Devoir Surveillé 2020-2021

Exercice 1 - Probabilités d'événements simples

Définissons d'abord les événements et leurs probabilités à partir de l'énoncé :

• M : l'étudiant réussit en Mathématiques. P(M) = 0,60
• I : l'étudiant réussit en Informatique. P(I) = 0,85
• M ∩ I : l'étudiant réussit les deux matières. P(M ∩ I) = 0,50

Question 1 - Réussite en Mathématiques, mais pas en Informatique

Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement "M et non-I", noté M ∩ I^c. P(M ∩ I^c) = P(M) - P(M ∩ I) P(M ∩ I^c) = 0,60 - 0,50 = 0,10

Question 2 - Réussite en Informatique, mais pas en Mathématiques

Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement "I et non-M", noté I ∩ M^c. P(I ∩ M^c) = P(I) - P(M ∩ I) P(I ∩ M^c) = 0,85 - 0,50 = 0,35

Question 3 - Réussite dans au moins un de ces deux cours

Il s'agit de calculer la probabilité de l'union des deux événements, notée M ∪ I. P(M ∪ I) = P(M) + P(I) - P(M ∩ I) P(M ∪ I) = 0,60 + 0,85 - 0,50 = 0,95

Exercice 2 - Variables aléatoires et espérance mathématique

L'urne contient 10 boules au total : 3 blanches (B), 2 rouges (R) et 5 noires (N). Le nombre total de tirages simultanés de 2 boules parmi 10 est donné par la combinaison C(10, 2) = (10 × 9) / (2 × 1) = 45 combinaisons possibles. Les règles de gain pour le tirage d'une boule sont : Blanche = +1 dinar, Rouge = -1 dinar, Noire = 0 dinar.

Question 1 - Loi de probabilité de G

Analysons les gains (G) possibles pour chaque paire tirée :

• 2 boules Blanches : Gain = 1 + 1 = 2. Nombre de combinaisons = C(3, 2) = 3. Probabilité = 3/45 = 1/15.
• 1 boule Blanche et 1 boule Noire : Gain = 1 + 0 = 1. Nombre de combinaisons = C(3, 1) × C(5, 1) = 3 × 5 = 15. Probabilité = 15/45 = 1/3.
• 1 boule Blanche et 1 boule Rouge ou 2 boules Noires : Gain = 0. Nombre de combinaisons = (C(3, 1) × C(2, 1)) + C(5, 2) = (3 × 2) + 10 = 6 + 10 = 16. Probabilité = 16/45.
• 1 boule Rouge et 1 boule Noire : Gain = -1 + 0 = -1. Nombre de combinaisons = C(2, 1) × C(5, 1) = 2 × 5 = 10. Probabilité = 10/45 = 2/9.
• 2 boules Rouges : Gain = -1 - 1 = -2. Nombre de combinaisons = C(2, 2) = 1. Probabilité = 1/45.

Voici le tableau récapitulatif de la loi de probabilité de G :

Valeurs possibles gi de G	-2	-1	0	1	2
Probabilité à associer à chaque gi (P[G = gi])	1/45	10/45	16/45	15/45	3/45

(Note : On vérifie bien que la somme des probabilités est (1 + 10 + 16 + 15 + 3) / 45 = 45/45 = 1).

Question 2 - Calcul du gain espéré E(G)

L'espérance mathématique est la somme des produits des valeurs possibles par leurs probabilités respectives : E(G) = Σ [gi × P(G = gi)] E(G) = (-2 × 1/45) + (-1 × 10/45) + (0 × 16/45) + (1 × 15/45) + (2 × 3/45) E(G) = (-2 - 10 + 0 + 15 + 6) / 45 E(G) = 9 / 45 = 1/5 = 0,2 dinar.

Le gain espéré est de 0,2 dinar par partie.

Exercice 3 - Théorème des probabilités totales et théorème de Bayes

On choisit un tiroir au hasard parmi 6, répartis dans 3 coffres identiques (C1, C2, C3). Le choix initial du coffre est donc équiprobable : P(C1) = P(C2) = P(C3) = 1/3. Les probabilités conditionnelles de tirer une pièce en Argent (événement A) sachant le coffre choisi sont :

• Pour C1 (2 pièces d'or) : P(A|C1) = 0
• Pour C2 (2 pièces d'argent) : P(A|C2) = 1
• Pour C3 (1 or, 1 argent) : P(A|C3) = 1/2

Question 1 - Probabilité de tirer une pièce d’Argent P(A)

Nous utilisons la formule des probabilités totales : P(A) = P(A|C1)×P(C1) + P(A|C2)×P(C2) + P(A|C3)×P(C3) P(A) = (0 × 1/3) + (1 × 1/3) + (1/2 × 1/3) P(A) = 0 + 1/3 + 1/6 P(A) = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Question 2 - Probabilité que la pièce provienne de C2 sachant qu'elle est en Argent P(C2|A)

Nous utilisons le théorème de Bayes : P(C2|A) = [P(A|C2) × P(C2)] / P(A) P(C2|A) = (1 × 1/3) / (1/2) P(C2|A) = (1/3) × (2/1) = 2/3.

Exercice 4 - Utilisation de la Loi Normale

Note sur l'énoncé source : Le texte "suit approximativement une loi normale ()2290minutes,2025minutesXXN==" est une extraction altérée. Il faut lire "X suit une loi normale N(μ = 90, σ² = 2025)". L'espérance est μ = 90 minutes. La variance est σ² = 2025, ce qui donne un écart-type σ = √(2025) = 45 minutes. Le nombre total de candidats est 240.

Question 1 - Nombre d'étudiants terminant en moins de 120 minutes

On cherche P(X < 120). On passe par la variable centrée réduite Z = (X - μ) / σ. P(X < 120) = P(Z < (120 - 90) / 45) P(X < 120) = P(Z < 30 / 45) = P(Z < 0,667)

D'après la table de la loi normale centrée réduite N(0,1), on trouve : Φ(0,667) ≈ 0,7475. La proportion d'étudiants attendue est d'environ 74,75%. Nombre d'étudiants = 240 × 0,7475 = 179,4. Environ 179 étudiants termineront l'épreuve en moins de deux heures.

Question 2 - Durée de l’épreuve pour 200 étudiants

On souhaite que 200 étudiants sur 240 terminent l'épreuve. La probabilité correspondante est p = 200 / 240 = 5/6 ≈ 0,8333. On cherche le temps t tel que P(X ≤ t) = 0,8333. En passant par Z : P(Z ≤ (t - 90) / 45) = 0,8333.

D'après la table de la loi normale inverse, la valeur de z pour laquelle Φ(z) = 0,8333 est z ≈ 0,967. On résout donc : (t - 90) / 45 = 0,967 t - 90 = 45 × 0,967 t - 90 ≈ 43,515 t ≈ 133,515

Il faudrait fixer une durée d'épreuve d'environ 134 minutes (soit 2 heures et 14 minutes).

Exercice 5 - Identification des paramètres d'une Loi Normale

Note sur l'énoncé source : Les termes "X()120.9772PX=" et "()50.0668PX=" au bas du document ont été endommagés par l'extraction. Ils correspondent aux données : P(X ≤ 12) = 0,9772 et P(X ≤ 5) = 0,0668.

Soit X une variable suivant la loi normale N(μ, σ²). Posons la variable centrée réduite Z = (X - μ) / σ.

Question 1 - Calcul de l'espérance μ

Exprimons les deux probabilités fournies avec la variable Z :

1. P(X ≤ 12) = P(Z ≤ (12 - μ) / σ) = 0,9772. D'après la table de la loi normale, Φ(2) ≈ 0,9772. On a donc l'équation : (12 - μ) / σ = 2, soit 12 - μ = 2σ (Équation A).

2. P(X ≤ 5) = P(Z ≤ (5 - μ) / σ) = 0,0668. D'après la table, Φ(-1,5) = 1 - Φ(1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668. On a donc l'équation : (5 - μ) / σ = -1,5, soit 5 - μ = -1,5σ (Équation B).

Pour trouver les paramètres, soustrayons l'équation B à l'équation A : (12 - μ) - (5 - μ) = 2σ - (-1,5σ) 7 = 3,5σ σ = 7 / 3,5 = 2. L'écart-type est donc de 2.

On remplace σ par 2 dans l'équation A pour obtenir μ : 12 - μ = 2 × 2 12 - μ = 4 μ = 12 - 4 = 8.

L'espérance demandée est μ = 8.

Question 2 - Calcul de la variance σ²

L'énoncé demande de déterminer les paramètres, ce qui sous-entend usuellement l'espérance et la variance pour une loi normale. Nous avons calculé l'écart-type σ = 2. La variance est le carré de l'écart-type : σ² = 2² = 4.

Méthode

Face à ce type de devoir surveillé, trois réflexes sont indispensables :

1. Traduire le texte en formalismes clairs : Ne commencez jamais un calcul de probabilité (comme dans les Exercices 1 et 3) sans avoir formellement défini les événements et listé les probabilités fournies. Dessiner un arbre de probabilité (recommandé par l'auteur du sujet à l'Exercice 3) sécurise votre raisonnement.
2. Identifier le type de tirage : Dans l'Exercice 2, le mot-clé est "simultanément". Cela signifie que l'ordre n'a pas d'importance et qu'il n'y a pas de remise, orientant tout de suite vers l'utilisation des combinaisons C(n, k). La vérification finale (la somme des probabilités de votre loi doit valoir 1) est obligatoire pour valider votre tableau avant de calculer l'espérance.
3. Restaurer le sens face aux coquilles d'impression : Il est fréquent que les PDF d'examen soient abîmés au niveau des symboles mathématiques (comme dans les exercices 4 et 5). Fiez-vous au contexte : la présence de nombres caractéristiques comme 0,9772 ou 0,0668 hurle l'utilisation d'une table de loi normale standard. Restez pragmatique et reconstituez la logique derrière la casse typographique.