Développements limités

Section 1 - Calculs

Exercice 1 - Développements limités en 0

Question 1.1 - Développement de cos(x)·exp(x) à l'ordre 3 On écrit les développements de chaque fonction à l'ordre 3 : cos(x) = 1 - x²/2 + o(x³) exp(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³) On effectue le produit en omettant les termes de degré supérieur à 3 : cos(x)·exp(x) = (1 - x²/2) × (1 + x + x²/2 + x³/6) + o(x³) = 1 + x + x²/2 + x³/6 - x²/2 - x³/2 + o(x³) = 1 + x - x³/3 + o(x³)

Question 1.2 - Développement de (ln(1 + x))² à l'ordre 4 On développe ln(1 + x) à l'ordre 4 : ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + o(x⁴) On élève au carré en écartant les puissances strictement supérieures à 4 : (ln(1 + x))² = x² + x⁴/4 - x³ + 2x⁴/3 + o(x⁴) = x² - x³ + (1/4 + 2/3)x⁴ + o(x⁴) = x² - x³ + 11x⁴/12 + o(x⁴)

Question 1.3 - Développement de (sh(x) - x) / x³ à l'ordre 6 Le dénominateur étant x³, il faut développer le numérateur à l'ordre 9 pour obtenir un ordre 6 après division : sh(x) = x + x³/6 + x⁵/120 + x⁷/5040 + x⁹/362880 + o(x⁹) sh(x) - x = x³/6 + x⁵/120 + x⁷/5040 + x⁹/362880 + o(x⁹) En divisant par x³ : (sh(x) - x) / x³ = 1/6 + x²/120 + x⁴/5040 + x⁶/362880 + o(x⁶)

Question 1.4 - Développement de exp(sin(x)) à l'ordre 4 On pose u = sin(x) = x - x³/6 + o(x⁴). On sait que exp(u) = 1 + u + u²/2 + u³/6 + u⁴/24 + o(u⁴). Calcul des puissances de u à l'ordre 4 : u² = x² - x⁴/3 + o(x⁴) u³ = x³ + o(x⁴) u⁴ = x⁴ + o(x⁴) On substitue : exp(sin(x)) = 1 + (x - x³/6) + (x² - x⁴/3)/2 + x³/6 + x⁴/24 + o(x⁴) = 1 + x + x²/2 + x⁴(-1/6 + 1/24) + o(x⁴) = 1 + x + x²/2 - x⁴/8 + o(x⁴)

Question 1.5 - Développement de sin⁶(x) à l'ordre 9 On utilise sin(x) = x - x³/6 + o(x⁴). sin⁶(x) = (x - x³/6 + o(x⁴))⁶ En développant avec la formule du binôme et en coupant à l'ordre 9, seuls les deux premiers termes subsistent : sin⁶(x) = x⁶ - 6(x⁵)(x³/6) + o(x⁹) = x⁶ - x⁸ + o(x⁹)

Question 1.6 - Développement de ln(cos(x)) à l'ordre 6 cos(x) = 1 - x²/2 + x⁴/24 - x⁶/720 + o(x⁶). On pose u = -x²/2 + x⁴/24 - x⁶/720. On utilise ln(1 + u) = u - u²/2 + u³/3 + o(u³). u² = x⁴/4 - x⁶/24 + o(x⁶) u³ = -x⁶/8 + o(x⁶) ln(cos(x)) = (-x²/2 + x⁴/24 - x⁶/720) - 1/2(x⁴/4 - x⁶/24) + 1/3(-x⁶/8) + o(x⁶) = -x²/2 - x⁴/12 - x⁶/45 + o(x⁶)

Question 1.7 - Développement de 1/cos(x) à l'ordre 4 cos(x) = 1 - x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴). On pose u = x²/2 - x⁴/24. On utilise 1/(1 - u) = 1 + u + u² + o(u²). u² = x⁴/4 + o(x⁴) 1/cos(x) = 1 + (x²/2 - x⁴/24) + x⁴/4 + o(x⁴) = 1 + x²/2 + 5x⁴/24 + o(x⁴)

Question 1.8 - Développement de tan(x) à l'ordre 5 (et 7) tan(x) = sin(x) × (1/cos(x)). sin(x) = x - x³/6 + x⁵/120 + o(x⁵) 1/cos(x) = 1 + x²/2 + 5x⁴/24 + o(x⁵) Par produit : tan(x) = (x - x³/6 + x⁵/120) × (1 + x²/2 + 5x⁴/24) + o(x⁵) = x + x³/2 + 5x⁵/24 - x³/6 - x⁵/12 + x⁵/120 + o(x⁵) = x + x³/3 + 2x⁵/15 + o(x⁵) En poursuivant les calculs à l'ordre 7, on obtient : tan(x) = x + x³/3 + 2x⁵/15 + 17x⁷/315 + o(x⁷)

Question 1.9 - Développement de (1 + x)^(1/(1+x)) à l'ordre 3 L'expression s'écrit exp( ln(1 + x) / (1 + x) ). ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 + o(x³) 1/(1 + x) = 1 - x + x² - x³ + o(x³) ln(1 + x) / (1 + x) = (x - x²/2 + x³/3) × (1 - x + x²) + o(x³) = x - x² + x³ - x²/2 + x³/2 + x³/3 + o(x³) = x - 3x²/2 + 11x³/6 + o(x³) On applique l'exponentielle (1 + u + u²/2 + u³/3) avec u = x - 3x²/2 + 11x³/6 : u² = x² - 3x³ + o(x³) u³ = x³ + o(x³) exp(u) = 1 + (x - 3x²/2 + 11x³/6) + 1/2(x² - 3x³) + 1/6(x³) + o(x³) = 1 + x - x² + x³/2 + o(x³)

Question 1.10 - Développement de arcsin(ln(1 + x²)) à l'ordre 6 ln(1 + x²) = x² - x⁴/2 + x⁶/3 + o(x⁶). arcsin(u) = u + u³/6 + o(u³). Avec u = x² - x⁴/2 + x⁶/3, on a u³ = x⁶ + o(x⁶). arcsin(u) = (x² - x⁴/2 + x⁶/3) + x⁶/6 + o(x⁶) = x² - x⁴/2 + x⁶/2 + o(x⁶)

Exercice 2 - Développements limités en d'autres points

Question 2.1 - Développement de f(x) = √(x) en 1 à l'ordre 3 On pose h = x - 1, donc x = 1 + h. √(1 + h) = 1 + h/2 - h²/8 + h³/16 + o(h³). En remplaçant h : √(x) = 1 + (x - 1)/2 - (x - 1)²/8 + (x - 1)³/16 + o((x - 1)³)

Question 2.2 - Développement de g(x) = exp(√(x)) en 1 à l'ordre 3 On pose h = x - 1. √(1 + h) - 1 = h/2 - h²/8 + h³/16 + o(h³). g(x) = exp(1 + (√(x) - 1)) = e × exp(h/2 - h²/8 + h³/16). Avec u = h/2 - h²/8 + h³/16 : u² = h²/4 - h³/8 + o(h³) u³ = h³/8 + o(h³) exp(u) = 1 + (h/2 - h²/8 + h³/16) + 1/2(h²/4 - h³/8) + 1/6(h³/8) + o(h³) = 1 + h/2 + h³(1/16 - 1/16 + 1/48) + o(h³) = 1 + h/2 + h³/48 + o(h³). (Le terme en h² s'annule). Donc : exp(√(x)) = e + e(x - 1)/2 + e(x - 1)³/48 + o((x - 1)³)

Question 2.3 - Développement de h(x) = ln(sin(x)) en π/3 à l'ordre 3 On pose u = x - π/3. sin(u + π/3) = sin(u)cos(π/3) + cos(u)sin(π/3) = (1/2)sin(u) + (√3/2)cos(u). = (1/2)(u - u³/6) + (√3/2)(1 - u²/2) + o(u³) = (√3/2) × [1 + u/√3 - u²/2 - u³/(3√3)] + o(u³). On utilise ln(A × B) = ln(A) + ln(B). Soit v = u/√3 - u²/2 - u³/(3√3). ln(1 + v) = v - v²/2 + v³/3 + o(v³). v² = u²/3 - u³/√3 + o(u³) v³ = u³/(3√3) + o(u³) ln(1 + v) = (u/√3 - u²/2 - u³/(3√3)) - 1/2(u²/3 - u³/√3) + 1/3(u³/(3√3)) + o(u³) = u/√3 - 2u²/3 + 4u³/(9√3) + o(u³) Donc : ln(sin(x)) = ln(√3/2) + (x - π/3)/√3 - 2(x - π/3)²/3 + 4(x - π/3)³/(9√3) + o((x - π/3)³)

Exercice 3 - Développements limités et limites asymptotiques

Question 3.1 - f(x) = √(1 + x²) / (1 + x + √(1 + x²)) en 0 à l'ordre 2 √(1 + x²) = 1 + x²/2 + o(x²). Le dénominateur est 1 + x + 1 + x²/2 = 2 + x + x²/2 + o(x²). f(x) = (1 + x²/2) / (2 + x + x²/2). On factorise 2 au dénominateur : 1/2 × (1 + x²/2) × [1 / (1 + x/2 + x²/4)]. 1 / (1 + u) = 1 - u + u² avec u = x/2 + x²/4. 1 - (x/2 + x²/4) + (x/2)² = 1 - x/2. f(x) = 1/2 × (1 + x²/2) × (1 - x/2) + o(x²) = 1/2 × (1 - x/2 + x²/2) + o(x²) = 1/2 - x/4 + x²/4 + o(x²).

Question 3.2 - Développement de f en +∞ à l'ordre 1 On pose h = 1/x (avec h > 0, x → +∞). x = 1/h. x² = 1/h². f(x) = √(1 + 1/h²) / (1 + 1/h + √(1 + 1/h²)). En multipliant haut et bas par h : = √(h² + 1) / (h + 1 + √(h² + 1)). C'est la même expression f(h) étudiée en 0. f(x) = 1/2 - h/4 + o(h) = 1/2 - 1/(4x) + o(1/x).

Question 3.3 - Développement de f en -∞ à l'ordre 1 On pose h = 1/x (avec h < 0, x → -∞). √(x² + 1) = |x|√(1 + h²) = -x√(1 + h²) car x est négatif. f(x) = -x√(1 + h²) / (1 + x - x√(1 + h²)). En divisant par x : f(x) = -√(1 + h²) / (h + 1 - √(1 + h²)). √(1 + h²) = 1 + h²/2 + o(h²). Dénominateur = h + 1 - (1 + h²/2) = h - h²/2 + o(h²) = h(1 - h/2 + o(h)). f(x) = -(1 + h²/2) / (h(1 - h/2)) = -1/h × (1 + h/2 + o(h)) = -1/h - 1/2 + o(1) = -x - 1/2 + o(1). Pour un équivalent plus précis : f(x) = -x - 1/2 - 3/(4x) + o(1/x).

Section 2 - Applications

Exercice 4 - Limites

Question 4.1 - lim (x → 0) (exp(x²) - cos(x)) / x² exp(x²) = 1 + x² + o(x²). cos(x) = 1 - x²/2 + o(x²). exp(x²) - cos(x) = 3x²/2 + o(x²). La limite du quotient par x² est 3/2.

Question 4.2 - lim (x → 0) (ln(1 + x) - sin(x)) / x ln(1 + x) = x - x²/2 + o(x²). sin(x) = x + o(x²). ln(1 + x) - sin(x) = -x²/2 + o(x²). La limite du quotient par x est 0.

Question 4.3 - lim (x → 0) (cos(x) - √(1 - x²)) / x⁴ cos(x) = 1 - x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴). √(1 - x²) = 1 - x²/2 - x⁴/8 + o(x⁴). cos(x) - √(1 - x²) = x⁴(1/24 + 1/8) = x⁴(4/24) = x⁴/6 + o(x⁴). La limite du quotient par x⁴ est 1/6.

Exercice 5 - Tangente et position

Question 5.1 - Position en x = 0 f(x) = ln(1 + x + x²). f(x) = (x + x²) - (x + x²)²/2 + o(x²) = x + x²/2 + o(x²). L'équation de la tangente est y = x. f(x) - y = x²/2 > 0 au voisinage de 0, la courbe est au-dessus de la tangente.

Question 5.2 - Position en x = 1 On pose h = x - 1. f(1 + h) = ln(1 + (1 + h) + (1 + h)²) = ln(3 + 3h + h²) = ln(3(1 + h + h²/3)). f(1 + h) = ln(3) + (h + h²/3) - (h + h²/3)²/2 + o(h²) = ln(3) + h - h²/6 + o(h²). La tangente est y = ln(3) + h = ln(3) + (x - 1). f(x) - y = -h²/6 = -(x - 1)²/6 < 0. La courbe est en-dessous de la tangente.

Exercice 6 - Limites complexes

Question 6.1(a) - lim (x → +∞) √(x² + 3x + 2) + x C'est une somme de termes tendant vers +∞. La limite est +∞.

Question 6.1(b) - lim (x → -∞) √(x² + 3x + 2) + x Forme indéterminée. Pour x < 0, √(x²(1 + 3/x + 2/x²)) = -x√(1 + 3/x + 2/x²). √(1 + u) = 1 + u/2 + o(u). Donc -x(1 + 3/(2x) + o(1/x)) + x = -x - 3/2 + x + o(1) = -3/2. La limite est -3/2.

Question 6.2 - lim (x → 0+) (arctan(x))^(1/x²) (arctan(x))^(1/x²) = exp( (1/x²) ln(arctan(x)) ). arctan(x) = x + o(x). ln(arctan(x)) ≈ ln(x) qui tend vers -∞. (1/x²) ln(x) tend vers -∞. exp(-∞) = 0.

Question 6.3 - lim (x → 0) ((1 + 3x)^(1/3) - 1 - sin(x)) / (1 - cos(x)) Numérateur : (1 + 3x)^(1/3) = 1 + (1/3)(3x) + (1/3)(-2/3)/2 (3x)² = 1 + x - x² + o(x²). sin(x) = x + o(x²). Numérateur = -x² + o(x²). Dénominateur : 1 - cos(x) = x²/2 + o(x²). Quotient : (-x²) / (x²/2) = -2. La limite est -2.

Section 3 - Formules de Taylor

Exercice 7 - Calcul des dérivées en 0

f(x) = x³ / (1 + x⁶) = x³(1 - x⁶ + x¹² - ...) = Σ (-1)^k x^(6k + 3). La série de Maclaurin (Taylor en 0) est f(x) = Σ f^(n)(0)/n! x^n. Par identification, si n = 6k + 3 (soit k = (n - 3)/6), le coefficient est (-1)^k. Donc f^(n)(0) = (-1)^((n - 3)/6) × n! pour n ≡ 3 (mod 6), et 0 sinon.

Exercice 8 - Inégalités de Taylor-Lagrange

Question 8.1 - Majoration de la dérivée première Taylor-Lagrange à l'ordre 2 : f(x + h) = f(x) + hf'(x) + (h²/2)f''(c). hf'(x) = f(x + h) - f(x) - (h²/2)f''(c). En passant à la valeur absolue : h|f'(x)| ≤ 2M₀ + (h²/2)M₂. En divisant par h, on obtient : |f'(x)| ≤ (2/h)M₀ + (h/2)M₂.

Question 8.2 - f' est bornée La fonction φ(h) = (2/h)M₀ + (h/2)M₂ atteint son minimum pour h = 2√(M₀/M₂). En ce point, φ(h) = 2√(M₀M₂). Puisque l'inégalité est vraie pour tout h > 0, |f'(x)| ≤ 2√(M₀M₂). Donc f' est bornée.

Question 8.3 - Limite de g'(x) Si lim (x → +∞) g(x) = 0, M₀(a) = sup_{x>a} |g(x)| tend vers 0 quand a → +∞. D'après la borne trouvée, |g'(x)| ≤ 2√(M₀(a)M₂). Comme M₀(a) peut être rendu arbitrairement petit, g'(x) tend vers 0.

Section 4 - DL implicite

Exercice 9 - Résolution de tan(x) = x

Question 9.1 - Existence et unicité Sur chaque intervalle I_n = ]nπ - π/2, nπ + π/2[, f(x) = tan(x) - x a pour dérivée tan²(x) ≥ 0, s'annulant uniquement en nπ. f est strictement croissante, allant de -∞ à +∞, d'où l'existence et l'unicité de x_n par le TVI.

Question 9.2 - Relation avec arctan x_n = tan(x_n - nπ). Puisque x_n - nπ ∈ ]-π/2, π/2[, on a x_n - nπ = arctan(x_n). Soit x_n = nπ + arctan(x_n).

Question 9.3 - Ordre 0 en +∞ Pour x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) = π/2. arctan(x_n) = π/2 - arctan(1/x_n). Comme x_n → +∞, arctan(1/x_n) → 0, donc x_n = nπ + π/2 + o(1).

Question 9.4 - Développement à l'ordre 2 x_n = nπ + π/2 - arctan(1/x_n). 1/x_n = 1 / (nπ + π/2 + o(1)) = (1/(nπ)) × (1 - 1/(2n) + o(1/n)) = 1/(nπ) - 1/(2πn²) + o(1/n²). Puisque arctan(u) = u + o(u²), -arctan(1/x_n) = -1/(nπ) + 1/(2πn²) + o(1/n²). Bilan : x_n = nπ + π/2 - 1/(nπ) + 1/(2πn²) + o(1/n²).

Section 5 - Equivalents

Exercice 10 - Recherche d'équivalents simples

Question 10.1 - 2exp(x) - √(1 + 4x) - √(1 + 6x²) en 0 2exp(x) = 2 + 2x + x² + x³/3 + o(x³). √(1 + 4x) = 1 + 2x - 2x² + 4x³ + o(x³). √(1 + 6x²) = 1 + 3x² + o(x³). Somme : (2 - 1 - 1) + (2 - 2)x + (1 - (-2) - 3)x² + (1/3 - 4)x³ = -11x³/3 + o(x³). Équivalent : -11x³/3.

Question 10.2 - (cos(x))^(sin(x)) - (cos(x))^(tan(x)) en 0 En calculant le DL par passage à l'exponentielle, le premier terme non nul de la différence est de degré 5. L'équivalent est x⁵/4.

Question 10.3 - arctan(x) + arctan(3/x) - 2π/3 en √3 On pose h = x - √3. Le DL à l'ordre 2 donne -h²(√3)/8. Équivalent : -(x - √3)²(√3)/8.

Question 10.4 - Différence de racines en +∞ On factorise par le terme dominant. √(x² + 1) - (2/3)√(x³ + x + 4) ... L'équivalent asymptotique donné par les DL à l'ordre pertinent en 1/x est 1/(12x).

Question 10.5 - argch(1/cos(x)) en 0 cos(x) ≈ 1 - x²/2, 1/cos(x) ≈ 1 + x²/2. argch(1 + h) ≈ √(2h). Avec h = x²/2, on a √(x²) = |x|. Équivalent : |x|.

Exercice 11 - Approximation de cos(x)

Approximation de (1 + ax²) / (1 + bx²). DL : (1 + ax²)(1 - bx² + b²x⁴ - b³x⁶) = 1 + (a - b)x² - b(a - b)x⁴ + b²(a - b)x⁶. On veut s'approcher de cos(x) = 1 - x²/2 + x⁴/24 - x⁶/720. Identification : a - b = -1/2 et -b(a - b) = 1/24. -b(-1/2) = 1/24, donc b = 1/12. a = -1/2 + 1/12 = -5/12.

Exercice 12 - Limite et équivalent

lim (x → +∞) (ln(x + 1)/ln(x))^x. ln(x + 1) = ln(x) + ln(1 + 1/x) = ln(x) + 1/x + o(1/x). ln(x + 1) / ln(x) = 1 + 1/(x ln(x)) + o(1/(x ln(x))). Passage à l'exponentielle : exp(x ln(1 + 1/(x ln(x)))) = exp(x (1/(x ln(x)))) = exp(1/ln(x)). En +∞, 1/ln(x) tend vers 0, donc L = exp(0) = 1. L'équivalent de l'expression moins 1 est donné par l'argument de l'exponentielle, soit 1/ln(x).

Méthode

Pour aborder un examen portant sur les développements limités, la clé est la rigueur de l'ordre d'approximation. Identifiez le point autour duquel le développement s'effectue et l'ordre requis par les opérations (divisions ou annulations de premiers termes). Remplacez les compositions par des polynômes avec un "petit o" rigoureux, et assurez-vous que toutes vos variables de changement (comme h = x - a) tendent bien vers 0. Ne sautez jamais l'écriture du terme d'erreur pour éviter d'inclure des puissances incomplètes, particulièrement lors d'une élévation au carré ou d'une exponentielle.