Communication Numérique

Ce document traite des principes fondamentaux du filtrage dans les communications numériques. Il s'adresse aux étudiants en électronique, télécommunications et traitement du signal souhaitant comprendre les différents types de filtres, leurs méthodes de conception, ainsi que leur application dans la réduction du bruit et la gestion de l'interférence entre symboles.

Généralités sur les filtres

Un canal de transmission réel possède une bande passante limitée, soit physiquement, soit par des contraintes d'utilisation (débit, partage, compatibilité électromagnétique). Or, la densité spectrale de puissance (DSP) d’un signal réel, limité dans le temps, n’est jamais limitée en fréquence. Il est donc nécessaire de limiter cette DSP par filtrage.

Un filtre est caractérisé par sa fonction de transfert H, qui modifie le contenu spectral du signal. Mathématiquement, si y est la sortie et x l'entrée, on a :

y = h ∗ x
ŷ = H × x̂
où H = ˆh est la fonction de transfert du filtre.

Les principaux types de filtres sont :

• Filtre passe-bas : laisse passer les basses fréquences jusqu'à une fréquence de coupure fc.
• Filtre passe-bande : laisse passer une bande de fréquences entre f1 et f2.
• Filtre passe-haut : laisse passer les hautes fréquences au-delà de fc.

La synthèse des filtres peut se faire par méthodes analogiques (composants électroniques) ou numériques, notamment via :

• La méthode de Fourier, qui étudie H(f).
• La méthode séquentielle, basée sur la relation entre les échantillons d'entrée et de sortie.

Méthode de Fourier

Un filtre passe-bas idéal a pour fonction de transfert :

H(f) = a Rect2B(f) e^(-2iπf t0)

où Rect2B(f) est la fonction porte de largeur 2B centrée en zéro.

La réponse impulsionnelle (R.I.) correspondante est :

h(t) = 2aB sinc(2B(t − t0))

Un filtre passe-bande idéal décalé en fréquence f0 s’écrit :

H(f) = a [Rect2B(f − f0) + Rect2B(f + f0)] e^(-2iπf t0)

avec la réponse impulsionnelle :

h(t) = 4aB sinc(2B(t − t0)) cos(2πf0(t − t0))

Exemple de filtrage : pour réduire un bruit blanc additif gaussien (BBAG), on utilise un filtre passe-bas afin de supprimer les hautes fréquences.

Propriété importante : un filtre est réalisable (causal) si et seulement si sa réponse impulsionnelle est nulle en dehors d’un intervalle borné (support borné). Les filtres idéaux ne sont donc pas réalisables car leur réponse impulsionnelle est infinie.

Pour rendre un filtre réalisable, on tronque h(t) avec une fenêtre W(t) nulle en dehors d’un intervalle [t1; t2]. Différents types de fenêtres sont utilisées : rectangulaire, triangulaire, Hanning, Hamming, Blackman, cosinus surélevé. Cependant, cette troncature introduit des oscillations indésirables (phénomène de Gibbs), ce qui modifie légèrement le gain du filtre en fonction de la fréquence et diminue sa raideur.

Méthode séquentielle : filtres RIF et RII

Les filtres numériques traitent des signaux échantillonnés (xk). La relation générale est une convolution discrète :

yk = Σ hl xk−l
avec (hn) la réponse impulsionnelle discrète du filtre.

La transformée de Fourier discrète montre que :

yk = (hk) ∗ (xk)

Les filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF ou FIR) ont un support borné : hn = 0 en dehors d’un intervalle [n1; n2]. La fonction de transfert s’écrit :

h(f) = Σ hn e^(-2iπf n), n=n1..n2

Exemple simple de filtre RIF :

h0 = h1 = 1/2, hn = 0 sinon
yk = (xk + xk−1) / 2

Ce filtre réalise une moyenne locale du signal d'entrée. Sa fonction de transfert est :

h(f) = 1/2 + 1/2 e^(-2iπf) = e^(-iπf) cos(πf)

et le gain :

|h(f)|² = cos²(πf), qui tend vers 1 pour f → 0 et vers 0 pour f → ±π.

Ce filtre est un filtre passe-bas.

Les filtres RIF sont souvent trop restrictifs. On utilise alors les filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII ou IIR), définis par :

h(f) = Σ hn e^(-2iπf n), n=−∞..+∞

En pratique, on les implémente de manière récursive :

yk = Σ (βn xk−n) − Σ (αn yk−n)
avec n variant sur des indices définis, α0 = 1.

La fonction de transfert est :

H(f) = (Σ βn e^(-2iπf n)) / (Σ αn e^(-2iπf n)) = P(z) / Q(z)
avec z = e^(-2iπf)

Les fréquences de coupure sont les racines de P(z). La stabilité du filtre dépend des racines de Q(z) qui ne doivent pas annuler le dénominateur dans le domaine de stabilité.

Filtrage adapté

Considérons un signal codé avec une forme d’onde g(t), bruité :

x(t) = g(t) + w(t), t ∈ [0; Tb]

où w est un bruit blanc additif gaussien (BBAG) de densité spectrale W(f) = N0/2.

On cherche un filtre de réception h(t) tel que la sortie :

y(t) = h(t) ∗ x(t) = g0(t) + n(t)

maximise le rapport signal sur bruit (RSB) au temps de décision T :

η = |g0(T)|² / E(n²(t))

avec :

g0(T) = ∫ H(f) G(f) e^(2iπf T) df
E(n²(t)) = ∫ |H(f)|² |W(f)|² df = (N0/2) ∫ |H(f)|² df

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, η est maximal lorsque :

H(f) = k G(f) e^(−2iπf T), k ∈ ℂ

Pour des filtres réels :

h(t) = g(T − t)

Le filtre optimal, ou filtre adapté, est donc la forme temporelle inversée et retardée du signal g(t).

Effet du bruit et probabilité d’erreur

Le filtre adapté est optimal pour la détection du signal utile. La performance est mesurée par la probabilité d’erreur pe, c’est-à-dire la probabilité de confusion entre un bit 0 et un bit 1.

Exemple : signal polaire NRZ :

x(t) = +A + w(t), si bit émis = +1
x(t) = −A + w(t), si bit émis = 0

Avec p0, p1 les probabilités d’émission de 0 ou 1, et p(0|1), p(1|0) les probabilités conditionnelles d’erreur, on a :

pe = p(0|1) p1 + p(1|0) p0

La sortie du filtre adapté est :

Y = g(−t) ∗ x(t) = (1/Tb) ∫₀^Tb x(t) dt

Si un 0 a été envoyé :

Y = −A + (1/Tb) ∫₀^Tb w(t) dt

La densité de probabilité conditionnelle de Y|0 est gaussienne :

TY|0 = (1 / √(2πσ²)) exp(−(y + A)² / (2σ²))
avec σ² = N0 / (2Tb)

La probabilité d’erreur conditionnelle avec un seuil λ est :

p(1|0) = P(Y ≥ λ | 0) = (1/2) erfc((A + λ) / √(N0 / Tb))

De même :

p(0|1) = (1/2) erfc((A − λ) / √(N0 / Tb))

Si p0 = p1 et λ = 0, la probabilité d’erreur totale est :

pe = (1/2) erfc(A / √(N0 / Tb))

En posant l’énergie par bit εb = A² Tb :

pe = (1/2) erfc(√(εb / N0))

Application : Critère et filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

L’interférence entre symboles se produit lorsque le niveau échantillonné au temps de décision dépend non seulement du symbole attendu, mais aussi des symboles voisins, ce qui peut provoquer des erreurs.

La réponse globale du système avec un filtre adapté en réception est :

y(t) = Σ an r(t − nT) + bruit
avec r(t) = h(t) ∗ h(−t)

À l’instant d’échantillonnage t = kT :

y(kT) = Σ an r(kT − nT) + bk = ak r(0) + Σ_{n ≠ k} an r((k − n)T) + bk

Le terme Σ_{n ≠ k} an r((k − n)T) représente l’IES.

On définit la distorsion maximale :

Dmax = max_{n ≠ 0} |r(nT)| / |r(0)|

Si Dmax ≥ 1, l’IES provoque une erreur de détection. Si Dmax < 1, c’est une condition nécessaire pour une bonne réception.

Diagramme de l’œil

En absence d’IES, le diagramme de l’œil est complètement ouvert à l’instant de décision :

• Ouverture verticale : immunité au bruit.
• Ouverture horizontale : immunité au déphasage d’horloge.

Cas idéal : filtre de Nyquist

Le cas idéal correspond à Dmax = 0, c’est-à-dire :

r(kT) = 0, ∀ k ≠ 0

Le filtre r(t) est alors dit filtre de Nyquist.

Remarque : cette condition est triviale si la durée de l’impulsion h(t) est plus petite que T, soit |Supp(h)| ≤ 2T.

Critère fréquentiel de Nyquist

Le critère de Nyquist impose :

Σ r(t − nT) = r(t)
Σ δ(t − nT) = r(0) δt

Dans le domaine fréquentiel :

r(f) ∗ (1/T) Σ δ(f − n/T) = r(0)

Autrement dit, r(f) doit être constant sur une largeur de bande B ≥ 1/(2T).

La bande de Nyquist minimale est :

Bmin = 1/(2T)

Choix simple de filtre de Nyquist

On choisit :

R(f) = T r(0) Rect_{1/T}(f) = { 1 si |f| ≤ 1/(2T), 0 sinon }

La réponse impulsionnelle est alors :

r(t) = r(0) sinc(t / T)

Inconvénient : ce filtre n’a aucune tolérance à l’imprécision d’échantillonnage. En effet, pour un décalage ε ≠ 0 :

r(kT + ε) = sinc(kπ + πε/T) = ∞

ce qui provoque des erreurs.

Filtre en cosinus surélevé

Pour améliorer la tolérance, on impose :

r(t) = 0 pour t = ±T/2, ±3T/2, ±2T, ...

La fonction :

r(t) = r(0) sinc(2π t / T) [1 − (2t / T)²]

ou équivalemment :

r(t) = r(0) sinc(π t / T) cosc(π t / T)

avec la fonction cosinus cardinal :

cosc(x) = cos(x) / (1 − x²)

La fonction de transfert associée est :

R(f) = (T r(0) / 2) [1 + cos(π f T)], |f| ≤ 1/T

Ce filtre est appelé filtre en cosinus surélevé.

Filtre en racine de cosinus surélevé

Le filtre global r(t) est la convolution de h(t) avec h(−t) :

r(t) = h(t) ∗ h(−t)

On a :

R(f) = |H(f)|² = T r(0)/2 [1 + cos(π f T)] = T r(0) cos²(π f T / 2)

On en déduit :

H(f) = √(T r(0)) cos(π f T / 2) Rect_{2/T}(f)

La transformée inverse donne :

h(t) = (T r(0) / 2) [sinc(2t / T) − (1/2) sinc(2t / T − 1/2) − (1/2) sinc(2t / T + 1/2)]

ou encore :

h(t) = (2/π) T r(0) cosc(2t / T)

Ce filtre ne vérifie pas directement le critère de Nyquist, mais il est utilisé en pratique.

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

On définit un compromis entre le filtre idéal R0(f) et le filtre en cosinus surélevé R1(f) :

Rα = R0 pour α = 0
Rα = R1 pour α = 1
avec 0 ≤ α ≤ 1

On a :

Rα = R0 ∗ C(f)
avec C(f) = cosc(π t / T)

On remplace C(f) par :

C(f) = (1/α) cos(π f T / α) Rect_{1/T}(f / α)

La réponse temporelle est :

rα(t) = r0(t) cosc(α t / T) = sinc(π t / T) cosc(α t / T)

Ce compromis permet de choisir :

• α = 0 : tolérance maximale au bruit.
• α = 1 : tolérance maximale à l’imprécision de l’échantillonnage.

Glossaire des termes clés

• Filtre : dispositif modifiant le contenu spectral d’un signal.
• Fonction de transfert H(f) : représentation fréquentielle du filtre.
• Réponse impulsionnelle h(t) : sortie du filtre à une impulsion d’entrée.
• Filtre passe-bas : filtre qui laisse passer les basses fréquences.
• Filtre passe-bande : filtre qui laisse passer une bande de fréquences.
• Filtre passe-haut : filtre qui laisse passer les hautes fréquences.
• Filtre RIF (FIR) : filtre à réponse impulsionnelle finie, support borné.
• Filtre RII (IIR) : filtre à réponse impulsionnelle infinie, implémenté récursivement.
• Filtrage adapté : filtrage optimisé pour maximiser le rapport signal sur bruit.
• BBAG : bruit blanc additif gaussien.
• Interférence entre symboles (IES) : phénomène où un symbole est perturbé par les symboles voisins.
• Filtre de Nyquist : filtre assurant une IES nulle à l’instant d’échantillonnage.
• Critère de Nyquist : condition fréquentielle assurant l’absence d’IES.
• Filtre en cosinus surélevé : filtre avec une réponse en fréquence modifiée pour réduire l’IES.
• Filtre en racine de cosinus surélevé : filtre dont la puissance est un filtre en cosinus surélevé.
• Coefficient de retombée α : paramètre modulant le compromis entre tolérance au bruit et à l’échantillonnage.

Points clés à retenir

• Le filtrage est indispensable pour limiter la bande passante des signaux réels.
• Les filtres idéaux ne sont pas réalisables ; on utilise des fenêtres pour tronquer la réponse impulsionnelle.
• Les filtres RIF ont un support fini, tandis que les filtres RII sont récursifs et ont une réponse infinie.
• Le filtre adapté maximise le rapport signal sur bruit pour la détection optimale d’un signal bruité.
• La probabilité d’erreur dépend de la puissance du signal, du bruit et du seuil de décision.
• L’interférence entre symboles (IES) est un facteur critique à contrôler pour éviter les erreurs de détection.
• Le filtre de Nyquist garantit une IES nulle à l’instant d’échantillonnage, mais est sensible aux erreurs de synchronisation.
• Les filtres en cosinus surélevé et en racine de cosinus surélevé offrent un compromis entre performance et robustesse.
• Le coefficient de retombée α permet d’ajuster la tolérance au bruit et à la précision d’échantillonnage.