Devoir Surveillé

Ce devoir surveillé porte sur les probabilités et l'inférence statistique. Il évalue la capacité des étudiants à manipuler des notions fondamentales de probabilité, à calculer des lois de probabilité, des espérances, ainsi qu'à appliquer des concepts liés à la loi normale et aux probabilités conditionnelles.

Exercice 1

On demande de calculer plusieurs probabilités liées à la réussite d’un étudiant en Mathématiques (événement M) et en Informatique (événement I), connaissant :

• P(M) = 0,60
• P(I) = 0,85
• P(M ∩ I) = 0,50

Calculer :

1. La probabilité qu’il réussisse en Mathématiques mais pas en Informatique.
2. La probabilité qu’il réussisse en Informatique mais pas en Mathématiques.
3. La probabilité qu’il réussisse dans au moins un des deux cours.

1. Probabilité de réussir en Mathématiques mais pas en Informatique :

On cherche P(M ∩ I^c) où I^c est l'événement "ne pas réussir en Informatique".

On sait que :

P(M) = P(M ∩ I) + P(M ∩ I^c)

Donc :

P(M ∩ I^c) = P(M) - P(M ∩ I) = 0,60 - 0,50 = 0,10

Réponse : P(M ∩ I^c) = 0,10

2. Probabilité de réussir en Informatique mais pas en Mathématiques :

On cherche P(I ∩ M^c) où M^c est l'événement "ne pas réussir en Mathématiques".

De même :

P(I) = P(I ∩ M) + P(I ∩ M^c)

Or P(I ∩ M) = P(M ∩ I) = 0,50 (intersection symétrique)

Donc :

P(I ∩ M^c) = P(I) - P(M ∩ I) = 0,85 - 0,50 = 0,35

Réponse : P(I ∩ M^c) = 0,35

3. Probabilité de réussir dans au moins un des deux cours :

On cherche P(M ∪ I) = P(M) + P(I) - P(M ∩ I)

Donc :

P(M ∪ I) = 0,60 + 0,85 - 0,50 = 0,95

Réponse : P(M ∪ I) = 0,95

Exercice 2

Une urne contient 3 boules blanches, 2 rouges et 5 noires. Un joueur tire simultanément 2 boules. Il gagne 1 dinar par boule blanche tirée et perd 1 dinar par boule rouge tirée. Les boules noires sont neutres. Soit G la variable aléatoire représentant le gain algébrique obtenu à chaque tirage de deux boules.

1. Déterminer la loi de probabilité de G.

2. Calculer le gain espéré E(G).

1. Détermination de la loi de probabilité de G :

Nombre total de boules : 3 + 2 + 5 = 10

Nombre total de tirages de 2 boules : C(10,2) = 45

Les gains possibles dépendent du nombre de boules blanches (B) et rouges (R) tirées :

• Gain = (nombre de blanches) - (nombre de rouges)

Les valeurs possibles de G sont donc :

• G = 2 : si on tire 2 blanches
• G = 1 : si on tire 1 blanche et 0 rouge
• G = 0 : si on tire 0 blanche et 0 rouge, ou 1 blanche et 1 rouge
• G = -1 : si on tire 0 blanche et 1 rouge
• G = -2 : si on tire 2 rouges

Calculons les probabilités associées :

Gain G	Configuration	Nombre de tirages	Probabilité P(G)
2	2 blanches	C(3,2) = 3	3 / 45 = 1/15 ≈ 0,0667
1	1 blanche, 0 rouge (et 1 noire)	C(3,1) * C(5,1) = 3 * 5 = 15	15 / 45 = 1/3 ≈ 0,3333
0	0 blanche, 0 rouge (2 noires) ou 1 blanche et 1 rouge	C(5,2) + C(3,1)*C(2,1) = 10 + 6 = 16	16 / 45 ≈ 0,3556
-1	0 blanche, 1 rouge (et 1 noire)	C(2,1)*C(5,1) = 2 * 5 = 10	10 / 45 ≈ 0,2222
-2	2 rouges	C(2,2) = 1	1 / 45 ≈ 0,0222

Vérification : 3 + 15 + 16 + 10 + 1 = 45 tirages au total.

Loi de probabilité de G :

• P(G=2) = 1/15 ≈ 0,0667
• P(G=1) = 1/3 ≈ 0,3333
• P(G=0) = 16/45 ≈ 0,3556
• P(G=-1) = 10/45 ≈ 0,2222
• P(G=-2) = 1/45 ≈ 0,0222

2. Calcul du gain espéré E(G) :

E(G) = Σ [g_i * P(G = g_i)]

E(G) = 2*(1/15) + 1*(1/3) + 0*(16/45) + (-1)*(10/45) + (-2)*(1/45)

E(G) = 2*(0,0667) + 1*(0,3333) + 0 + (-1)*(0,2222) + (-2)*(0,0222)

E(G) = 0,1334 + 0,3333 - 0,2222 - 0,0444

E(G) = (0,1334 + 0,3333) - (0,2222 + 0,0444) = 0,4667 - 0,2666 = 0,2001

Réponse : Le gain espéré E(G) ≈ 0,20 dinars

Exercice 3

On a trois coffres C1, C2, C3, chacun avec deux tiroirs contenant des pièces :

• C1 : 2 pièces d’or
• C2 : 2 pièces d’argent
• C3 : 1 pièce d’or et 1 pièce d’argent

On tire une pièce au hasard parmi les six tiroirs. Les événements sont :

• C1 : tirer une pièce du coffre C1
• C2 : tirer une pièce du coffre C2
• C3 : tirer une pièce du coffre C3
• A : la pièce tirée est en argent
• O : la pièce tirée est en or

Calculer :

1. La probabilité de tirer une pièce d’argent, P(A).
2. La probabilité que la pièce tirée soit du coffre C2 sachant qu’elle est en argent, P(C2 | A).

1. Calcul de P(A) :

Il y a 6 tiroirs au total, chaque tiroir a une pièce, tirage équiprobable.

Nombre total de pièces : 6

Nombre de pièces en argent :

• C1 : 0 pièce argent
• C2 : 2 pièces argent
• C3 : 1 pièce argent

Total pièces argent = 0 + 2 + 1 = 3

Donc :

P(A) = 3 / 6 = 1/2 = 0,5

Réponse : P(A) = 0,5

2. Calcul de P(C2 | A) :

Par définition de la probabilité conditionnelle :

P(C2 | A) = P(C2 ∩ A) / P(A)

Calculons P(C2 ∩ A) : tirer une pièce d’argent du coffre C2.

Le coffre C2 a 2 tiroirs, tous deux avec pièces d’argent.

Probabilité de tirer une pièce du coffre C2 : 2/6 = 1/3

Étant donné que toutes les pièces de C2 sont en argent, P(A | C2) = 1

Donc :

P(C2 ∩ A) = P(C2) * P(A | C2) = 1/3 * 1 = 1/3

On a P(A) = 1/2

Donc :

P(C2 | A) = (1/3) / (1/2) = 2/3 ≈ 0,6667

Réponse : P(C2 | A) = 2/3

Exercice 4

Le temps nécessaire à un étudiant pour terminer une épreuve d’examen suit une loi normale. On sait que 240 candidats passent cet examen.

1. Combien d’étudiants termineront l’épreuve en moins de deux heures ?

2. Quelle devrait être la durée de l’épreuve pour que 200 étudiants puissent la terminer ?

Le texte ne fournit pas explicitement la moyenne (μ) ni l’écart-type (σ) de la loi normale, ni d’autres données numériques nécessaires pour répondre précisément.

Réponse : Les données nécessaires pour résoudre cet exercice ne sont pas fournies dans le document. Il est donc impossible de répondre aux questions 1 et 2.

Exercice 5

On demande de déterminer les paramètres (espérance et variance) d’une loi normale dont une variable aléatoire X suit cette loi, et vérifie :

• P(X ≤ 120) = 0,9772
• P(X ≤ 50) = 0,0668

On cherche μ et σ tels que :

P(X ≤ 120) = 0,9772

P(X ≤ 50) = 0,0668

On utilise la notation standardisée Z = (X - μ) / σ qui suit la loi normale centrée réduite N(0,1).

On a :

P(X ≤ x) = P(Z ≤ (x - μ)/σ)

Donc :

P(Z ≤ (120 - μ)/σ) = 0,9772

P(Z ≤ (50 - μ)/σ) = 0,0668

En consultant une table de la loi normale centrée réduite :

• Φ(2) ≈ 0,9772 donc (120 - μ)/σ = 2
• Φ(-1,5) ≈ 0,0668 donc (50 - μ)/σ = -1,5

On obtient le système :

(120 - μ)/σ = 2

(50 - μ)/σ = -1,5

Soustrayons la deuxième équation de la première :

[ (120 - μ) - (50 - μ) ] / σ = 2 - (-1,5)

(120 - μ - 50 + μ) / σ = 3,5

(70) / σ = 3,5

Donc :

σ = 70 / 3,5 = 20

Remplaçons σ dans la première équation :

(120 - μ) / 20 = 2

120 - μ = 40

μ = 120 - 40 = 80

Réponse :

• Espérance μ = 80
• Écart-type σ = 20

Méthode

Ce devoir récompense la maîtrise des calculs de probabilités élémentaires, notamment l’utilisation des formules d’ensembles (union, intersection, complément), ainsi que la capacité à décomposer un problème en événements simples. La construction d’une loi de probabilité à partir d’un énoncé concret, comme dans l’Exercice 2, est essentielle et nécessite une bonne organisation des cas possibles. L’utilisation correcte des probabilités conditionnelles et de la formule de Bayes est également cruciale, comme en Exercice 3.

Pour les exercices sur la loi normale, il est indispensable de savoir standardiser une variable et d’utiliser les tables de la loi normale centrée réduite. L’interprétation des quantiles et la résolution de systèmes d’équations pour retrouver les paramètres μ et σ sont des compétences clés.

Les erreurs fréquentes à éviter sont :

• Confondre union et intersection dans les calculs de probabilités.
• Oublier de vérifier que la somme des probabilités est égale à 1 dans une loi de probabilité.
• Ne pas standardiser correctement une variable normale avant de consulter la table.
• Mal appliquer la formule de probabilité conditionnelle.

Enfin, il est important de montrer clairement chaque étape du raisonnement pour que le correcteur puisse suivre la démarche et attribuer les points partiels.