Examen Transmission Numérique

Exercice 1

Question 1.1 - Détermination de la transformée de Fourier et de la DSP

Soit le signal rectangulaire de durée T centré en 0 : x(t) = C Rect(t/T). La transformée de Fourier X(f) est définie par l'intégrale de x(t) multipliée par exp(-j2πft) sur tout l'espace temps. Puisque le signal vaut C entre -T/2 et T/2 et 0 ailleurs :

X(f) = ∫ (de -T/2 à T/2) C exp(-j2πft) dt X(f) = C [ -1/(j2πf) * exp(-j2πft) ] évalué entre -T/2 et T/2 X(f) = C / (πf) * [ (exp(jπfT) - exp(-jπfT)) / 2j ] X(f) = C * (sin(πfT) / (πf)) X(f) = C * T * (sin(πfT) / (πfT))

En utilisant la fonction sinus cardinal définie par sinc(u) = sin(πu)/(πu), nous obtenons : X(f) = C * T * sinc(fT)

La Densité Spectrale de Puissance (DSP), selon la définition donnée, est le module carré de la transformée de Fourier : S_xx(f) = |X(f)|² S_xx(f) = C² * T² * sinc²(fT) = C² * T² * (sin²(πfT) / (πfT)²)

Question 1.2 - Fonction d'auto-corrélation

L'auto-corrélation d'un signal déterministe à énergie finie s'obtient en convoluant le signal avec lui-même inversé dans le temps : R_xx(τ) = ∫ x(t) * x(t-τ) dt. Convoluer une impulsion rectangulaire de largeur T avec elle-même produit une fonction triangulaire de largeur totale 2T (s'étendant de -T à T).

Calculons la valeur maximale (en τ = 0) : R_xx(0) = ∫ (de -T/2 à T/2) C² dt = C² * T.

L'équation mathématique standard du résultat est : R_xx(τ) = C² * T * (1 - |τ|/T) pour |τ| ≤ T, et 0 ailleurs.

Note sur la formule de l'énoncé : L'énoncé indique R_xx(τ) = C² Tri(t/(2T)). Il contient deux erreurs de typographie courantes que vous devez corriger mentalement lors d'un examen :

1. La variable indépendante de l'auto-corrélation est le décalage τ, et non la variable de temps t.
2. Le facteur multiplicatif T est absent (ou absorbé implicitement dans la définition de leur fonction Tri). De plus, si la fonction Tri(u) standard s'annule pour |u| > 1, écrire Tri(τ/T) donnerait la bonne base [-T, T]. Utiliser 2T au dénominateur étirerait la base jusqu'à [-2T, 2T], ce qui est physiquement incorrect pour une impulsion initiale de largeur T. La vraie réponse déduite par le calcul prime toujours.

Question 1.3 - Signal avec bruit : Auto-corrélation et DSP en sortie

Le signal mesuré est y(t) = x(t) + b(t). Le bruit b(t) est un bruit blanc additif Gaussien (BBAG) de moyenne nulle et indépendant du signal x(t). L'indépendance et la moyenne nulle impliquent que les termes d'inter-corrélation croisée R_xb(τ) et R_bx(τ) sont nuls.

L'auto-corrélation de y(t) est donc la simple somme des auto-corrélations : R_yy(τ) = R_xx(τ) + R_bb(τ)

Pour un bruit blanc de DSP constante S_bb(f) = N_0 / 2, l'auto-corrélation est la transformée de Fourier inverse d'une constante, ce qui donne une impulsion de Dirac (δ) pondérée : R_bb(τ) = (N_0 / 2) * δ(τ)

On obtient donc : R_yy(τ) = C² * T * (1 - |τ|/T) + (N_0 / 2) * δ(τ) *(pour |τ| ≤ T, et (N_0/2)δ(τ) ailleurs)

La DSP de sortie s'obtient de la même manière par addition : S_yy(f) = S_xx(f) + S_bb(f) S_yy(f) = C² * T² * sinc²(fT) + (N_0 / 2)

Tracés (description) :

• R_yy(τ) : Un triangle plein centré sur l'axe des ordonnées en τ=0, culminant à une hauteur de C²*T et s'annulant en -T et +T. Exactement sur l'axe vertical τ=0, une flèche pointant vers le haut symbolise l'impulsion de Dirac due au bruit, pondérée par N_0/2.
• S_yy(f) : La courbe classique du sinus cardinal au carré (un lobe principal centré en f=0 et des lobes secondaires de plus en plus petits), mais toute la courbe est décalée vers le haut. Le "plancher" n'est plus à l'ordonnée 0 mais sur une ligne horizontale y = N_0/2.

Exercice 2

Note importante : L'énoncé numérisé ne contient pas le graphique ("figure suivante") du signal modulé en amplitude. Les questions graphiques ne peuvent donc être résolues numériquement. La démarche complète est néanmoins fournie ci-dessous pour vous permettre de résoudre l'exercice avec l'image sous les yeux.

Question 2.1 - Expression du signal s(t)

L'expression générale d'un signal modulé en amplitude (AM) avec porteuse, pour un signal modulant sinusoïdal de fréquence f_m, est : s(t) = (A_p + A_m * cos(2π * f_m * t)) * cos(2π * f_p * t)

Où A_p est l'amplitude de la porteuse non modulée, et A_m est l'amplitude du signal modulant. En factorisant A_p, on fait apparaître le taux de modulation k : s(t) = A_p * (1 + k * cos(2π * f_m * t)) * cos(2π * f_p * t)

Question 2.2 - Détermination graphique de la fréquence modulant f_m

Méthode sans la figure : Sur le chronogramme d'un signal AM, la "haute fréquence" visible correspond à la porteuse (f_p = 100 kHz). La courbe "enveloppe" qui relie les crêtes de cette porteuse représente le signal modulant. Pour trouver f_m :

1. Mesurez la période de l'enveloppe, T_m, en lisant l'écart temporel entre deux sommets consécutifs de l'enveloppe globale.
2. Calculez la fréquence : f_m = 1 / T_m.

Question 2.3 - Amplitude de la porteuse A_p et taux de modulation k

On nous donne A_m = 1. Le taux de modulation est défini par : k = A_m / A_p.

Pour déterminer A_p graphiquement, il faut lire l'amplitude maximale de l'enveloppe (E_max) ou son amplitude minimale (E_min) : E_max = A_p + A_m E_min = A_p - A_m

Connaissant A_m = 1, il vous suffirait de lire E_max sur la figure et de calculer A_p = E_max - 1. Ensuite, le calcul de k devient : k = 1 / A_p.

Question 2.4 - Spectre S(f) et bande de fréquence occupée

Spectre S(f) : La transformée de Fourier de s(t) développe trois raies spectrales dans les fréquences positives (et symétriquement en fréquences négatives) :

1. Une raie centrale à la fréquence de la porteuse : f_p (d'amplitude A_p / 2).
2. Une raie latérale supérieure à : f_p + f_m (d'amplitude (A_p * k) / 4).
3. Une raie latérale inférieure à : f_p - f_m (d'amplitude (A_p * k) / 4). Le tracé attendu est donc un graphe avec trois impulsions verticales (Dirac) à ces trois fréquences.

Bande de fréquence occupée : La largeur de bande B est l'écart entre la fréquence maximale et la fréquence minimale du spectre utile : B = (f_p + f_m) - (f_p - f_m) = 2 * f_m.

Question 2.5 - Inconvénient principal quant à la puissance

Le principal inconvénient de la modulation d'amplitude avec porteuse conservée (AM classique) est son très faible rendement énergétique. La majeure partie de la puissance émise est concentrée dans la porteuse (la raie f_p), qui ne transporte aucune information utile (l'information réside uniquement dans les bandes latérales). Ainsi, beaucoup d'énergie est gaspillée par l'émetteur.

Problème

Partie A

Question A.1 - Débits binaire et symbole

Le temps bit est donné : T_b = 1 ms = 10⁻³ s. Le débit binaire (D_b) est l'inverse du temps bit : D_b = 1 / T_b = 1 / 10⁻³ = 1000 bit/s.

Pour un codage M-aire avec M = 4 états, le nombre de bits transportés par symbole est log₂(4) = 2 bits/symbole. Le débit symbole (aussi appelé rapidité de modulation, R_s ou D_s) se calcule en divisant le débit binaire par le nombre de bits par symbole : R_s = D_b / log₂(M) = 1000 / 2 = 500 Bauds. (Note : Le temps symbole est donc T_s = 1 / R_s = 2 ms).

Question A.2 - Codage des bits « 0111001011 »

Puisque M = 4 (2 bits par symbole), nous devons d'abord regrouper les bits par paires : 01 | 11 | 00 | 10 | 11

L'énoncé donne l'alphabet des symboles a_k ∈ {-3, -1, +1, +3}, mais ne précise pas la table de correspondance (mapping). Dans la pratique, on utilise un code de Gray pour minimiser le taux d'erreur binaire. Définissons la table de Gray suivante (obligatoire à préciser sur votre copie) :

• 00 → -3
• 01 → -1
• 11 → +1
• 10 → +3

En appliquant ce choix aux paires de bits :

• 01 → -1
• 11 → +1
• 00 → -3
• 10 → +3
• 11 → +1

La séquence des symboles émis est donc : -1, +1, -3, +3, +1.

Question A.3 - Densité spectrale de puissance S_s(f)

La formule de la DSP du signal émis s(t) dépend du filtre de mise en forme H(f) et de la DSP de la séquence de symboles S_a(f) : S_s(f) = S_a(f) * |H(f)|².

Étape 1 : Expression de |H(f)| L'impulsion de mise en forme pour un codage NRZ est une porte rectangulaire s'étendant sur la durée d'un symbole, soit T_s (et non T_b, car l'émetteur maintient le niveau du symbole pendant 2 ms). Sa transformée de Fourier est : H(f) = T_s * sinc(f * T_s) Donc : |H(f)|² = T_s² * sinc²(f * T_s)

Étape 2 : Expression de S_a(f) Les symboles a_k sont indépendants et identiquement distribués (i.i.d).

• La moyenne m_a = E[a_k] = (1/4)(-3) + (1/4)(-1) + (1/4)(1) + (1/4)(3) = 0.
• Puisque les symboles sont indépendants, l'auto-corrélation discrète de la séquence, S_a'(k) pour k ≠ 0, est nulle.
• Calcul de la variance (qui équivaut ici à la puissance moyenne puisque m_a = 0) avec la formule fournie par l'énoncé : σ_a² = (M² - 1) / 3 = (4² - 1) / 3 = 15 / 3 = 5.

En remplaçant ces valeurs (m_a = 0 et S_a'(k) = 0) dans la longue formule de S_a(f) fournie par l'énoncé, tous les termes contenant des sommes s'annulent. Il ne reste que le premier terme. Attention à la notation de l'énoncé : La formule imprimée utilise le paramètre T_b au dénominateur du premier terme. Mathématiquement, pour un train d'impulsions M-aire, la période de répétition est le temps symbole T_s. Nous appliquerons T_s pour maintenir la cohérence physique : S_a(f) = σ_a² / T_s = 5 / T_s.

Étape 3 : DSP Totale S_s(f) S_s(f) = (5 / T_s) * [ T_s² * sinc²(f * T_s) ] S_s(f) = 5 * T_s * sinc²(f * T_s) (Si on exprime en fonction de T_b, sachant que T_s = 2T_b : S_s(f) = 10 * T_b * sinc²(2 * f * T_b)).*

Question A.4 - DSP du codage NRZ bipolaire 1-aire (binaire)

Pour ce cas, M = 2 et les symboles sont a_k ∈ {-1, +1}. Ici, un symbole transporte 1 bit, donc T_s = T_b = 1 ms. Calculons la variance : σ_a² = (2² - 1) / 3 = 3 / 3 = 1. (Alternativement : E[a_k²] = 0.5(1)² + 0.5*(-1)² = 1).*

En appliquant le même raisonnement (moyenne nulle, symboles i.i.d) : S_a(f) = σ_a² / T_b = 1 / T_b |H(f)|² = T_b² * sinc²(f * T_b)

La densité spectrale devient donc : S_s(f) = (1 / T_b) * T_b² * sinc²(f * T_b) S_s(f) = T_b * sinc²(f * T_b)

Partie B

Note : Le schéma du récepteur de l'étudiant est manquant. Cependant, le contexte classique d'un récepteur imparfait présentant une forte probabilité d'erreur avec un canal idéal sous bruit blanc permet de déduire la nature de la solution.

Question B.1 - Composante manquante au récepteur

L'étudiant effectue probablement un échantillonnage et une décision directe sur le signal bruité y(t), ce qui laisse entrer toute la puissance du bruit large bande dans le comparateur. Pour réduire significativement la probabilité d'erreur, il doit ajouter un filtre adapté (matched filter) ou son équivalent temporel, un intégrateur (integrate-and-dump) juste avant l'échantillonneur.

Rôle du filtre adapté : Il maximise le rapport signal sur bruit (SNR) à l'instant d'échantillonnage (t = T_b). Il effectue une moyenne du signal sur la durée du bit, ce qui renforce la composante continue du signal NRZ tout en lissant (atténuant) les fluctuations rapides du bruit blanc Gaussien.

Question B.2 - Seuil optimal de décision

Le problème majeur de l'étudiant est que les probabilités d'émission ne sont pas équiprobables. L'énoncé stipule que le bit '0' a deux fois plus de chance d'apparition que le bit '1' : P(0) = 2/3 P(1) = 1/3

Dans un canal avec Bruit Blanc Additif Gaussien de variance σ², le seuil de décision optimal (qui minimise la probabilité d'erreur totale selon le critère du Maximum A Posteriori - MAP) n'est plus placé à 0V. Soit +A la tension pour le bit '1' et -A la tension pour le bit '0'. Le seuil optimal λ s'obtient par l'équation : λ = (σ² / (2 * A)) * ln( P(0) / P(1) )

En considérant la DSP du bruit S_bb = N_0 / 2 (donc une variance σ² proportionnelle à N_0 après filtrage adapté, spécifiquement σ² = N_0 / 2 pour l'énergie d'un symbole normalisé), l'équation formelle se développe en : λ = (N_0 / (4 * A)) * ln( (2/3) / (1/3) ) λ = (N_0 / (4 * A)) * ln(2)

L'erreur de l'étudiant : L'étudiant a très certainement configuré son comparateur avec un seuil de décision à 0 Volt, qui est le réglage par défaut pour des bits équiprobables. Puisque le bit '0' (associé à une tension négative) est émis beaucoup plus souvent, la zone de décision allouée à la détection du '0' doit être mathématiquement élargie pour réduire l'erreur globale. Le seuil doit être décalé vers la tension positive (valeur λ calculée ci-dessus). En gardant le seuil à 0, l'étudiant dégrade artificiellement la réception des bits '0'.

Méthode

Face à une épreuve de transmission numérique ou de théorie du signal :

1. Gérez les typographies de l'énoncé avec précaution : Comme illustré dans l'Exercice 1, les sujets d'examens contiennent parfois des notations flottantes (ici, confondre t et τ pour l'autocorrélation). Répondez toujours en utilisant la physique correcte et la notation conventionnelle de la discipline tout en faisant le lien explicite avec la formule imprimée, pour prouver que vous maîtrisez la différence.
2. Distinguez T_b et T_s : Dès que vous sortez du codage binaire (Partie A), l'erreur classique est d'utiliser le temps bit T_b dans les formules spectrales. Définissez immédiatement la relation T_s = T_b * log2(M) et basculez toute l'analyse fréquentielle (spectre, bande passante, filtrage) sur le temps symbole T_s.
3. Théorie de la décision : Pour les récepteurs (Partie B), le réflexe par défaut des étudiants est seuil = 0V. Rappelez-vous que ce résultat n'est vrai que si P(0) = P(1). Dès que l'énoncé donne des probabilités asymétriques, le seuil optimal dérive vers le symbole le moins probable. Posez le critère MAP et dérivez le logarithme pour le prouver.