Dérivation et Distributions

Ce matériel couvre les notions fondamentales des distributions, notamment leur définition, leurs propriétés, la dérivation généralisée, ainsi que les notions de convergence dans l'espace des distributions. Il s'adresse aux étudiants en mathématiques appliquées, en analyse fonctionnelle ou en traitement du signal qui souhaitent comprendre les bases théoriques des distributions et leur utilisation.

Les distributions et l'espace des fonctions test

Une fonction test est une fonction indéfiniment dérivable, nulle en dehors d'un segment borné. L'ensemble des fonctions test est noté D(R) et contient toutes les fonctions φ : R → C, de classe C∞, à support borné.

Quelques propriétés importantes des fonctions test φ et ψ dans D :

• aφ + bψ ∈ D pour tous scalaires a, b ∈ C
• Le produit φ·ψ appartient à D
• La convolution φ ⊛ ψ appartient à D
• La dérivée φ' appartient à D
• Les dérivées d'ordre n, φ(n), appartiennent à D

Une distribution T est une application linéaire continue de D dans C, notée T(φ) = <T, φ>. Cette linéarité implique :

• T(α1 φ1 + α2 φ2) = α1 T(φ1) + α2 T(φ2)
• Si φn → φ dans D, alors T(φn) → T(φ)

Une distribution est dite régulière si elle est associée à une fonction sommable x(t) telle que :

T(φ) = ∫ x(t) φ(t) dt

Sinon, elle est dite singulière. L'ensemble des distributions est noté D’.

Exemples classiques de distributions

• Échelon d’Heaviside Y(t) (ou u(t), 1(t), e(t)) : distribution régulière associée à la fonction échelon.
• Constante K : distribution régulière associée à la fonction constante K.
• Distribution de Dirac δ : distribution singulière définie par

  T(φ) = δa(φ) = <δ(t - a), φ(t)> = φ(a)
      

• Peigne de Dirac : somme pondérée de Dirac, utilisée en traitement du signal pour modéliser un signal discret.

Un signal discret est un ensemble de valeurs {x(ti)} connues à certains instants ti. Il peut être modélisé par un peigne de Dirac pondéré :

∑ x(ti) δ(t - ti)

Propriétés élémentaires des distributions

Somme et multiplication par une constante

Soient x et y deux fonctions sommables, et λ ∈ R :

∫ (x(t) + y(t)) φ(t) dt = ∫ x(t) φ(t) dt + ∫ y(t) φ(t) dt
T + S = T + S (au sens des distributions)

λ ∫ x(t) φ(t) dt = ∫ (λ x(t)) φ(t) dt
λ T = λ T

Translation

Pour a ∈ R, la translation agit sur une fonction sommable x(t) et une fonction test φ(t) ainsi :

∫ x(t - a) φ(t) dt = ∫ x(t) φ(t + a) dt
<T(t - a), φ(t)> = <T(t), φ(t + a)>

Dans le cas particulier de la distribution de Dirac :

<δ(t - a), φ(t)> = φ(a)

Distribution périodique

Une distribution T est périodique de période θ si :

T(t - θ) = T(t)

Une fonction sommable périodique définit une distribution régulière périodique. Le peigne de Dirac est un exemple de distribution périodique.

Facteur d’échelle

Pour k ∈ R et x sommable :

∫ x(t) φ(t/k) dt = k ∫ x(k t) φ(t) dt

La fonction φ(t/k) reste une fonction test, et cette propriété se généralise aux distributions.

Distributions paires et impaires

• Distribution paire : T(-t) = T(t)
• Distribution impaire : T(-t) = -T(t)

La distribution de Dirac et le peigne de Dirac sont des distributions paires.

Produit d’une distribution par une fonction C∞

Pour T ∈ D’ et y(t) de classe C∞, le produit y·T est défini par :

<y·T, φ> = <T, y·φ>

Exemple :

y(t) · δ(t - a) = y(a) · δ(t - a)

Cette propriété est utilisée pour l’échantillonnage, qui consiste à multiplier un signal par un peigne de Dirac.

Dérivation généralisée

Soit x(t) une fonction sommable et dérivable. La dérivée généralisée T' d'une distribution T est définie par :

<T', φ> = - <T, φ'>

où φ est une fonction test et φ' sa dérivée, qui est aussi une fonction test. Cette définition s’étend à la dérivée d’ordre n :

<T^(n), φ> = (-1)^n <T, φ^(n)>

Si x est une fonction C1 par morceaux avec des discontinuités de première espèce aux points t = {a_n}, alors :

[x(t)]' = x'(t) + ∑ [x(a_n^+) - x(a_n^-)] δ(t - a_n)

Propriétés de la dérivation

• P1 : (T + S)' = T' + S', avec

  <(T + S)', φ> = - <T + S, φ'> = - <T, φ'> - <S, φ'>
      

• P2 : Pour x ∈ C∞, (x·T)' = x·T' + x'·T
• P3 : Pour a ∈ R,

  [T(a t)]' = a T'(a t)
      

  Cas particulier a = -1 :

  [T(-t)]' = - T'(t)
      

  Si T est paire, T' est impaire ; si T est impaire, T' est paire.
• P4 : Pour p > q,

  [T(t - a)]' = T'(t - a)
      

Exemple de dérivation généralisée

Considérons la fonction échelon d’Heaviside Y(t), qui est nulle pour t < 0 et égale à 1 pour t ≥ 0. Sa dérivée généralisée est la distribution de Dirac :

<Y', φ> = - <Y, φ'> = - ∫_0^∞ φ'(t) dt = φ(0)

Ce qui correspond à :

Y' = δ

Convergences dans l’espace des distributions D’

Soit (T_n) une suite de distributions. On dit que T_n converge vers T dans D’ si, pour tout φ ∈ D :

lim_{n→∞} <T_n, φ> = <T, φ>

Cette notion s’étend à une famille de distributions indexée par un paramètre réel a :

lim_{n→a} <T_n, φ> = <T_a, φ>

De même, une suite de fonctions (x_n) converge vers une distribution T au sens des distributions si la suite des distributions associées à x_n tend vers T lorsque n → +∞.

Glossaire des termes clés

• Distribution : application linéaire continue de l’espace des fonctions test D dans C.
• Fonction test : fonction C∞ à support compact, nulle en dehors d’un segment borné.
• Distribution régulière : distribution associée à une fonction sommable.
• Distribution singulière : distribution non associée à une fonction sommable.
• Distribution de Dirac δ : distribution singulière définie par δ(φ) = φ(a).
• Peigne de Dirac : somme pondérée de distributions de Dirac, modélisant un signal discret.
• Dérivée généralisée : dérivée d’une distribution définie par <T', φ> = - <T, φ'>.
• Convergence dans D’ : convergence d’une suite de distributions T_n vers T si <T_n, φ> → <T, φ> pour tout φ ∈ D.
• Fonction sommable : fonction intégrable sur tout segment borné.
• Distribution paire/impair : T(-t) = ± T(t).

Points clés à retenir

• Les distributions généralisent la notion de fonction et permettent de définir la dérivée pour des fonctions non classiques.
• La dérivée généralisée est définie par dualité sur les fonctions test.
• Les distributions régulières correspondent à des fonctions sommables, tandis que les distributions singulières n’en correspondent pas.
• La distribution de Dirac est un exemple fondamental de distribution singulière.
• La convergence dans l’espace des distributions est définie par la convergence des valeurs sur toutes les fonctions test.
• Les opérations usuelles (somme, multiplication par une constante, translation, dérivation) se généralisent aux distributions.
• Le produit d’une distribution par une fonction C∞ est bien défini et permet des manipulations utiles en analyse et traitement du signal.