Cinématique du point

Ce cours traite de la cinématique du point, une branche fondamentale de la mécanique qui étudie le mouvement d’un point matériel dans l’espace physique. Destiné aux étudiants en sciences industrielles et en classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs, il présente les notions de repères d’espace et de temps, le calcul des vecteurs position, vitesse et accélération, ainsi que les transformations entre différents repères.

Repère d’espace et repère de temps

L’espace physique

L’espace physique est modélisé par un repère affine tridimensionnel noté ℜi = (Oi, xi, yi, zi), où Oi est un point d’origine et (xi, yi, zi) forment une base orthonormée directe. Ce repère affine associe un repère vectoriel (xi, yi, zi) dans l’espace vectoriel ℝ³.

Un vecteur quelconque V dans ce repère s’écrit :

V = a xi + b yi + c zi

où (a, b, c) sont les coordonnées cartésiennes du vecteur.

Propriétés des espaces vectoriels

Un espace vectoriel peut contenir des sous-espaces vectoriels, comme un plan ou une droite. L’intersection de deux espaces vectoriels contient au minimum le vecteur nul 0, élément neutre de l’addition vectorielle.

Représentation géométrique d’un espace affine

Dans l’espace vectoriel ℝ³, le vecteur nul 0 est représenté par un point unique, sans position spatiale précise. Tous les vecteurs passent par ce point dans la représentation graphique.

Le temps

Le temps est modélisé par un espace affine unidimensionnel noté T = (τ, t), avec un instant initial τ0. La durée entre deux instants τ1 et τ2 est un vecteur durée τ21 = τ2 - τ1, exprimé en secondes.

Déplacement d’un solide dans l’espace physique

Pour modéliser le déplacement d’un point M dans l’espace physique, on associe à l’espace affine temps T un espace affine de dimension trois ℜi. La position du point M à l’instant t est donnée par le vecteur :

OM(t) = x(t) xi + y(t) yi + z(t) zi

où x(t), y(t), z(t) sont les coordonnées cartésiennes dans le repère ℜi.

La modélisation des déplacements est appelée étude des mouvements, qui fait partie de la mécanique, limitée ici à la mécanique newtonienne des solides. Les calculs s’effectuent principalement dans des repères vectoriels.

La cinématique du point

Le changement de repère

Soit deux repères affines orthonormés directs ℜi = (Oi, xi, yi, zi) et ℜk = (Ok, xk, yk, zk), avec ℜk en mouvement par rapport à ℜi. Le point M est en mouvement par rapport à ces deux repères.

Vecteur vitesse d’un point M par rapport à un repère R

Le vecteur vitesse de M par rapport au repère Ri est défini par :

V(M/Ri) = d/dt [OM(t)] dans Ri

De même, par rapport à Rk :

V(M/Rk) = d/dt [OM(t)] dans Rk

La relation de Chasles permet d’écrire :

OM = OO + OM

et la dérivation vectorielle conduit à la formule de changement de repère :

V(M/Ri) = V(O/Ri) + Ω(Rk/Ri) ∧ MO + V(M/Rk)

où :

• V(M/Ri) est la vitesse absolue du point M pour un observateur lié à Ri,
• V(M/Rk) est la vitesse relative du point M pour un observateur lié à Rk,
• V(O/Ri) est la vitesse du point Ok (origine de Rk) dans Ri,
• Ω(Rk/Ri) est le vecteur taux de rotation instantanée du repère Rk par rapport à Ri,
• ∧ désigne le produit vectoriel.

Exemple de calcul du vecteur vitesse

Considérons un point M appartenant au solide Sk lié au repère Rk, en mouvement par rapport à Ri. Si le point Ok est fixe dans Rk, alors :

V(O/Rk) = 0

La vitesse d’entraînement du point M est :

V∈(M/Rk) = V(O/Ri) + Ω(Rk/Ri) ∧ MO

Si M est fixe dans Sk, alors :

V(M/Rk) = 0

et la vitesse absolue devient :

V(M/Ri) = V(O/Ri) + Ω(Rk/Ri) ∧ MO

Propriétés du vecteur vitesse d’entraînement

Première propriété : antisymétrie

Le vecteur vitesse d’entraînement vérifie :

V∈(M/Ri)k = - V∈(M/Rk)i

Cette relation exprime que la vitesse d’entraînement du repère Rk par rapport à Ri est l’opposée de celle de Ri par rapport à Rk.

Seconde propriété : existence d’un torseur cinématique

Le vecteur vitesse d’entraînement peut s’écrire sous la forme :

V∈(M/Rk)i = V(O/Rk)i + Ω(Rk/Ri) ∧ MO

où le vecteur Ω(Rk/Ri) est le taux de rotation instantanée du repère Rk par rapport à Ri, et V(O/Rk)i est la vitesse du point Ok dans Ri.

Ce champ vectoriel antisymétrique définit un torseur cinématique, qui modélise le mouvement d’entraînement du solide Sk lié au repère Rk par rapport à Ri.

Point coïncidant Mi(t)

Un point M appartenant au solide Sk en mouvement par rapport à Ri coïncide à chaque instant avec un point Mi(t) du repère Ri. Ce point Mi(t) est appelé point coïncidant à l’instant t.

Dans le modèle, on distingue :

• Le point M, modélisé comme un point matériel,
• Le point M lié au solide Sk, donc au repère Rk.

Champ des vecteurs-accélération

Le vecteur accélération absolue du point M par rapport à Ri est :

Γ(M/Ri) = d/dt [V(M/Ri)] dans Ri

En dérivant la relation de vitesse, on obtient :

Γ(M/Ri) = Γ(O/Ri) + dΩ/dt ∧ MO + Ω ∧ (Ω ∧ MO) + 2 Ω ∧ V(M/Rk) + Γ(M/Rk)

où :

• Γ(M/Ri) est l’accélération absolue du point M pour un observateur lié à Ri,
• Γ(M/Rk) est l’accélération relative du point M pour un observateur lié à Rk,
• Γ(O/Ri) est l’accélération du point Ok dans Ri,
• dΩ/dt est la dérivée temporelle du vecteur taux de rotation,
• Ω ∧ (Ω ∧ MO) est l’accélération centripète,
• 2 Ω ∧ V(M/Rk) est l’accélération de Coriolis.

Vecteur accélération d’entraînement

Pour un point M appartenant au solide Sk, qui n’a aucun mouvement relatif dans Rk (V(M/Rk) = 0), l’accélération d’entraînement est :

Γ∈(M/Rk)i = Γ(O/Ri) + dΩ/dt ∧ MO + Ω ∧ (Ω ∧ MO)

Ce champ vectoriel n’est pas antisymétrique, il n’existe donc pas de torseur d’accélération pour modéliser le mouvement d’entraînement.

Glossaire des termes clés

• Repère affine : système de coordonnées défini par un point origine et une base vectorielle.
• Repère vectoriel : base orthonormée associée à un repère affine, utilisée pour exprimer des vecteurs.
• Vecteur position : vecteur OM représentant la position d’un point M par rapport à un repère.
• Vecteur vitesse : dérivée temporelle du vecteur position, représentant la vitesse instantanée d’un point.
• Vecteur accélération : dérivée temporelle du vecteur vitesse, représentant l’accélération instantanée d’un point.
• Vecteur vitesse d’entraînement : vitesse d’un point M appartenant à un solide en mouvement, exprimée dans un repère en mouvement.
• Taux de rotation instantanée (Ω) : vecteur représentant la vitesse angulaire d’un repère mobile par rapport à un repère fixe.
• Torseur cinématique : représentation mathématique du mouvement d’un solide, combinant vitesse de rotation et vitesse d’entraînement.
• Point coïncidant : point du repère fixe qui coïncide instantanément avec un point mobile du solide en mouvement.
• Accélération de Coriolis : composante de l’accélération due à la rotation du repère mobile.

Points clés à retenir

• La cinématique du point étudie les vecteurs position, vitesse et accélération d’un point matériel dans différents repères.
• Le changement de repère implique la prise en compte du vecteur vitesse d’entraînement et du taux de rotation instantanée.
• Le vecteur vitesse d’entraînement est antisymétrique et peut être modélisé par un torseur cinématique.
• Le vecteur accélération comprend plusieurs termes : accélération absolue, accélération relative, accélération centripète et accélération de Coriolis.
• Il n’existe pas de torseur d’accélération car le champ d’accélération d’entraînement n’est pas antisymétrique.
• Le temps est modélisé par un espace affine unidimensionnel, avec une origine arbitraire et des durées exprimées en secondes.