrique de l'antenne parabolique est A = (π × d²) / 4. La puissance captée par le réflecteur est le produit de la densité de puissance par la surface : P_cap = S × A = (E² / 120π) × (π × d² / 4) = (E² × d²) / 480

(Si l'énoncé sous-entend que E est l'amplitude crête, la densité de puissance serait S = E² / 240π, ce qui donnerait P_cap = (E² × d²) / 960).

b) Expression de la puissance microonde utilisable Pu Le dipôle ne convertit qu'une fraction γ = 60% = 0,6 de la puissance captée. Pu = γ × P_cap = 0,6 × (E² × d²) / 480 = (E² × d²) / 800

c) Valeur numérique du diamètre d Données : Pu = -70 dBm = 10⁻¹⁰ W. E = 100 µV/m = 10⁻⁴ V/m.

À partir de l'expression trouvée au b) : Pu = (E² × d²) / 800 d² = (800 × Pu) / E² d² = (800 × 10⁻¹⁰) / (10⁻⁴)² d² = (800 × 10⁻¹⁰) / 10⁻⁸ d² = 800 × 10⁻² = 8 d = √(8) ≈ 2,828 m

Le diamètre de l'antenne doit être de 2,83 mètres. (Dans l'hypothèse d'une amplitude crête pour E, on aurait d² = 16, soit d = 4 m).

Exercice N°4

Données du satellite :

• Distance d = 36 000 km = 3,6 × 10⁷ m
• Fréquence f = 12 GHz = 12 × 10⁹ Hz
• Gain d'émission Ge = 40 dB
• Puissance d'émission Pe = 200 W

Question 1 - Densité de puissance rayonnée à Terre

Le gain en linéaire G_lin se calcule par G_lin = 10^(Ge/10) = 10^(40/10) = 10⁴. La puissance isotrope rayonnée équivalente (PIRE) est : PIRE = Pe × G_lin = 200 × 10 000 = 2 × 10⁶ W. La densité de puissance à la distance d (en supposant une propagation en espace libre) est : S = PIRE / (4 × π × d²) S = (2 × 10⁶) / (4 × π × (3,6 × 10⁷)²) S = (2 × 10⁶) / (4 × π × 1,296 × 10¹⁵) ≈ (2 × 10⁶) / (1,6286 × 10¹⁶) ≈ 1,228 × 10⁻¹⁰ W/m²

Question 2 - Caractéristiques de l'antenne de réception

On souhaite une puissance de réception Pr = 10⁻¹¹ W (l'unité "W" est manquante dans l'énoncé, mais c'est l'unité standard pour s'accorder avec la question précédente).

a) Surface équivalente (A_eq) de l'antenne parabolique La puissance reçue est le produit de la densité de puissance par la surface équivalente : Pr = S × A_eq A_eq = Pr / S A_eq = 10⁻¹¹ / (1,228 × 10⁻¹⁰) ≈ 0,0814 m²

b) Gain de cette antenne en décibels La longueur d'onde est λ = c / f = (3 × 10⁸) / (12 × 10⁹) = 0,025 m. Le gain linéaire de l'antenne est relié à sa surface équivalente par : Gr = (4 × π × A_eq) / λ² Gr = (4 × π × 0,0814) / (0,025)² Gr ≈ 1,023 / 0,000625 ≈ 1636,8 En décibels : Gr(dB) = 10 × log₁₀(1636,8) ≈ 32,14 dB

Question 3 - Diamètre du paraboloïde de réception

En supposant un rendement d'ouverture de 100% (antenne idéale, ce qui est sous-entendu en l'absence de coefficient de rendement), la surface équivalente est égale à la surface géométrique : A_eq = (π × D²) / 4 D² = (4 × A_eq) / π = (4 × 0,0814) / π ≈ 0,1036 m² D = √(0,1036) ≈ 0,32 m (soit 32 cm).

Exercice N°5

Données :

• Puissance fournie au récepteur Pr = 10⁻¹⁰ W
• Densité de puissance reçue S = 0,971 × 10⁻¹⁰ W/m²

Question 1 - Surface équivalente de l'antenne

On utilise la même relation qu'à l'exercice 4 : A_eq = Pr / S A_eq = 10⁻¹⁰ / (0,971 × 10⁻¹⁰) = 1 / 0,971 ≈ 1,03 m²

Question 2 - Fréquence théorique utilisée

On sait que le gain de réception est Gr = 33 dB. En linéaire : G_lin = 10^(33/10) = 10³,³ ≈ 1995,26. On sait que A_eq = (G_lin × λ²) / (4 × π). On isole λ² : λ² = (A_eq × 4 × π) / G_lin λ² = (1,03 × 4 × π) / 1995,26 ≈ 12,94 / 1995,26 ≈ 0,006485 m² λ = √(0,006485) ≈ 0,0805 m La fréquence correspondante est f = c / λ : f = (3 × 10⁸) / 0,0805 ≈ 3,72 × 10⁹ Hz = 3,72 GHz.

Exercice N°6

Données :

• Deux sources isotropes A et B.
• Déphasage de la source B par rapport à A : φ.
• Distance séparant les sources : 2d.
• Origine O située au milieu (O = A*B).

Question 1 - Expression du champ total ET

Le champ électrique créé par une source isotrope en un point lointain M dépend de la distance. Soit r la distance de O à M, et θ l'angle entre l'axe AB et la direction OM. Les distances respectives rA et rB des sources au point M s'écrivent (approximation de champ lointain) : rA ≈ r + d × cos(θ) rB ≈ r - d × cos(θ) Le champ total est la somme des deux champs : ET = EA + EB ET = (E0 / r) × e^(-j(k × rA)) + (E0 / r) × e^(-j(k × rB - φ)) En remplaçant rA et rB : ET = (E0 / r) × e^(-jkr) × [ e^(-jk × d × cos(θ)) + e^(+jk × d × cos(θ) + jφ) ] En factorisant par la demi-somme des phases pour faire apparaître un cosinus : ET = (E0 / r) × e^(-jkr) × e^(jφ/2) × [ e^(-j(k × d × cos(θ) + φ/2)) + e^(j(k × d × cos(θ) + φ/2)) ] ET = 2 × (E0 / r) × e^(-jkr) × e^(jφ/2) × cos(k × d × cos(θ) + φ/2)

Question 2 - Fonction caractéristique et diagrammes

La fonction caractéristique (ou facteur de réseau) normée est : F(θ) = |cos(k × d × cos(θ) + φ/2)| On sait que k = 2π/λ. Les cas demandent des valeurs de φ et d (valeurs de d corrompues dans l'énoncé, mais reconnaissables via le format \lambda=d...). Nous supposerons ici que les distances demandées sont d = λ/2 et d = λ/4 (classiques). L'énoncé donne d22\lambda=d ce qui suggère 2d = \lambda/2 donc d = \lambda/4, etc. Prenons les expressions angulaires directes :

a) Les deux sources sont en phase φ = 0. F(θ) = |cos(k × d × cos(θ))| Si 2d = λ (soit d = λ/2) : k × d = (2π/λ) × (λ/2) = π. F(θ) = |cos(π × cos(θ))| (Le diagramme présente des lobes perpendiculaires à l'axe AB, avec annulation sur l'axe).

b) Les deux sources sont en opposition de phase φ = π. F(θ) = |cos(k × d × cos(θ) + π/2)| = |sin(k × d × cos(θ))| (Le diagramme présente une annulation dans le plan perpendiculaire à l'axe AB).

c) Les deux sources sont en quadrature de phase φ = π/2 (ou -π/2). F(θ) = |cos(k × d × cos(θ) + π/4)| (Ce cas crée un diagramme asymétrique, privilégiant une direction le long de l'axe AB, souvent utilisé pour créer des antennes directives type end-fire).

Méthode

Pour aborder sereinement une épreuve sur les antennes et le rayonnement :

• Identification des repères spatiaux : Les erreurs les plus fréquentes viennent d'une confusion entre l'angle par rapport à la verticale (θ en coordonnées sphériques) et l'angle par rapport à l'horizontale (souvent appelé site ou élévation). Dessinez toujours un schéma rapide.
• Cohérence des unités : Convertissez systématiquement toutes vos grandeurs dans les unités du système international (mètres, watts, hertz) avant d'entamer les calculs, y compris les distances en kilomètres ou les puissances en dBm.
• Bilan de liaison : L'équation des télécommunications (Friss) est la clé de voûte des exercices de radiodiffusion. Maîtrisez les passages entre le gain en dB, le gain linéaire, la surface équivalente et le diamètre géométrique.
• Facteur de réseau : Pour les antennes multiples (Exercice 6), la méthode universelle consiste à exprimer la différence de marche géométrique, la convertir en déphasage spatial (multiplication par k), y ajouter le déphasage électrique d'alimentation, et factoriser par l'arc moitié pour faire apparaître un cosinus.