Cours Automatique

Ce cours s'adresse aux étudiants de niveau 2 en automatique et traite de l'étude harmonique des systèmes d'ordre élevé (n > 2). Il présente les critères géométriques utilisés pour analyser la stabilité des systèmes asservis complexes, notamment les critères de Nyquist, Bode et Black, en s'appuyant sur les diagrammes en boucle ouverte pour déduire la stabilité en boucle fermée.

Introduction

L'étude de la stabilité d'un système passe souvent par la détermination de ses pôles, ce qui nécessite la connaissance de la fonction de transfert en boucle fermée ou de l'équation différentielle qui décrit le système. Cependant, pour les systèmes d'ordre supérieur à deux, l'analyse analytique devient difficile. De plus, il arrive que la fonction de transfert en boucle ouverte T(p) ne soit pas disponible analytiquement, mais que des essais expérimentaux soient possibles.

Dans ce contexte, on utilise les tracés des diagrammes de Nyquist, Bode ou Black, qui permettent d'étudier la stabilité du système en boucle fermée à partir de la réponse en boucle ouverte.

Critères géométriques

Critère de Nyquist

La fonction caractéristique d'un système est donnée par :

T(p) = 0  <=> 1 + T(p) = 0

Le point critique dans le plan complexe est (-1,0). Le critère de Nyquist stipule qu'un système est stable en boucle fermée si le lieu de Nyquist en boucle ouverte, parcouru dans le sens des croissants, laisse à sa gauche ce point critique (-1,0).

<img src="Fig9.1.png" alt="Schéma fonctionnel d'un système asservi"/>

Le critère de Rivers sur le plan de Nyquist est utilisé pour vérifier cette condition de stabilité.

<img src="Fig9.2.png" alt="Diagramme de Nyquist"/>

Exemples d'application du critère de Nyquist

Considérons le schéma fonctionnel suivant :

<img src="Fig9.3.png" alt="Schéma fonctionnel exemple"/>

• Pour R(p) = K1 / (pT + 1)
• Pour R(p) = K2, avec K2 > K1

Les diagrammes de Nyquist correspondants montrent que les deux systèmes sont stables.

<img src="Fig9.4.png" alt="Diagramme de Nyquist pour deux valeurs de K"/>

Un autre exemple :

<img src="Fig9.5.png" alt="Schéma fonctionnel exemple 2"/>

• Système 1 : stable
• Système 2 : instable

Degré de stabilité : marge de gain et marge de phase

La stabilité d'un système peut être quantifiée par deux marges :

Marge de gain

Soient deux systèmes en boucle ouverte avec des transmittances T1(p) et T2(p). Si (1) est plus stable que (2), la marge de gain Mg permet de quantifier cette intuition :

Mg = 1 / OA1  et  Mg (dB) = 20 log(Mg) = -20 log(OA1)

où OA1 est l'amplitude en boucle ouverte au point critique.

Remarque : Mg > 0 dB est une condition nécessaire mais non suffisante pour la stabilité. Il faut également considérer la marge de phase.

Marge de phase

La marge de phase ϕM est définie à la fréquence ω0 telle que :

|jT(ω0)| = 1

et

ϕM = π + arg(jT(ω0))

Un système est stable si :

Mg > 0  et  ϕM > 0

<img src="Fig9.6.png" alt="Illustration de la marge de phase et de gain"/>

Application au plan de Bode

Le diagramme de Bode permet également d'évaluer la stabilité par les marges de gain et de phase :

• La marge de gain Mg est la différence en décibels entre le gain à la fréquence où la phase vaut -180° et 0 dB.
• La marge de phase ϕM est la différence entre la phase réelle à la fréquence où le gain vaut 0 dB et -180°.

Les conditions de stabilité sont :

Mg > 0  et  ϕM > 0

<img src="Fig9.7.png" alt="Diagramme de Bode"/>

Exemple :

• Système stable : courbe bleue (marge de gain et phase positives)
• Système instable : courbe rouge (marges négatives)

Application au plan de Black

Le diagramme de Black est une autre représentation graphique permettant d'analyser la stabilité en boucle ouverte. Il combine les informations de gain et de phase dans un même graphique.

Les marges de gain Mg et de phase ϕM sont définies de manière similaire :

Mg = |jT(ω1)|,  avec  arg(jT(ω1)) = -π

ϕM = π + arg(jT(ωM))  tel que  |jT(ωM)| = 1

<img src="Fig9.8.png" alt="Diagramme de Black"/>

<img src="Fig9.9.png" alt="Diagramme de Black avec marges"/>

Glossaire des termes clés

• Système d'ordre élevé : Système dont le degré de la fonction de transfert est supérieur à deux.
• Fonction de transfert en boucle ouverte T(p) : Fonction décrivant le comportement du système sans rétroaction.
• Fonction de transfert en boucle fermée : Fonction décrivant le système avec rétroaction.
• Diagramme de Nyquist : Représentation graphique de la fonction de transfert en boucle ouverte dans le plan complexe pour analyser la stabilité.
• Point critique (-1,0) : Point du plan complexe utilisé dans le critère de Nyquist pour déterminer la stabilité.
• Marge de gain (Mg) : Mesure de la stabilité liée à la quantité d'amplification supplémentaire que le système peut supporter avant de devenir instable.
• Marge de phase (ϕM) : Mesure de la stabilité liée à la quantité de déphasage supplémentaire que le système peut supporter avant de devenir instable.
• Diagramme de Bode : Représentation graphique du gain et de la phase en fonction de la fréquence, utilisée pour évaluer la stabilité.
• Diagramme de Black : Représentation combinée du gain et de la phase en boucle ouverte, facilitant l'analyse des marges de stabilité.

Points clés à retenir

• L'étude des systèmes d'ordre élevé nécessite des critères géométriques car l'analyse analytique est complexe.
• Le critère de Nyquist permet de déduire la stabilité en boucle fermée à partir du tracé en boucle ouverte en vérifiant la position du point critique (-1,0).
• Les marges de gain et de phase sont des indicateurs essentiels pour quantifier la stabilité d'un système.
• Les diagrammes de Bode et de Black sont des outils graphiques complémentaires pour évaluer ces marges.
• Un système est stable si ses marges de gain et de phase sont strictement positives.