Examen de Probabilités Appliquées

Exercice 1 - Loi Binomiale et probabilités de tirs

Question 1 - Loi de probabilité de X

La cible est atteinte avec une probabilité constante p = 1/3 à chaque tir, de manière indépendante. La variable aléatoire X, qui compte le nombre de succès (cible atteinte) sur n tirs, suit donc une loi Binomiale de paramètres n et p. On note X ~ B(n, p).

La loi de probabilité est donnée par : P[X = k] = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k) pour tout entier k ∈ [0, n].

Note sur la notation : C(n, k) désigne le coefficient binomial, souvent noté "n choose k".

Question 2 - Paramètres de la variable aléatoire X

Les paramètres fondamentaux d'une loi binomiale B(n, p) sont son espérance E(X) et sa variance V(X) : E(X) = n × p = n / 3 V(X) = n × p × (1 - p) = n × (1/3) × (2/3) = 2n / 9

Question 3 - Probabilité d'atteindre la cible au moins 2 fois (n = 5)

On cherche la probabilité P[X ≥ 2] avec n = 5 et p = 1/3. Pour simplifier le calcul, il est préférable de passer par l'événement contraire (atteindre la cible 0 ou 1 fois) : P[X ≥ 2] = 1 - (P[X = 0] + P[X = 1])

Calculons les probabilités individuelles : P[X = 0] = C(5, 0) × (1/3)^0 × (2/3)^5 = 1 × 1 × 32/243 = 32 / 243 P[X = 1] = C(5, 1) × (1/3)^1 × (2/3)^4 = 5 × (1/3) × 16/81 = 80 / 243

Donc : P[X ≥ 2] = 1 - (32/243 + 80/243) = 1 - (112/243) = 131 / 243 ≈ 0,539

Remarque de correction : Le document source indique un résultat final de "≈ 0,855". Il s'agit d'une erreur de calcul dans le corrigé original (probablement l'oubli du coefficient binomial C(5, 1)=5 ou une erreur d'addition). Le développement théorique du document source est correct, mais l'application numérique exacte est 131/243, soit environ 0,539.

Question 4 - Nombre minimal de tirs pour une réussite d'au moins 0,9

On cherche n tel que la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,9. P[X ≥ 1] ≥ 0,9 1 - P[X = 0] ≥ 0,9 1 - (1 - p)^n ≥ 0,9 (1 - p)^n ≤ 0,1

En remplaçant p par 1/3, on obtient : (2/3)^n ≤ 0,1

En appliquant le logarithme népérien (ln) : n × ln(2/3) ≤ ln(0,1)

Puisque ln(2/3) est un nombre négatif, diviser par ce nombre inverse le sens de l'inégalité : n ≥ ln(0,1) / ln(2/3) n ≥ (-2,302) / (-0,4055) n ≥ 5,67

Le nombre de tirs n devant être un entier, le tireur doit tirer au moins 6 fois pour que la probabilité atteigne 0,9.

Exercice 2 - Appels téléphoniques et approximation de loi

Question 1 - Probabilité d'un appel à un instant t

Un employé téléphone en moyenne 6 minutes par heure (soit 6 minutes sur 60). S'il appelle de manière aléatoire et uniforme, la probabilité p qu'il soit au téléphone à un instant t donné est : p = 6 / 60 = 0,1

Question 2 - Loi de X, Espérance et Variance

La variable X représente le nombre d'employés qui téléphonent à un instant t parmi les 300 employés de l'entreprise. Puisque chaque employé appelle indépendamment des autres avec une probabilité p = 0,1, la variable X suit une loi Binomiale de paramètres n = 300 et p = 0,1. X ~ B(300 ; 0,1)

Loi de probabilité : P[X = k] = C(300, k) × (0,1)^k × (0,9)^(300 - k) pour k ∈ [0, 300].

Espérance : E(X) = n × p = 300 × 0,1 = 30 Variance : V(X) = n × p × (1 - p) = 30 × 0,9 = 27

Question 3 - Nombre de lignes à installer

Soit n le nombre de lignes à installer. L'événement "toutes les lignes sont utilisées" correspond à "le nombre d'appels X est supérieur ou égal au nombre de lignes n". On veut que cette probabilité soit au maximum de 0,025. P[X ≥ n] ≤ 0,025 Ce qui revient à dire : P[X ≤ n] ≥ 0,975 (en approximant P[X < n] à P[X ≤ n] par continuité).

Puisque n = 300 est grand, p = 0,1 et n×p = 30 ≥ 5, on peut approcher la loi Binomiale par une loi Normale N(m, σ²) avec m = 30 et σ² = 27. On standardise la variable en posant Z = (X - m) / σ : P[ (X - 30) / √27 ≤ (n - 30) / √27 ] ≥ 0,975

Soit Φ la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite. On cherche n tel que : Φ( (n - 30) / √27 ) ≥ 0,975

D'après la table de la loi Normale standard, Φ(1,96) = 0,975. Il faut donc que : (n - 30) / √27 ≥ 1,96 n - 30 ≥ 1,96 × √27 n ≥ 30 + (1,96 × 5,196) n ≥ 30 + 10,18 n ≥ 40,18

L'entreprise doit donc installer au minimum 41 lignes.

Exercice 3 - Lois de Poisson et variables conjointes

Question 1 - Loi de probabilité conditionnelle de D sachant N = n

Si l'on sait que N = n particules ont été émises, et que chaque particule a une probabilité p de se désintégrer indépendamment des autres, alors le nombre D de particules désintégrées suit une loi Binomiale de paramètres n et p. P(D = k | N = n) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k), pour tout entier k ∈ [0, n].

Question 2 - Loi de probabilité conjointe du couple (D, N)

Par définition des probabilités conditionnelles, la probabilité conjointe s'écrit : P(D = k, N = n) = P(D = k | N = n) × P(N = n)

En utilisant la loi de Poisson pour N ( P(N = n) = e^(-λ) × λ^n / n! ) et la loi conditionnelle trouvée précédemment, on obtient : P(D = k, N = n) = [ n! / (k!(n - k)!) ] × p^k × (1 - p)^(n - k) × e^(-λ) × (λ^n / n!)

On simplifie les n! et on sépare les termes en puissances de k et de n-k (puisque λ^n = λ^k × λ^(n-k)) : P(D = k, N = n) = e^(-λ) × [ (λp)^k / k! ] × [ (λ(1 - p))^(n - k) / (n - k)! ] Ceci est valable pour tout entier naturel n, et pour tout entier k ≤ n.

Question 3 - Loi de probabilité de D

Pour trouver la loi marginale de D, on somme la probabilité conjointe sur toutes les valeurs possibles de n (n allant de k à +∞, car on ne peut pas avoir plus de particules désintégrées k qu'émises n). P(D = k) = Σ (n=k à +∞) P(D = k, N = n) P(D = k) = e^(-λ) × [ (λp)^k / k! ] × Σ (n=k à +∞) [ (λ(1 - p))^(n - k) / (n - k)! ]

On effectue un changement d'indice en posant j = n - k : Σ (j=0 à +∞) [ (λ(1 - p))^j / j! ]

On reconnaît ici le développement en série entière de la fonction exponentielle : e^(λ(1 - p)). P(D = k) = e^(-λ) × [ (λp)^k / k! ] × e^(λ - λp) En regroupant les exponentielles (e^(-λ) × e^λ = 1) : P(D = k) = e^(-λp) × [ (λp)^k / k! ]

On déduit que D suit une loi de Poisson de paramètre λp : D ~ P(λp).

Question 4 - Fonctions génératrices de N et D

La fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète X est G_X(t) = E(t^X) = Σ P(X = k)t^k. Pour N qui suit une loi P(λ) : G_N(t) = Σ (k=0 à +∞) e^(-λ) × (λt)^k / k! G_N(t) = e^(-λ) × e^(λt) = e^(λ(t - 1))

Puisque D suit une loi P(λp), il suffit de remplacer le paramètre λ par λp dans la formule précédente pour obtenir sa fonction génératrice : G_D(t) = e^(λp(t - 1))

Question 5 - Loi de C

On sait que les particules émises N se divisent entre les particules désintégrées D et les non-désintégrées C. Ainsi, N = C + D, d'où C = N - D. Par l'hypothèse physique d'indépendance de désintégration, les variables C et D sont indépendantes. La fonction génératrice de la somme de variables indépendantes est le produit des fonctions génératrices : G_N(t) = G_D(t) × G_C(t) pour tout t ∈ ℝ.

On en déduit G_C(t) : G_C(t) = G_N(t) / G_D(t) G_C(t) = e^(λ(t - 1)) / e^(λp(t - 1)) G_C(t) = e^(λ(1 - p)(t - 1))

On reconnaît l'expression de la fonction génératrice d'une loi de Poisson de paramètre λ(1 - p). Conclusion : C ~ P(λ(1 - p)).

Exercice 4 - Variables aléatoires continues et transformations

Question 1 - Densité de la variable B

Soit A ~ N(0, 1) avec pour fonction de densité f_A(x) = (1 / √(2π)) × e^(-x²/2). On définit B = σA + m, où m ∈ ℝ et σ ∈ ℝ+. Déterminons la fonction de répartition F_B(x) de B : F_B(x) = P(B ≤ x) = P(σA + m ≤ x) = P(A ≤ (x - m) / σ)

F_B(x) = ∫ (de -∞ à (x - m)/σ) f_A(u) du F_B(x) = ∫ (de -∞ à (x - m)/σ) (1 / √(2π)) × e^(-u²/2) du

On effectue un changement de variable en posant u = (t - m) / σ, d'où du = dt / σ. Les bornes deviennent -∞ et x : F_B(x) = ∫ (de -∞ à x) (1 / (σ√(2π))) × e^(-((t - m)/σ)² / 2) dt

La fonction de densité f_B(x) est la dérivée de F_B(x) : f_B(x) = F'_B(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x - m)² / (2σ²)) On reconnaît la densité d'une loi Normale d'espérance m et de variance σ². Donc B ~ N(m, σ²).

Question 2 - Fonction caractéristique de A

La fonction caractéristique de A est définie par Φ_A(t) = E(e^(itA)). Φ_A(t) = ∫ (de -∞ à +∞) (1 / √(2π)) × e^(itx) × e^(-x²/2) dx Φ_A(t) = ∫ (de -∞ à +∞) (1 / √(2π)) × e^(itx - x²/2) dx

En complétant le carré dans l'exposant : itx - x²/2 = - (x - it)² / 2 - t²/2. Φ_A(t) = e^(-t²/2) × ∫ (de -∞ à +∞) (1 / √(2π)) × e^(-(x - it)²/2) dx

L'intégrale d'une densité gaussienne sur ℝ vaut 1, même avec un décalage complexe. Φ_A(t) = e^(-t²/2)

Question 3 - Fonction caractéristique de B

En utilisant la linéarité de l'espérance et les propriétés de la fonction caractéristique pour B = σA + m : Φ_B(t) = E(e^(itB)) = E(e^(it(σA + m))) Φ_B(t) = e^(itm) × E(e^(i(σt)A)) Φ_B(t) = e^(itm) × Φ_A(σt)

En remplaçant Φ_A par son expression trouvée à la question 2 : Φ_B(t) = e^(itm) × e^(-(σt)² / 2)

Question 4 - Application à l'équation E = x² - Bx + 1

On a m = 3 et σ = 2, donc B ~ N(3, 4). L'équation étudiée est une équation du second degré dont le discriminant aléatoire est Δ = B² - 4.

a) Deux racines réelles distinctes : L'équation admet deux racines réelles distinctes si et seulement si Δ > 0. P(Δ > 0) = P(B² > 4) = P(B < -2 ou B > 2) P(Δ > 0) = P(B < -2) + P(B > 2)

On standardise B en utilisant A = (B - 3) / 2, avec A ~ N(0, 1) : P(B < -2) = P(A < (-2 - 3)/2) = P(A < -2,5) P(B > 2) = P(A > (2 - 3)/2) = P(A > -0,5)

En notant Φ la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite : P(A < -2,5) = 1 - Φ(2,5) P(A > -0,5) = P(A < 0,5) = Φ(0,5) (par symétrie de la loi normale)

P(Δ > 0) = 1 - Φ(2,5) + Φ(0,5) P(Δ > 0) ≈ 1 - 0,9938 + 0,6915 ≈ 0,6977

b) Une seule racine : L'équation admet une seule racine (racine double) si et seulement si Δ = 0. P(Δ = 0) = P(B² = 4) = P(B = -2) + P(B = 2). Puisque B est une variable aléatoire continue, la probabilité qu'elle prenne une valeur ponctuelle exacte est nulle. P(Δ = 0) = 0

c) Deux racines complexes non réelles : L'équation admet des racines complexes non réelles si et seulement si Δ < 0. P(Δ < 0) = 1 - P(Δ ≥ 0) Puisque P(Δ = 0) = 0, P(Δ ≥ 0) = P(Δ > 0). P(Δ < 0) = 1 - 0,6977 = 0,3023

Méthode

Pour aborder sereinement un examen de Probabilités Appliquées de ce type, suivez cette démarche systématique :

1. Identifiez la nature de la variable : Distinguez immédiatement si le problème traite de variables discrètes (Dénombrement, Binomiale, Poisson comme aux exercices 1, 2 et 3) ou continues (Normale, densités comme à l'exercice 4).
2. Apprenez le formulaire de base : Vous devez connaître par cœur pour chaque loi usuelle : sa probabilité/densité, son espérance, sa variance et sa fonction génératrice ou caractéristique. Elles servent toujours de point de départ.
3. Faites attention au vocabulaire : Des termes comme "au moins", "au plus" ou "supérieur à" doivent immédiatement être traduits par des inégalités (≥, ≤, >). Pour la question "au moins k", pensez toujours à utiliser l'événement contraire (1 - P[X < k]) pour minimiser les calculs.
4. Méfiez-vous des variables continues : Rappelez-vous qu'une variable continue ne peut pas prendre une valeur ponctuelle avec une probabilité non nulle (P(X = k) = 0). Ceci est crucial pour résoudre les problèmes croisant probabilités et algèbre, comme celui du discriminant à l'exercice 4.
5. Ne forcez pas les résultats numériques : Si une simplification mathématique ou un calcul vous conduit à une valeur différente du corrigé (voir exercice 1.3), fiez-vous à votre développement formel, revérifiez vos étapes et posez la solution mathématiquement juste.