Devoir Surveillé de Mathématiques n° 8

Ce devoir surveillé de mathématiques porte sur la résolution d’une équation différentielle, l’étude d’une sous-algèbre de matrices, et l’analyse d’endomorphismes dans un espace euclidien de dimension trois. Il évalue les compétences en résolution d’équations différentielles, en algèbre linéaire, et en géométrie vectorielle.

EXERCICE

On considère l’équation différentielle (E) :

(x² + 1) y'' − 2y = 0.

Les questions portent sur la recherche de solutions polynomiales, la transformation de l’équation par un changement de variable, et la détermination de toutes les solutions sur ℝ.

a) Montrer qu’une solution polynomiale non nulle est de degré 2 et en déterminer une.

Supposons qu’il existe une solution polynomiale non nulle y₀ de degré n :

y₀ = aₙ xⁿ + ... + a₁ x + a₀ avec aₙ ≠ 0.

Alors y₀'' = n(n−1) aₙ xⁿ⁻² + termes de degré inférieur.

En injectant dans (E) :

(x² + 1) y₀'' − 2 y₀ = 0.

En identifiant les termes de degré n, on obtient :

n(n−1) aₙ − 2 aₙ = 0 ⇔ n² − n − 2 = 0.

Les racines sont n = −1 (impossible pour un degré) ou n = 2.

Donc une solution polynomiale non nulle est nécessairement de degré 2.

Posons y₀ = a x² + b x + c. Calculons y₀'' = 2a.

Injectons dans (E) :

(x² + 1) 2a − 2 (a x² + b x + c) = 0 ⇔ 2a x² + 2a − 2a x² − 2b x − 2c = 0.

Ce qui donne :

• Coefficient de x² : 2a − 2a = 0
• Coefficient de x : −2b = 0 ⇒ b = 0
• Constante : 2a − 2c = 0 ⇒ a = c

Donc y₀(x) = a (x² + 1) avec a ∈ ℝ arbitraire.

Une solution polynomiale non nulle est y₀(x) = x² + 1.

b) Montrer que toute fonction y ∈ C²(ℝ) peut s’écrire y = y₀ z avec z ∈ C²(ℝ).

La fonction y₀(x) = x² + 1 ne s’annule pas sur ℝ, donc on peut définir :

z(x) = y(x) / y₀(x).

Comme y et y₀ sont de classe C² et y₀ ne s’annule pas, z est aussi de classe C².

Donc toute fonction y ∈ C²(ℝ) s’écrit sous la forme y = y₀ z avec z ∈ C²(ℝ).

c) Montrer que y solution de (E) ⇔ Z = z' solution d’une équation (E’) à écrire.

Posons y = y₀ z. Calculons :

y' = y₀' z + y₀ z',

y'' = y₀'' z + 2 y₀' z' + y₀ z''.

Injectons dans (E) :

(x² + 1) y'' − 2 y = (x² + 1)(y₀'' z + 2 y₀' z' + y₀ z'') − 2 y₀ z = 0.

Or y₀ est solution de (E), donc (x² + 1) y₀'' − 2 y₀ = 0, ce qui annule les termes en z :

(x² + 1)(2 y₀' z' + y₀ z'') = 0.

Divisons par y₀ (non nul) :

(x² + 1) z'' + 2 (x² + 1) (y₀'/y₀) z' = 0.

Calculons y₀'/y₀ :

y₀ = x² + 1 ⇒ y₀' = 2x ⇒ y₀'/y₀ = 2x / (x² + 1).

Donc :

(x² + 1) z'' + 4 x z' = 0.

Posons Z = z'. Alors :

(x² + 1) Z' + 4 x Z = 0.

L’équation (E’) satisfaite par Z est :

(x² + 1) Z' + 4 x Z = 0.

d) En déduire toutes les solutions de (E) sur ℝ.

Résolvons (E’) :

(x² + 1) Z' + 4 x Z = 0.

Si Z ≠ 0, on peut écrire :

Z'/Z = −4 x / (x² + 1).

Intégrons :

∫ (Z'/Z) dx = −4 ∫ x / (x² + 1) dx.

Le membre de droite s’intègre en posant u = x² + 1 :

∫ x / (x² + 1) dx = (1/2) ln(x² + 1) + C.

Donc :

ln |Z| = −2 ln(x² + 1) + C' ⇒ |Z| = C / (x² + 1)² avec C = e^{C'}.

Donc :

Z = z' = C / (x² + 1)².

Intégrons z' pour obtenir z :

z(x) = C ∫ dx / (x² + 1)² + K.

Utilisons la substitution u = arctan x, alors :

dx = (1 + x²) du,

donc :

∫ dx / (x² + 1)² = ∫ (1 + x²) du / (x² + 1)² = ∫ du / (x² + 1) = ∫ cos² u du.

Or cos² u = (1 + cos 2u)/2, donc :

∫ cos² u du = (1/2) ∫ (1 + cos 2u) du = (1/2)(u + (1/2) sin 2u) + C.

Revenant à x :

z(x) = C [ (1/2) arctan x + (1/4) sin(2 arctan x) ] + K.

On utilise la formule trigonométrique :

sin(2 arctan x) = 2 x / (1 + x²).

Donc :

z(x) = C [ (1/2) arctan x + (1/2) x / (1 + x²) ] + K.

Enfin, la solution générale de (E) est :

y = y₀ z = (x² + 1) z(x) = A (x² + 1) + B (x² + 1) [ arctan x + x / (1 + x²) ] avec A, B ∈ ℝ.

En simplifiant, on peut écrire :

y(x) = A (x² + 1) + B (x² + 1) arctan x, avec A, B ∈ ℝ.

Le terme en x/(1 + x²) est absorbé dans la constante B car il est une fonction dérivée d’une fonction élémentaire liée à arctan x.

PROBLÈME 1

On considère l’ensemble E des matrices M(a,b) ∈ M₃(ℂ) de la forme :

M(a,b) = 
⎛ a   b   b ⎞
⎜ b   a   b ⎟
⎝ b   b   a ⎠
avec (a,b) ∈ ℂ².

a) Calculer le produit M(a,b) · M(a',b') et montrer que E est une sous-algèbre commutative de M₃(ℂ). Préciser la dimension et une base de E.

Calcul du produit :

M(a,b) · M(a',b') = M(aa' + 2bb', ab' + ba' + bb').

En effet, le produit se calcule en multipliant chaque ligne par chaque colonne et en regroupant les termes :

• Coefficient diagonal : a a' + b b' + b b' = a a' + 2 b b'
• Coefficient hors diagonale : a b' + b a' + b b'

On vérifie que E est stable par addition, multiplication scalaire et produit matriciel.

La matrice identité I = M(1,0) appartient à E.

Le produit est commutatif car :

M(a,b) · M(a',b') = M(a',b') · M(a,b).

Une base de E est donnée par :

• M(1,0) = I
• M(0,1) = matrice avec 0 sur la diagonale et 1 partout ailleurs.

La dimension de E est donc 2.

E est une sous-algèbre commutative de dimension 2 de M₃(ℂ), engendrée par M(1,0) et M(0,1).

b) Calculer le déterminant de M(a,b) sous forme factorisée.

Par opérations élémentaires sur les colonnes et lignes, on montre que :

det M(a,b) = (a + 2b) (a − b)².

Le déterminant factorisé est :

det M(a,b) = (a + 2b)(a − b)².

c) Montrer que si M(a,b) est inversible, alors son inverse appartient à E et le calculer.

La matrice M(a,b) est inversible si et seulement si det M(a,b) ≠ 0, c’est-à-dire :

(a + 2b)(a − b)² ≠ 0 ⇔ a ≠ b et a ≠ −2b.

On cherche (a₀,b₀) tels que :

M(a,b) · M(a₀,b₀) = I = M(1,0).

Ce qui donne le système :

• a a₀ + 2 b b₀ = 1
• a b₀ + b a₀ + b b₀ = 0

Le déterminant du système est D = (a + 2b)(a − b) ≠ 0.

Par Cramer :

• a₀ = (a + b) / D
• b₀ = −b / D

Donc :

M(a,b)⁻¹ = M( (a + b)/[(a + 2b)(a − b)], −b/[(a + 2b)(a − b)] ).

d) Discuter et résoudre dans ℂ³ le système :

{ a x + y + z = a² − 3
  x + a y + z = 2a − 4
  x + y + a z = −2
}

La matrice du système est M(a,1) :

determinant = (a + 2)(a − 1)².

Discussion :

• Si a = 1, le système se réduit à trois fois la même équation x + y + z = −2, donc solutions infinies formant un plan affine.
• Si a = −2, le système est incompatible (contradiction 0 = −9).
• Sinon, le système est de Cramer et admet une solution unique.

Pour a ≠ 1, −2, la solution s’écrit :

(x, y, z) = M(a,1)⁻¹ · (a² − 3, 2a − 4, −2)ᵗ.

En calculant, on obtient :

• x = (a − 1)(a + 3) / (a + 2)
• y = (a² − 1) / (a + 2)
• z = (a − 1)(3 − a) / (a + 2)

Solution unique pour a ≠ 1, −2 donnée par :

x = ((a − 1)(a + 3)) / (a + 2),
y = (a² − 1) / (a + 2),
z = ((a − 1)(3 − a)) / (a + 2).

e) Pour A = M(1, −1), montrer que ∀ n ∈ ℕ, il existe uₙ, vₙ ∈ ℤ tels que :

An = uₙ A + vₙ I, avec A⁰ = I.

On vérifie :

• A⁰ = I = 0·A + 1·I ⇒ (u₀, v₀) = (0,1)
• A¹ = A = 1·A + 0·I ⇒ (u₁, v₁) = (1,0)
• A² = A · A = A + 2 I ⇒ (u₂, v₂) = (1,2)

Supposons vrai au rang n−1 :

An−1 = uₙ₋₁ A + vₙ₋₁ I.

Alors :

An = An−1 A = uₙ₋₁ A² + vₙ₋₁ A = uₙ₋₁ (A + 2 I) + vₙ₋₁ A = (uₙ₋₁ + vₙ₋₁) A + 2 uₙ₋₁ I.

On obtient les relations de récurrence :

uₙ = uₙ₋₁ + vₙ₋₁,
vₙ = 2 uₙ₋₁.

En combinant :

uₙ₊₂ − uₙ₊₁ − 2 uₙ = 0.

L’équation caractéristique est r² − r − 2 = 0, racines r = 2 et r = −1.

La solution générale est :

uₙ = λ (−1)ⁿ + μ 2ⁿ.

Conditions initiales :

• u₀ = λ + μ = 0
• u₁ = −λ + 2 μ = 1

En résolvant :

λ = −1/3, μ = 1/3.

Donc :

uₙ = (1/3)(2ⁿ − (−1)ⁿ),

et

vₙ = 2 uₙ₋₁ = (2/3)(2ⁿ⁻¹ − (−1)ⁿ⁻¹) = (1/3)(2ⁿ + (−1)ⁿ).

Enfin :

An = uₙ A + vₙ I = M(uₙ + vₙ, uₙ) avec :

uₙ = (1/3)(2ⁿ − (−1)ⁿ),
vₙ = (1/3)(2ⁿ + (−1)ⁿ).

PROBLÈME 2

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, muni de la base orthonormée directe B = (i, j, k).

Soit n = a i + b j + c k un vecteur unitaire (a² + b² + c² = 1), et ∆ la droite vectorielle engendrée par n.

On note Π le plan vectoriel orthogonal à ∆.

1. Projecteurs orthogonaux p sur ∆ et q sur Π.

a) Montrer que ∀ v ∈ E, p(v) = (v · n) n.

Par définition du projecteur orthogonal sur la droite ∆, p(v) est la projection de v sur n :

p(v) = (v · n) n.

b) Déterminer les matrices P et Q des endomorphismes p et q dans la base B.

La matrice de p est :

P = 
⎛ a²    a b    a c ⎞
⎜ a b   b²    b c ⎟
⎝ a c   b c   c² ⎠

Le projecteur q = id_E − p a pour matrice :

Q = I₃ − P =
⎛ 1−a²   −a b   −a c ⎞
⎜ −a b  1−b²  −b c ⎟
⎝ −a c  −b c  1−c² ⎠

2. Étude de l’endomorphisme ν défini par ν(v) = n ∧ v.

a) Montrer que ν est un endomorphisme de E, déterminer Ker(ν) et Im(ν).

Le produit vectoriel est bilinéaire, donc ν est linéaire.

Ker(ν) = { v ∈ E | n ∧ v = 0 } = vecteur colinéaire à n.

Donc :

Ker(ν) = ∆ = ℝ n.

Par la formule du rang, dim Im(ν) = 3 − 1 = 2.

De plus, Im(ν) ⊂ Π car n ∧ v est orthogonal à n.

Im(ν) = Π.

b) Construire la matrice N de ν dans la base B.

La matrice antisymétrique associée au produit vectoriel par n est :

N = 
⎛  0   −c    b ⎞
⎜  c    0   −a ⎟
⎝ −b    a    0 ⎠

c) Vérifier que ν ◦ q = ν. Comparer les normes de ν(v) et q(v) et préciser l’angle entre ces vecteurs.

Comme Im(ν) ⊂ Π = Im(q), on a ν ◦ q = ν.

Pour v ∈ E :

• ‖ν(v)‖ = ‖n ∧ v‖ = ‖n‖ ‖v‖ sin θ = ‖q(v)‖, car q(v) est la projection orthogonale de v sur Π.
• Les vecteurs ν(v) et q(v) sont orthogonaux dans Π.
• L’angle entre q(v) et ν(v) est π/2.

ν ◦ q = ν et ν(v) est orthogonal à q(v) dans Π, avec même norme.

d) Montrer que ν ◦ ν = −q et en déduire la formule :

∀ v ∈ E, n ∧ (n ∧ v) = (v · n) n − v.

Calcul matriciel ou formule du double produit vectoriel donne :

ν ◦ ν = −q, donc :

n ∧ (n ∧ v) = (v · n) n − v.

3. Étude de l’endomorphisme f = p + ν de E.

a) Montrer que f est un automorphisme de E.

Si f(v) = 0, alors p(v) + ν(v) = 0 avec p(v) ∈ ∆ et ν(v) ∈ Π.

Comme ∆ et Π sont supplémentaires, p(v) = 0 et ν(v) = 0.

Donc v ∈ Ker(p) ∩ Ker(ν) = {0}.

f est injectif, donc bijectif.

f est un automorphisme de E.

b) Donner la matrice F de f dans B et vérifier qu’elle est orthogonale.

On a :

F = P + N = matrice :

⎛ a²        a b − c    a c + b ⎞
⎜ a b + c    b²        b c − a ⎟
⎝ a c − b    b c + a    c²      ⎠

On vérifie que F ∈ O(3) (orthogonalité) par calcul matriciel.

c) Montrer que f stabilise Π et que sa restriction à Π est une rotation d’angle π/2.

Pour v ∈ Π, p(v) = 0, donc f(v) = ν(v) = n ∧ v ∈ Π.

La restriction de f à Π est donc ν, qui est une rotation d’angle π/2.

f est la rotation vectorielle d’axe ∆ orienté par n et d’angle π/2.

d) Soit d = f ◦ f et s = −d. Montrer que :

d(v) = 2 (v · n) n − v,
s(v) = −d(v).

On calcule :

d = (p + ν)² = p² + pν + νp + ν² = p + 0 + 0 − q = p − q = 2 p − id_E.

Donc :

d(v) = 2 p(v) − v = 2 (v · n) n − v.

Par définition :

s = −d.

Les matrices de d et s dans B sont :

D = 2 P − I₃,
S = −D = I₃ − 2 P.

Géométriquement :

• d est la symétrie orthogonale par rapport à la droite ∆ (rotation d’angle π autour de ∆).
• s est la réflexion vectorielle de plan Π (symétrie orthogonale par rapport à Π).

Méthode

Ce devoir récompense la maîtrise des techniques suivantes :

• Identification des degrés dans une équation différentielle polynomiale et recherche de solutions particulières.
• Utilisation astucieuse d’un changement de variable pour réduire une équation différentielle d’ordre 2 à une équation d’ordre 1.
• Résolution d’équations différentielles par séparation des variables et intégration, y compris par changement trigonométrique.
• Manipulation d’algèbres de matrices, calcul de produits, déterminants, et inverses dans un sous-espace vectoriel.
• Résolution de systèmes linéaires paramétrés, discussion selon le rang et utilisation de la formule de Cramer.
• Utilisation des relations de récurrence pour exprimer les puissances d’une matrice dans une base donnée.
• Analyse d’endomorphismes dans un espace euclidien, calcul des matrices associées, et interprétation géométrique (projecteurs, rotations, symétries).
• Maîtrise des propriétés du produit vectoriel, notamment la formule du double produit vectoriel.

Les erreurs pénalisées sont notamment :

• Omissions dans la justification des degrés ou des solutions polynomiales.
• Confusion dans les calculs de dérivées ou dans l’application des changements de variables.
• Manque de rigueur dans la vérification des conditions d’inversibilité ou dans la résolution des systèmes.
• Absence de discussion complète des cas particuliers (valeurs paramétriques critiques).
• Confusion entre les sous-espaces ∆ et Π, ou erreurs dans les calculs matriciels liés aux endomorphismes.
• Non-respect des définitions données dans l’énoncé, notamment pour les notations et conventions.

Une rédaction claire, détaillée, et ordonnée est essentielle pour valoriser les réponses.