Electronique Exam

Ce sujet d'examen en électronique, destiné à des étudiants de troisième année en Génie Électrique, évalue les compétences en analyse de circuits à amplificateurs opérationnels, comparateurs et filtres actifs. Il comprend trois parties indépendantes, chacune demandant la compréhension des principes fondamentaux, l'application des lois des circuits et la manipulation d'expressions mathématiques liées aux composants électroniques.

Première partie : Étude d'un amplificateur de différence (Fig. 1)

On demande d'analyser le fonctionnement d'un amplificateur opérationnel monté en amplificateur de différence, en exprimant les tensions aux bornes de ses entrées et la sortie en fonction des tensions d'entrée et des résistances.

I.1. Exprimer V- en fonction de V1, V3, R1 et R3

Le point V- est le nœud entre R1 (connecté à V1) et R3 (connecté à la sortie V3). En supposant que le courant dans l'entrée inverseuse est nul (amplificateur idéal), la loi des nœuds s'applique :

Le courant dans R1 : (V1 - V-) / R1

Le courant dans R3 : (V3 - V-) / R3

Ces courants doivent être égaux (car pas de courant dans l'entrée) :

(V1 - V-) / R1 = (V- - V3) / R3

En développant :

(V1 - V-) / R1 = (V- - V3) / R3

Multiplions par R1 R3 :

R3 (V1 - V-) = R1 (V- - V3)

R3 V1 - R3 V- = R1 V- - R1 V3

Regroupons les termes en V- :

R3 V1 + R1 V3 = R1 V- + R3 V- = V- (R1 + R3)

Donc :

V- = (R3 V1 + R1 V3) / (R1 + R3)

I.2. Exprimer V+ en fonction de V2, R2 et R4

Le point V+ est un diviseur de tension entre V2 et la masse via R2 et R4 :

V+ = tension au point entre R2 (connecté à V2) et R4 (connecté à la masse)

Par la loi du diviseur de tension :

V+ = (R4 / (R2 + R4)) × V2

I.3. Écrire la relation qui relie V+ et V- en régime linéaire

En régime linéaire, l'amplificateur opérationnel parfait impose :

V+ = V-

I.4. En déduire l'expression de V3

En égalant V+ et V- :

(R3 V1 + R1 V3) / (R1 + R3) = (R4 / (R2 + R4)) × V2

Multiplions par (R1 + R3) :

R3 V1 + R1 V3 = (R4 / (R2 + R4)) × V2 × (R1 + R3)

Isolons V3 :

R1 V3 = (R4 / (R2 + R4)) × V2 × (R1 + R3) - R3 V1

V3 = [ (R4 / (R2 + R4)) × (R1 + R3) / R1 ] × V2 - (R3 / R1) × V1

I.5. Pour R3 = 5 R1, déterminer le rapport R4/R2 pour obtenir V3 = 5 (V2 – V1)

On veut :

V3 = 5 (V2 - V1) = 5 V2 - 5 V1

Comparons avec l'expression précédente :

V3 = [ (R4 / (R2 + R4)) × (R1 + R3) / R1 ] × V2 - (R3 / R1) × V1

Avec R3 = 5 R1 :

V3 = [ (R4 / (R2 + R4)) × (R1 + 5 R1) / R1 ] × V2 - (5 R1 / R1) × V1

V3 = [ (R4 / (R2 + R4)) × 6 ] × V2 - 5 V1

Pour que le coefficient devant V2 soit 5 :

(R4 / (R2 + R4)) × 6 = 5

Donc :

R4 / (R2 + R4) = 5 / 6

Ce qui donne :

6 R4 = 5 R2 + 5 R4

6 R4 - 5 R4 = 5 R2

R4 = 5 R2

Réponse : Le rapport doit être R4 / R2 = 5.

Deuxième partie : Étude d'un comparateur (Fig. 2)

Cette partie porte sur un comparateur à hystérésis avec un amplificateur opérationnel et une diode, et demande d'analyser son fonctionnement, ses seuils, et la forme des signaux en sortie.

II.1. Mode de fonctionnement de l'amplificateur opérationnel et nom du circuit. Valeurs de Us

L'amplificateur opérationnel est utilisé en mode saturé, car il sert de comparateur. En effet, il bascule entre ses tensions de saturation ±Vsat (±15 V ici) selon la polarisation de ses entrées.

Ce circuit est un comparateur à hystérésis (ou comparateur à seuils multiples).

La tension de sortie Us varie donc entre :

Us = +Vsat = +15 V ou Us = -Vsat = -15 V

II.2. Exprimer V+ en fonction de R5, R6 et Us

Le point V+ est relié à la sortie Us via R5 et à la masse via R6, formant un diviseur de tension :

V+ = (R6 / (R5 + R6)) × Us

II.3. Condition de basculement et expression des seuils UH et UB en fonction de Vcc, R5 et R6

Le comparateur bascule lorsque la tension d'entrée Ue dépasse la tension de seuil V+.

Les seuils de basculement sont donc :

• Seuil haut (UH) quand Us = +Vcc :

UH = (R6 / (R5 + R6)) × Vcc

• Seuil bas (UB) quand Us = -Vcc :

UB = (R6 / (R5 + R6)) × (-Vcc) = -UH

II.4. Calcul de R6 pour R5 = 1 kΩ, UH = 3 V, UB = -3 V

On a :

UH = (R6 / (R5 + R6)) × Vcc = 3 V

Avec Vcc = 15 V, R5 = 1 kΩ :

3 = (R6 / (1000 + R6)) × 15

Divisons par 15 :

3 / 15 = R6 / (1000 + R6)

0,2 = R6 / (1000 + R6)

Multiplions :

0,2 × (1000 + R6) = R6

200 + 0,2 R6 = R6

200 = R6 - 0,2 R6 = 0,8 R6

R6 = 200 / 0,8 = 250 Ω

Réponse : R6 = 250 Ω

II.5. Tracer la caractéristique de transfert Us = f(Ue) pour Ue entre +5 V et -5 V

La caractéristique est une fonction en escalier avec hystérésis :

• Pour Ue > UH = 3 V, Us = +15 V
• Pour Ue < UB = -3 V, Us = -15 V
• Pour UB < Ue < UH, Us conserve sa dernière valeur (hystérésis)

Le graphe Us = f(Ue) est donc une fonction à seuils avec deux paliers ±15 V et une zone d'hystérésis entre -3 V et +3 V.

II.6. Tracer Us(t) pour un signal Ue(t) donné (figure 2')

Le signal Ue(t) varie entre +5 V et -5 V. En appliquant la caractéristique précédente :

• Quand Ue(t) dépasse 3 V, Us bascule à +15 V
• Quand Ue(t) descend en dessous de -3 V, Us bascule à -15 V
• Entre -3 V et 3 V, Us reste constant selon le dernier état

Le signal Us(t) est donc une forme d'onde carrée avec des transitions aux seuils ±3 V.

II.7. Rôle de la diode D et graphe de la tension U(t)

La diode D est parfaite et placée en sortie. Son rôle est de limiter ou redresser la tension U(t) selon sa polarisation.

Elle empêche la tension U(t) de devenir négative (par exemple), ou limite la tension à une certaine valeur. Le graphe de U(t) est donc la tension Us(t) limitée par la diode, typiquement une tension positive ou nulle.

Troisième partie : Étude d'un filtre actif (Fig. 3)

On étudie un filtre actif à amplificateur opérationnel en régime linéaire, avec une entrée sinusoïdale de pulsation ω, et on cherche la fonction de transfert, ses paramètres caractéristiques, et la réponse à un signal périodique.

III.1. Expression de la fonction de transfert en régime harmonique

La fonction de transfert H(jω) du filtre s'exprime en fonction de R8, R9, C et ω. En régime sinusoïdal, on utilise l'impédance du condensateur :

Z_C = 1 / (j ω C)

Le montage donne :

H(jω) = Vs / Ve = - (R9 / R8) × (1 / (1 + j ω R9 C))

Cette expression correspond à un filtre passe-bas avec un gain en basse fréquence de -R9/R8.

III.2. Mise sous forme standard :

La fonction de transfert peut s'écrire :

H(jω) = (1 + j ω Tm) / (1 + j ω T)

avec :

• T = R9 × C (constante de temps du filtre)
• Tm = (R8 × C) / (R9 + R8) ou selon le document (à expliciter précisément selon le schéma)

La fréquence de coupure f0 est :

f0 = 1 / (2 π T)

III.3. Calcul de Tm et f0 pour R8 = 4,7 kΩ, R9 = 10 kΩ, C = 1 μF

Calcul de T :

T = R9 × C = 10 000 × 1 × 10^-6 = 0,01 s

Calcul de f0 :

f0 = 1 / (2 π × 0,01) ≈ 15,9 Hz

Le calcul de Tm dépend de la formule exacte donnée dans le document, qui n'est pas explicitement fournie. En l'absence de précision, on ne peut pas calculer Tm.

III.4. Allure du diagramme de Bode et nature du filtre

Le diagramme de Bode montre :

• Gain constant à basse fréquence (plateau)
• Baisse du gain à -20 dB/décade au-delà de la fréquence de coupure f0

La phase passe de 0° à -90° autour de f0.

Nature du filtre : Il s'agit d'un filtre passe-bas actif.

III.5. Étude de la réponse à un signal périodique Ve(t)

III.5.1. Identification des termes et appareil de mesure

Le signal Ve(t) est décomposé en quatre termes harmoniques :

Ve(t) = V0 + V1 sin(2 π F t + φ1) + V2 sin(4 π F t + φ2) + V3 sin(6 π F t + φ3)

Les termes sont :

• V0 : composante continue
• V1, V2, V3 : amplitudes des harmoniques d'ordre 1, 2 et 3
• φ1, φ2, φ3 : phases associées

Pour mesurer V0, on utilise un voltmètre en mode continu (DC).

III.5.2. Expression de Vs(t) à la sortie du filtre

Chaque harmonique est atténué et déphasé par la fonction de transfert H(jω) à la fréquence correspondante ω = 2 π f :

Vs(t) = V0 × |H(0)| + Σ Vn × |H(j n ω)| × sin(2 π n F t + φn + arg(H(j n ω)))

où n = 1, 2, 3, ...

La sortie est donc la somme des composantes d'entrée filtrées en amplitude et en phase.

Justification : En régime linéaire, le filtre agit sur chaque composante harmonique indépendamment selon sa fonction de transfert.

Méthode : techniques récompensées et erreurs pénalisées

Ce sujet valorise :

• La rigueur dans l'application des lois fondamentales des circuits (loi des nœuds, diviseur de tension).
• L'utilisation correcte des hypothèses sur l'amplificateur opérationnel idéal (entrée sans courant, égalité des tensions d'entrée en régime linéaire).
• La capacité à isoler et exprimer les tensions en fonction des paramètres du circuit.
• La maîtrise des notions de comparateur à hystérésis, notamment la compréhension des seuils de basculement et de la caractéristique de transfert.
• L'analyse fréquentielle des filtres actifs, avec calcul des constantes de temps, fréquence de coupure, et interprétation des diagrammes de Bode.
• La décomposition harmonique des signaux et la compréhension de la réponse en fréquence du filtre.

Les erreurs les plus pénalisées sont :

• Confusion entre les tensions V+ et V- ou mauvaise application de la loi des nœuds.
• Omission de la condition V+ = V- en régime linéaire.
• Calculs incorrects des rapports de résistances ou des seuils de basculement.
• Absence de justification des résultats ou de mise en forme claire des réponses.
• Mauvaise interprétation des fonctions de transfert et de la réponse harmonique.