Devoir Surveillé de Mathématiques n° 9

Ce devoir surveillé de mathématiques en PCSI évalue des compétences en géométrie dans l’espace, en algèbre linéaire, en analyse des suites, ainsi qu’en équations aux dérivées partielles. Il teste la capacité à raisonner rigoureusement, à manipuler des systèmes d’équations, à étudier des transformations affines et à résoudre des problèmes d’analyse fonctionnelle.

Exercice 1

1. On demande de montrer qu’il existe une unique droite D dirigée par un vecteur donné et rencontrant deux droites D1 et D2, puis de donner un système d’équations cartésiennes de D.

Soit M0 = (x0, y0, z0) un point de ℝ³. La droite D, dirigée par le vecteur u = (1, 2, 3), passant par M0, admet pour équations paramétriques :

x = x0 + λ
y = y0 + 2λ
z = z0 + 3λ

Pour que D rencontre D1, définie par x = 0, y variable, z = 1, il faut qu’il existe λ tel que :

x0 + λ = 0
z0 + 3λ = 1

En éliminant λ, on obtient :

z0 = 3x0 + 1

De même, pour que D rencontre D2, définie par x = 1, y = 0, z variable, il faut :

x0 + λ = 1
y0 + 2λ = 0

En éliminant λ, on obtient :

y0 = 2x0 − 2

Le système formé par ces deux équations caractérise l’ensemble E des points M0 tels que la droite dirigée par u passant par M0 rencontre D1 et D2. Cet ensemble E est lui-même une droite de direction u, donc la droite D cherchée. Ses équations cartésiennes sont :

y = 2x − 2
z = 3x + 1

Réponse : La droite D est unique, dirigée par u = (1, 2, 3), et admet pour équations cartésiennes y = 2x − 2 et z = 3x + 1.

2. On considère trois plans affines P1, P2, P3 donnés par :

P1 : x − y + 2z = a
P2 : 2x + y − z = b
P3 : x + 5y − 8z = c

On demande la condition sur a, b, c pour que l’intersection des trois plans soit une droite affine, puis un vecteur directeur de cette droite.

En appliquant la méthode du pivot, on réduit le système :

x − y + 2z = a
3y − 5z = b − 2a
0 = 3a − 2b + c

Le système est compatible si et seulement si :

3a − 2b + c = 0

Dans ce cas, l’intersection est une droite affine D d’équations :

x − y + 2z = a
3y − 5z = b − 2a

La direction de D ne dépend pas de a, b, c, elle est donnée par la solution du système homogène :

x − y + 2z = 0
3y − 5z = 0

Résolvons :

• De la deuxième équation : 3y = 5z ⇒ y = (5/3)z
• Dans la première : x − (5/3)z + 2z = 0 ⇒ x + (1/3)z = 0 ⇒ x = −(1/3)z

Choisissons z = 3 pour éviter les fractions :

x = −1, y = 5, z = 3

Un vecteur directeur est donc :

u = (−1, 5, 3)

Réponse : La condition est 3a − 2b + c = 0. Dans ce cas, l’intersection est une droite affine de direction u = (−1, 5, 3).

Exercice 2

On considère une application affine f dans un espace euclidien orienté E de dimension 3, donnée par :

x' = 2x + y + 2z − 9
y' = −2x + 2y + z − 3
z' = −x − 2y + 2z + 2

1. Montrer que f admet un unique point invariant Ω et le préciser.

Le point invariant Ω = (x, y, z) vérifie :

x = 2x + y + 2z − 9
y = −2x + 2y + z − 3
z = −x − 2y + 2z + 2

Réécrivons :

0 = x − (2x + y + 2z) + 9 = −x − y − 2z + 9
0 = y − (−2x + 2y + z) + 3 = 2x − y − z + 3
0 = z − (−x − 2y + 2z) − 2 = x + 2y − z − 2

Le système linéaire est :

−x − y − 2z = −9
2x − y − z = −3
x + 2y − z = 2

Résolvons :

• De la première : x + y + 2z = 9
• Du système, on trouve Ω = (1, 2, 3)

Réponse : Le point invariant unique est Ω = (1, 2, 3).

2. On note M la matrice de la partie linéaire de f dans la base canonique :

M = |  2  1  2 |
    | -2  2  1 |
    | -1 -2  2 |

Montrer que M appartient à SO(3) à une constante multiplicative λ près, et en déduire que f est une similitude directe de rapport λ.

Calculons :

• Produit scalaire entre colonnes distinctes : toutes nulles (orthogonalité)
• Norme au carré de chaque colonne : 9
• Donc A = (1/3) M est orthogonale
• Déterminant de A : +1
• Donc λ = 3

Réponse : La matrice M est égale à 3 fois une matrice orthogonale de déterminant +1, donc f est une similitude directe de rapport 3.

3. Montrer que f se décompose en f = h ◦ r = r ◦ h, où h est une homothétie de centre Ω et de rapport λ, et r une rotation affine dont on précisera l’axe et l’angle.

Soit h l’homothétie de centre Ω et de rapport 3, et r = h⁻¹ ◦ f. Les expressions analytiques de h⁻¹ sont :

x1 = (x + 2)/3
y1 = (y + 3)/3
z1 = (z − 2)/3

Par composition, on obtient :

x' =  (2x + y + 2z − 7)/3
y' = (−2x + 2y + z + 1)/3
z' = (−x − 2y + 2z + 8)/3

La partie linéaire de r est la matrice A = (1/3)M ∈ SO(3), donc r est un déplacement (isométrie directe). Comme r fixe Ω, c’est une rotation.

Pour trouver l’axe, on cherche les vecteurs invariants par A, c’est-à-dire u ≠ 0 tel que A u = u :

−x + y + 2z = 0
−2x − y + z = 0
−x − 2y − z = 0

On trouve la solution x = −y = z, donc un vecteur directeur de l’axe est :

u = (1, −1, 1)

Le plan orthogonal à l’axe est P : x − y + z = 0.

En choisissant un vecteur v dans P, on calcule :

• cos θ = (v, A v) / ||v||² = 1/2
• determinant < 0 ⇒ angle θ = −π/3

Réponse : La similitude f se décompose en une homothétie h de centre Ω = (1, 2, 3) et de rapport 3, suivie d’une rotation r d’axe la droite passant par Ω de direction u = (1, −1, 1) et d’angle −π/3.

Exercice 3

On définit deux suites (u_n) et (v_n) par u_0 = a, v_0 = b avec 0 < a < b, et :

u_{n+1} = sqrt((u_n + v_n)/2)
v_{n+1} = sqrt(u_{n+1} v_n)

1. Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes, en montrant d’abord que v_n − u_n > 0 pour tout n.

Initialisation : v_0 − u_0 = b − a > 0.

Supposons v_n − u_n > 0. Alors :

v_{n+1} − u_{n+1} = sqrt(u_{n+1} v_n) − u_{n+1} = u_{n+1} (sqrt(v_n / u_{n+1}) − 1)

Or, on montre que v_n > u_{n+1}, donc sqrt(v_n / u_{n+1}) > 1, donc v_{n+1} − u_{n+1} > 0.

De plus :

u_{n+1} − u_n = (v_n − u_n)/2 > 0
v_{n+1} − v_n < 0

Donc (u_n) est croissante, (v_n) décroissante, et la différence v_n − u_n tend vers 0. Les suites sont adjacentes.

Réponse : Les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes, avec v_n − u_n > 0 pour tout n.

2. Posons θ_n = u_n / v_n. Établir une relation entre θ_{n+1} et θ_n.

On a :

θ_{n+1} = u_{n+1} / v_{n+1} = sqrt((u_n + v_n)/2) / sqrt(u_{n+1} v_n) = sqrt((u_n + v_n) / (2 u_{n+1} v_n))

En simplifiant, on obtient :

θ_{n+1} = (1 + θ_n) / 2

Réponse : La relation est θ_{n+1} = (1 + θ_n) / 2.

3. En déduire que si a = b cos ϕ avec ϕ ∈ (0, π/2), alors θ_n = cos(ϕ / 2^n).

Initialement, θ_0 = a / b = cos ϕ. La relation θ_{n+1} = (1 + θ_n)/2 correspond à la formule de demi-angle :

cos²(x/2) = (1 + cos x)/2

Par récurrence, on montre que :

θ_n = cos(ϕ / 2^n)

Réponse : θ_n = cos(ϕ / 2^n) pour tout n.

4. Montrer que pour n ≥ 1 :

v_n = b · ∏_{k=1}^n cos(ϕ / 2^k) = b · (sin ϕ) / (2^n sin(ϕ / 2^n))

On a :

v_{n+1} = v_n · cos(ϕ / 2^{n+1})

Donc :

v_n = b · ∏_{k=1}^n cos(ϕ / 2^k)

Utilisant l’identité trigonométrique :

∏_{k=1}^n cos(ϕ / 2^k) = (sin ϕ) / (2^n sin(ϕ / 2^n))

Réponse : On a bien l’expression donnée pour v_n.

5. Déterminer la limite commune des suites (u_n) et (v_n) en fonction de b et ϕ.

Comme sin x ~ x près de 0, on a :

lim_{n→∞} (sin(ϕ / 2^n)) / (ϕ / 2^n) = 1

Donc :

lim_{n→∞} v_n = b · (sin ϕ) / ϕ

Les suites (u_n) et (v_n) étant adjacentes, elles ont la même limite.

Réponse : La limite commune est b · (sin ϕ) / ϕ.

Exercice 4

Soit E l’espace vectoriel des fonctions C∞ de ℝ² dans ℝ. Soit a ∈ ℝ fixé. On définit l’endomorphisme Da par :

Da(f) = ∂f/∂x + a ∂f/∂y

1. En utilisant le changement de variables u = x, v = y − a x, exprimer ∂f/∂x et ∂f/∂y en fonction de ∂F/∂u et ∂F/∂v, où f(x, y) = F(u, v).

On a :

∂f/∂x = ∂F/∂u · ∂u/∂x + ∂F/∂v · ∂v/∂x = ∂F/∂u − a ∂F/∂v
∂f/∂y = ∂F/∂u · ∂u/∂y + ∂F/∂v · ∂v/∂y = ∂F/∂v

Réponse :

∂f/∂x = ∂F/∂u − a ∂F/∂v
∂f/∂y = ∂F/∂v

2.a. Déterminer le noyau de Da.

On a :

Da(f) = ∂f/∂x + a ∂f/∂y = (∂F/∂u − a ∂F/∂v) + a ∂F/∂v = ∂F/∂u

Donc Da(f) = 0 ⇔ ∂F/∂u = 0 ⇔ F dépend uniquement de v.

Réponse : Le noyau de Da est l’ensemble des fonctions f telles que f(x, y) = ϕ(y − a x) avec ϕ ∈ C∞(ℝ).

2.b. Résoudre l’équation :

Da(f) = x + y

Soit F(u, v) = f(x, y) avec u = x, v = y − a x. L’équation devient :

∂F/∂u = u + a v + v

En intégrant par rapport à u :

F(u, v) = (1 + a) u^2 / 2 + v u + ϕ(v)

Donc :

f(x, y) = (1 + a) x^2 / 2 + (y − a x) x + ϕ(y − a x)

Réponse : Une solution générale est f(x, y) = (1 + a) x^2 / 2 + x (y − a x) + ϕ(y − a x), où ϕ est une fonction C∞ arbitraire.

2.c. Déterminer les fonctions f telles que :

Da(f) = λ f

Posons G(u, v) = e^{−λ u} F(u, v). Alors :

∂G/∂u = e^{−λ u} (∂F/∂u − λ F) = 0

Donc G(u, v) = ψ(v), soit :

F(u, v) = ψ(v) e^{λ u}

Donc :

f(x, y) = ψ(y − a x) e^{λ x}

Réponse : Les fonctions vérifiant Da(f) = λ f sont de la forme f(x, y) = ψ(y − a x) e^{λ x} avec ψ ∈ C∞(ℝ).

3. Exprimer D²_a(f) = (Da ◦ Da)(f).

On a :

D²_a(f) = ∂²f/∂x² + 2a ∂²f/∂x∂y + a² ∂²f/∂y²

Réponse : D²_a(f) = ∂²f/∂x² + 2a ∂²f/∂x∂y + a² ∂²f/∂y².

4.a. Considérant a = 1, résoudre l’équation :

∂²f/∂x² + 2 ∂²f/∂x∂y + ∂²f/∂y² = 2(x − y)

Avec le changement de variables u = x, v = y − x, on a :

D²_1(f) = ∂²F/∂u²

L’équation devient :

∂²F/∂u² = −2 v

Intégrons deux fois par rapport à u :

∂F/∂u = −2 u v + α(v)
F(u, v) = −u² v + u α(v) + β(v)

Donc :

f(x, y) = −x² (y − x) + x α(y − x) + β(y − x)

Réponse : La solution générale est f(x, y) = x³ − x² y + x α(y − x) + β(y − x), où α, β ∈ C∞(ℝ).

Le noyau de D²_1 est l’ensemble des fonctions de la forme x α(y − x) + β(y − x).

4.b. Soient ϕ, ψ deux fonctions données de ℝ dans ℝ. Montrer qu’il existe une unique solution f de (E) telle que :

f(x, 0) = ϕ(x)
∂f/∂y (x, 0) = ψ(x)

On écrit f sous la forme :

f(x, y) = x³ − x² y + x α(y − x) + β(y − x)

Aux conditions initiales :

f(x, 0) = x³ + x α(−x) + β(−x) = ϕ(x)
∂f/∂y (x, 0) = −x² + x α'(−x) + β'(−x) = ψ(x)

En posant t = −x, on obtient le système :

x α(t) + β(t) = ϕ(−t) − (−t)³ = ϕ(−t) + t³
x α'(t) + β'(t) = ψ(−t) + t²

En dérivant la première équation et en combinant avec la deuxième, on trouve :

α(t) = ϕ'(−t) + ψ(−t) − 2 t²
β(t) = −t³ + ϕ(−t) + t ϕ'(−t) + t ψ(−t)

Ce système admet une unique solution pour α et β, donc une unique solution f.

Réponse : Il existe une unique solution f de (E) satisfaisant les conditions initiales, donnée explicitement par :

f(x, y) = x y² − y³ + y ϕ'(x − y) + y ψ(x − y) + ϕ(x − y)

Méthode

Ce devoir récompense une démarche rigoureuse et méthodique. Il faut :

• Bien comprendre la géométrie des droites et plans dans ℝ³, notamment en traduisant les conditions d’intersection en systèmes d’équations.
• Maîtriser les transformations affines, en particulier la décomposition d’une similitude en homothétie et rotation, et l’utilisation des matrices orthogonales.
• Étudier les suites par récurrence, en utilisant des inégalités et des identités trigonométriques pour établir des relations précises.
• Utiliser efficacement les changements de variables pour simplifier les équations aux dérivées partielles et résoudre les problèmes associés.
• Ne pas oublier de vérifier les conditions d’existence et d’unicité des solutions, notamment dans les problèmes aux conditions initiales.

Les erreurs pénalisées sont l’absence de justification, le manque de rigueur dans le calcul des systèmes, l’oubli des conditions sur les paramètres, et la confusion dans les notations ou dans les étapes de raisonnement.