Exam on Analog Multiple Feedback Systems

Ce sujet porte sur un examen en électronique analogique, plus précisément sur les systèmes à amplificateurs multiples. Il évalue les compétences en analyse de circuits oscillateurs, multiplieurs analogiques, filtres et intégrateurs, ainsi que la capacité à appliquer les formules et à effectuer des calculs numériques précis.

Oscillateur sinusoïdal (Partie I)

On étudie un oscillateur sinusoïdal avec un interrupteur In ouvert ou fermé. Il s'agit d'exprimer les fonctions de transfert, déterminer les conditions d'oscillation et calculer les valeurs des composants pour une fréquence donnée.

I.1. L’interrupteur In est ouvert

a/ Fonction de transfert de la chaîne directe A = U0/U en fonction de R1 et R2.

Dans un amplificateur opérationnel parfait en configuration amplificateur inverseur, la fonction de transfert est donnée par :

A = U0 / U = - R2 / R1

Le signe négatif indique une inversion de phase.

b/ Fonction de transfert de la chaîne de retour B = U’/U0 en fonction de R, C et ω.

La chaîne de retour est constituée d’un réseau RC. Sa fonction de transfert est :

B = U' / U0 = 1 / (1 + jωRC)

où j est l’unité imaginaire, ω la pulsation (rad/s), R la résistance et C la capacité.

I.2. Interrupteur In fermé : condition d’oscillation

a/ Relation entre R1 et R2 pour que le montage soit oscillateur sinusoïdal.

La condition d’oscillation est A·B = 1. En valeur absolue, cela donne :

|A| · |B| = 1

Or, |A| = R2 / R1 et |B| = 1 / (ωRC) à la fréquence d’oscillation (car la phase doit être nulle).

La condition de phase impose que l’angle de B compense celui de A. Pour un oscillateur de pont de Wien, la condition est :

R2 = 2 · R1

Cette relation garantit que le gain en boucle ouverte est suffisant pour l’oscillation.

b/ Fréquence d’oscillation en fonction de R et C.

La fréquence d’oscillation ω0 est donnée par :

ω0 = 1 / (R · C)

La fréquence f0 en Hz est :

f0 = ω0 / (2π) = 1 / (2πRC)

I.3. Application numérique

On donne R1 = 50 kΩ, R3 = 50 kΩ, fréquence f0 = 30 Hz.

Calcul de R2 :

Selon la relation précédente :

R2 = 2 · R1 = 2 · 50 kΩ = 100 kΩ

Calcul de C3 :

On utilise la formule de fréquence :

f0 = 1 / (2π R3 C3) => C3 = 1 / (2π R3 f0)

En remplaçant :

C3 = 1 / (2π · 50 000 · 30) ≈ 1.06 · 10^-7 F = 106 nF

Réponse finale : R2 = 100 kΩ et C3 ≈ 106 nF.

Multiplieurs analogiques (Partie II)

On analyse deux multiplieurs identiques, parfaits, produisant une tension de sortie proportionnelle au produit des tensions d’entrée. Le but est d’exprimer les tensions et courants dans le circuit en fonction des variables données.

II.1. Multiplieur n°1

a/ Expression de um en fonction de u0, u4 et k.

Le multiplieur produit :

um = k · u0 · u4

b/ Expression de i en fonction de u0, um, R et X = Rx / R.

Le courant i dans la branche est :

i = (u0 - um) / (R · X)

c/ Expression de u1 en fonction de u0, um et X.

La tension u1 est :

u1 = u0 - i · R = u0 - ((u0 - um) / (R · X)) · R = u0 - (u0 - um) / X

En développant :

u1 = u0 - (u0 / X) + (um / X) = u0 (1 - 1/X) + (um / X)

d/ Expression de u1 en fonction de u0, u4, X et k, sous la forme :

u1 = u0 · X + α · u4 + χ1

En remplaçant um par k u0 u4 :

u1 = u0 (1 - 1/X) + (k u0 u4) / X = u0 (1 - 1/X) + (k / X) u0 u4

On identifie :

• Coefficient devant u0 : (1 - 1/X) = X
• Coefficient α devant u4 : α = (k / X) u0
• Constante χ1 = 0 (pas de terme constant explicite)

Donc :

u1 = u0 · X + α · u4

avec

α = k / X

II.2. Multiplieur n°2

On suppose u4 constante et on exprime u2 en fonction de u0.

a/ Expression de u2 sous la forme A (1 – cos 2ωt) et expression de A.

On rappelle l’identité trigonométrique :

2 sin^2 a = 1 - cos 2a

La tension u0(t) = Umax sin(ωt).

Le multiplieur produit un terme proportionnel à sin^2(ωt), donc :

u2 = A (1 - cos 2ωt)

avec A proportionnel à Umax^2, k, X, u4, etc.

En développant, on obtient :

A = βA X + α u4 + χ1

où β et α sont des coefficients liés au multiplieur et aux paramètres du circuit.

b/ Application numérique :

• u4 = 0 V
• k = 0,1 V–1
• R = Rx
• Umax = 5 V
• f = 30 Hz

Avec u4 = 0, on a :

u2 = A (1 - cos 2ωt) = βA X (1 - cos 2ωt)

Le terme constant A est donc :

A = βA X

Sans valeur numérique précise de βA, on ne peut pas calculer u2 numériquement. Le document ne fournit pas βA explicitement.

Conclusion : Impossible de calculer u2 numériquement sans la valeur de βA.

Filtre (Partie III)

On étudie un filtre dont la fonction de transfert T est donnée, et on calcule la résistance pour une fréquence de coupure donnée, ainsi que le module de T à différentes fréquences.

III.1. Calcul de R4 pour fc = 6 Hz

La fréquence de coupure est :

fc = ωc / (2π) = 1 / (2π R4 C4)

On isole R4 :

R4 = 1 / (2π fc C4)

Avec C4 = 220 nF = 220 × 10^-9 F et fc = 6 Hz :

R4 = 1 / (2π · 6 · 220 × 10^-9) ≈ 1 / (8.29 × 10^-6) ≈ 120 700 Ω ≈ 121 kΩ

Réponse : R4 ≈ 121 kΩ.

III.2. Calcul du module |T| pour ω = 0 et ω = 10 ωc

La fonction de transfert T est :

T = (j ω / ωc) / (1 + j (ω / ωc) - (ω / ωc)^2)

Pour ω = 0 :

ω / ωc = 0 => T = 0

Donc |T| = 0.

Pour ω = 10 ωc :

Calculons :

x = ω / ωc = 10

Le dénominateur est :

1 + j x - x^2 = 1 + j 10 - 100 = -99 + j 10

Module du dénominateur :

|D| = sqrt((-99)^2 + 10^2) = sqrt(9801 + 100) = sqrt(9901) ≈ 99.5

Module du numérateur :

|N| = |j x| = x = 10

Donc :

|T| = |N| / |D| = 10 / 99.5 ≈ 0.1005

Réponse : |T|(0) = 0 et |T|(10 ωc) ≈ 0.1.

III.3. Analyse de la tension u3(t)

La tension u2(t) est la somme d’une sinusoïde de fréquence 60 Hz et amplitude 5 V, et d’une tension constante de 5 V.

Nom du filtre : Ce filtre laisse passer les hautes fréquences et atténue les basses, donc c’est un filtre passe-haut.

Nature de la tension u3 : u3 est la sortie du filtre, donc elle est composée d’une composante alternative (sinusoïdale) et d’une composante continue atténuée.

Calcul numérique de u3(t) :

À 60 Hz, ω = 2π · 60 = 120π rad/s.

On calcule ω / ωc :

ωc = 2π · 6 = 12π

ω / ωc = 120π / 12π = 10

On a déjà calculé |T|(10 ωc) ≈ 0.1.

La composante sinusoïdale de 5 V est donc atténuée par 0.1 :

Amplitude sinusoïdale en sortie = 5 V × 0.1 = 0.5 V

La composante continue (5 V) est atténuée à 0 (car |T|(0) = 0).

Donc :

u3(t) ≈ 0.5 sin(2π · 60 t)

Réponse : u3(t) est une sinusoïde de fréquence 60 Hz et amplitude 0.5 V, sans composante continue.

Intégrateur (Partie IV)

On étudie un amplificateur opérationnel en configuration intégrateur, on exprime la sortie u4(t) en fonction de l’entrée u3(t), puis on analyse des cas particuliers.

IV.1. Expression de u4(t) en fonction de u3, R5 et C5

Pour un intégrateur idéal :

u4(t) = - (1 / (R5 C5)) ∫ u3(t) dt + u4(0)

où u4(0) est la tension initiale de sortie.

IV.2. Cas particulier avec u4(0) = 0, R5 = 10 kΩ, C5 = 100 nF

a/ u3(t) = 1 V constant :

On intègre :

u4(t) = - (1 / (R5 C5)) ∫ 1 dt = - (1 / (10 000 · 100 × 10^-9)) t = - (1 / 0.001) t = -1000 t

On peut écrire :

u4(t) = a t + b

avec :

• a = -1000 V/s
• b = 0 V

Cette relation est valable tant que l’amplificateur fonctionne en régime linéaire, c’est-à-dire tant que |u4(t)| < 15 V (tension d’alimentation).

Donc l’intervalle de temps est :

|u4(t)| < 15 => | -1000 t | < 15 => t < 15 / 1000 = 0.015 s = 15 ms

b/ Tracé de u4(t) pour t entre 0 et 20 ms avec u3(t) = 1 V :

Pour t ≤ 15 ms, u4(t) décroît linéairement de 0 à -15 V. Pour t > 15 ms, saturation à -15 V.

c/ Tracé de u4(t) pour t entre 0 et 20 ms avec u3(t) = –1 V :

De même :

u4(t) = - (1 / (R5 C5)) ∫ (-1) dt = +1000 t

u4(t) croît linéairement de 0 à +20 V en 20 ms, mais saturera à +15 V à t = 15 ms.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des concepts fondamentaux en électronique analogique : analyse des fonctions de transfert, compréhension des conditions d’oscillation, manipulation des formules des filtres et intégrateurs, et application rigoureuse des calculs numériques.

Les erreurs à éviter sont :

• Confondre les relations de gain et de phase dans les oscillateurs.
• Omettre les unités ou mal convertir les valeurs numériques.
• Ne pas vérifier la validité des approximations (par exemple, régime linéaire de l’amplificateur).
• Ne pas expliciter les étapes intermédiaires, ce qui nuit à la compréhension.

Une rédaction claire, avec encadrement des résultats et justification des formules utilisées, est essentielle pour obtenir une bonne note.