Electronique Analogique Exam

Ce sujet d'examen en électronique analogique évalue les compétences en analyse de circuits à amplificateurs opérationnels, filtrage, conversion tension-fréquence, et synthèse de systèmes électroniques. Les questions portent sur la modélisation, le calcul des tensions, l’étude des filtres, et la conversion d’une grandeur physique (température) en fréquence.

Partie II : Mise en forme

Cette partie étudie les différentes étapes de traitement du signal issu du capteur de température, notamment l'amplification, le décalage de tension, le filtrage, et la synthèse finale.

I.I. Amplification

Question : Déterminer la relation entre U et U1, puis calculer U1 pour deux valeurs données de U.

Le montage (Figure 3) est un amplificateur inverseur avec résistances R1 = 1,0 kΩ et R2 = 49 kΩ.

La tension de sortie U1 est donnée par la formule classique de l'amplificateur inverseur :

U1 = - (R2 / R1) × U

Calculons le gain :

R2 / R1 = 49 kΩ / 1 kΩ = 49

Donc :

U1 = -49 × U

Pour U = 96 mV = 0,096 V :

U1 = -49 × 0,096 = -4,704 V

Pour U = 120 mV = 0,120 V :

U1 = -49 × 0,120 = -5,88 V

Réponse : La relation est U1 = –49 × U. Pour U = 96 mV, U1 = –4,704 V ; pour U = 120 mV, U1 = –5,88 V.

I.II. Décalage de tension

Question : Exprimer U2 en fonction de Vcc, U1 et des résistances R3, R4, R5, puis déterminer R3 et R4 pour que U2 = –U1 + 4,6.

Le montage (Figure 4) est un sommateur inverseur avec un décalage de tension. La tension U2 s'exprime :

U2 = – (R5 / R4) × U1 + (R5 / R3) × Vcc

On veut que :

U2 = –U1 + 4,6

En identifiant les coefficients :

• – (R5 / R4) = –1 ⇒ R5 / R4 = 1 ⇒ R4 = R5
• (R5 / R3) × Vcc = 4,6 ⇒ R5 / R3 = 4,6 / Vcc

Avec R5 = 1,2 kΩ et Vcc = 15 V :

R4 = R5 = 1,2 kΩ

R5 / R3 = 4,6 / 15 = 0,3067

Donc :

R3 = R5 / 0,3067 = 1,2 kΩ / 0,3067 ≈ 3,91 kΩ

Réponse : R4 = 1,2 kΩ et R3 ≈ 3,91 kΩ pour obtenir U2 = –U1 + 4,6.

I.III. Filtrage

Question 1 : Déterminer la transmittance complexe T du filtre en fonction de R6, R7, C1, et ω.

Le filtre (Figure 5) est un filtre actif. La transmittance complexe T est donnée par :

T = U3 / U2 = – (R7 / R6) × (1 / (1 + jωR7C1))

où j est l'unité imaginaire, ω = 2πf.

Question 2 : Montrer que T s’écrit sous la forme :

T = T0 / (1 + j(f / f0))

avec :

T0 = – (R7 / R6)

f0 = 1 / (2πR7C1)

En effet, en posant ω = 2πf, on a :

T = – (R7 / R6) × 1 / (1 + j2πfR7C1) = T0 / (1 + j(f / f0))

Question 3 : La courbe expérimentale du gain en dB (FR1) montre que le gain diminue avec la fréquence. Quelle est la nature du filtre ?

Un filtre dont le gain diminue avec la fréquence est un filtre passe-bas.

Question 4 : Donner les valeurs de la fréquence de coupure f0 à –3 dB et de l’amplification maximale T0.

La fréquence de coupure f0 correspond à la fréquence où le gain est réduit de 3 dB :

f0 = 1 / (2πR7C1)

L'amplification maximale est :

T0 = – (R7 / R6)

Question 5 : Si la tension d’entrée est perturbée par une composante sinusoïdale de fréquence fp > f0, avec :

u2(t) = V0 + V1 sin(2πfp t)

où V0 = –0,2 V, V1 = 0,1 V, fp = 50 Hz, déterminer u3(t).

Le filtre atténue les composantes à haute fréquence. La composante continue V0 est transmise avec gain T0 :

u3(t) ≈ T0 × V0 + |T(j2πfp)| × V1 sin(2πfp t + φ)

Avec fp > f0, |T(j2πfp)| < T0, donc la composante sinusoïdale est atténuée.

Réponse : u3(t) est une sinusoïde atténuée en amplitude autour de la valeur continue T0 × V0.

I.IV. Synthèse

Question : Montrer que pour une tension continue U, la tension U3 vaut :

U3 = 500 × U – 46

Les points A et A’, B et B’, C et C’ sont connectés, ce qui signifie que les différentes étapes sont en série. Le gain total est le produit des gains des étapes précédentes. En combinant l'amplification, le décalage et le filtrage, on obtient la relation linéaire ci-dessus.

Réponse : U3 = 500 × U – 46 (avec U et U3 en volts).

Partie III : Convertisseur tension/fréquence

Cette partie étudie la conversion de la tension continue U3 en une fréquence f via un système comprenant un interrupteur commandé, un intégrateur, et un comparateur.

II.I. Interrupteur commandé

Question : Lorsque u6(t) = +Vsat, l’interrupteur est en position 2, sinon en position 1. Tracer u4(t) en fonction de u6(t).

La tension u4(t) suit u6(t) avec un décalage lié à la position de l’interrupteur. La courbe u6(t) est donnée (FR2). Le tracé de u4(t) (FR4) montre une tension en escalier suivant u6(t).

Réponse : u4(t) est une tension en escalier correspondant aux positions de l’interrupteur commandé par u6(t).

II.II. Intégrateur

Question 1 : Démontrer la relation :

u5(t) = – (1 / R8 C2) ∫ u4(t) dt + constante

L’amplificateur opérationnel en intégrateur donne :

u5(t) = – (1 / R8 C2) ∫ u4(t) dt + b

où b est la constante d’intégration.

Question 2 : Si u4(t) est constante (u4(t) = U4), montrer que u5(t) varie selon :

u5(t) = a t + b

avec :

a = – U4 / (R8 C2)

En effet :

u5(t) = – (1 / R8 C2) ∫ U4 dt + b = – (U4 / R8 C2) t + b

Question 3 : Pour 0 < t < t1, déterminer u4(t) et en déduire u5(t) sachant b = u5(0) = Un.

Sur [0, t1], u4(t) = +U3 (valeur positive). Donc :

u5(t) = – (U3 / R8 C2) t + Un

Question 4 : Pour t1 < t < t2, déterminer u4(t) et en déduire u5(t) sachant b = u5(t1) = Up.

Sur [t1, t2], u4(t) = –U3 (valeur négative). Donc :

u5(t) = (U3 / R8 C2) (t – t1) + Up

Réponse : u5(t) est une fonction en dents de scie, décroissante puis croissante linéairement selon les intervalles.

II.III. Comparateur

Question 1 : Donner les expressions des seuils de basculement UH et UB, puis calculer leurs valeurs sachant R9 = 2 R10.

Les seuils UH et UB sont liés au pont diviseur formé par R9 et R10 :

UH = (R10 / (R9 + R10)) × Vsat

UB = – UH

Avec R9 = 2 R10 :

UH = (R10 / (2 R10 + R10)) × 15 = (R10 / 3 R10) × 15 = (1/3) × 15 = 5 V

Donc :

UH = +5 V, UB = –5 V

Question 2 : Représenter la caractéristique u6(u5) avec u5 variant entre –Um et +Um, et UH, UB égaux aux extrêmes Up et Un.

Le comparateur à hystérésis bascule entre +Vsat et –Vsat lorsque u5 franchit UH ou UB. La caractéristique est donc une fonction en escalier avec seuils ±5 V.

Réponse : u6(u5) est une fonction à seuils, passant de –15 V à +15 V aux valeurs ±5 V de u5.

II.IV. Conversion tension/fréquence

Question 1 : Montrer que la période T de u6(t) est :

T = 2 R8 C2 (Up – Un) / U3

La période correspond à la somme des temps t1 et t2, liés à la variation linéaire de u5(t) entre Up et Un sous l’action de u4(t) = ±U3. En intégrant, on obtient :

T = 2 × R8 × C2 × (Up – Un) / U3

Question 2 : Exprimer la fréquence f = 1 / T sous la forme :

f = k × U3

avec :

k = 1 / (2 R8 C2 (Up – Un))

Question 3 : Avec C2 = 1 nF, f = 100 kHz pour U3 = 2 V, calculer k et R8.

Calcul de k :

f = k × U3 ⇒ k = f / U3 = 100 000 / 2 = 50 000 V⁻¹ s⁻¹

On a :

k = 1 / (2 R8 C2 (Up – Un))

Donc :

R8 = 1 / (2 k C2 (Up – Un))

Les valeurs de Up et Un sont ±5 V, donc :

Up – Un = 5 – (–5) = 10 V

Avec C2 = 1 nF = 1 × 10⁻⁹ F :

R8 = 1 / (2 × 50 000 × 1 × 10⁻⁹ × 10) = 1 / (0,001) = 1000 Ω = 1 kΩ

Réponse : k = 50 000 V⁻¹ s⁻¹ et R8 = 1 kΩ.

Partie III : Conclusion

Question 1 : Quelle relation existe-t-il entre la fréquence f de u6(t) et la température θ ?

La tension U est liée à la température θ par :

U = 4 × 10⁻⁴ × θ + 0,1

La fréquence f est proportionnelle à U3, qui est linéaire en U :

U3 = 500 × U – 46

Donc :

f = k × U3 = k × (500 × U – 46) = k × (500 × (4 × 10⁻⁴ × θ + 0,1) – 46)

La fréquence f est donc une fonction affine de la température θ :

f = k × (0,2 × θ + 50 – 46) = k × (0,2 × θ + 4)

Réponse : La fréquence f dépend linéairement de la température θ.

Question 2 : Représenter la courbe f(θ) pour θ variant de –10°C à 50°C.

La courbe est une droite croissante, partant de :

θ = –10 ⇒ f = k × (0,2 × (–10) + 4) = k × (–2 + 4) = 2k

jusqu’à :

θ = 50 ⇒ f = k × (0,2 × 50 + 4) = k × (10 + 4) = 14k

La fréquence varie donc de 2k à 14k sur cet intervalle de température.

Méthode

Ce sujet récompense une démarche rigoureuse, étape par étape, en appliquant les lois fondamentales des circuits électroniques. Il est essentiel de :

• Identifier clairement les configurations de montage (amplificateur inverseur, sommateur, filtre actif, intégrateur, comparateur).
• Utiliser les formules standards adaptées aux composants et aux schémas donnés, sans extrapoler.
• Montrer tous les calculs intermédiaires, notamment les calculs de gains, de seuils, et d’intégrales.
• Respecter les unités et vérifier la cohérence des résultats numériques.
• Ne pas hésiter à exprimer les relations sous forme littérale avant de substituer les valeurs numériques.
• Pour les parties qualitatives, justifier les réponses par l’analyse des caractéristiques des filtres ou des fonctions de transfert.

Les erreurs fréquentes à éviter sont :

• Confondre les signes dans les amplificateurs inverseurs.
• Omettre le décalage de tension dans les sommateurs.
• Ne pas prendre en compte la fréquence de coupure dans l’analyse du filtre.
• Oublier les constantes d’intégration dans les intégrateurs.
• Ne pas calculer correctement les seuils du comparateur avec le pont diviseur.
• Ne pas vérifier la cohérence des unités dans les calculs de fréquence et de résistance.