Chapitre 5: Arbre de Décision (de Raiffa)

Exercice 1 - L'organisation du spectacle de Mouna

Partie A - Stratégie de décision optimale au 31 juillet

Il s'agit d'évaluer les options de Mouna à la date du 31 juillet, sans informations supplémentaires sur la météo.

Données du problème :

• Probabilité de pluie à la mi-août : P(Pluie) = 0,27
• Probabilité de soleil à la mi-août : P(Soleil) = 1 - 0,27 = 0,73
• Gain si ensoleillé : + 15 000 $
• Perte si pluie : - 20 000 $
• Coût d'annulation le 31 juillet : - 1 000 $

Calcul de l'Espérance Mathématique (EM) pour chaque décision :

1. Décision : Annuler le spectacle L'annulation entraîne la perte certaine de l'acompte. EM(Annuler) = - 1 000 $

2. Décision : Maintenir le spectacle L'espérance se calcule en pondérant les résultats possibles par leurs probabilités respectives : EM(Maintenir) = [P(Soleil) × Gain(Soleil)] + [P(Pluie) × Perte(Pluie)] EM(Maintenir) = (0,73 × 15 000) + (0,27 × - 20 000) EM(Maintenir) = 10 950 - 5 400 EM(Maintenir) = 5 550 $

Conclusion : Puisque 5 550 $ > - 1 000 $, la stratégie de décision optimale au 31 juillet, si l'on ne considère que ces deux choix, est de maintenir le spectacle.

Partie B - Stratégie de décision optimale avec attente (jusqu'au 14 août)

Mouna a maintenant la possibilité d'attendre les prévisions du 14 août. Cette attente a un coût (la pénalité d'annulation passe à 10 000 $) mais apporte une information révisée sur la probabilité de pluie ou de soleil.

Données du problème mises à jour :

• Coût d'annulation le 14 août : - 10 000 $
• P(Prévision Soleil) = 0,90
• P(Prévision Pluie) = 0,10
• P(Soleil | Prévision Soleil) = 0,80
• P(Pluie | Prévision Soleil) = 0,20
• P(Pluie | Prévision Pluie) = 0,90
• P(Soleil | Prévision Pluie) = 0,10

Nous devons évaluer l'arbre de décision en remontant (Roll-back), c'est-à-dire calculer la meilleure décision conditionnelle pour chaque prévision météo.

Scénario 1 : La météo prévoit du soleil (Probabilité = 0,90)

• Si Mouna annule : Perte = - 10 000 $
• Si Mouna maintient : EM = [P(Soleil | Prévision Soleil) × 15 000] + [P(Pluie | Prévision Soleil) × - 20 000] EM = (0,80 × 15 000) + (0,20 × - 20 000) EM = 12 000 - 4 000 = 8 000 $
• Décision optimale si "Prévision Soleil" : Maintenir (car 8 000 $ > - 10 000 $). L'espérance conditionnelle de cette branche est de 8 000 $.

Scénario 2 : La météo prévoit de la pluie (Probabilité = 0,10)

• Si Mouna annule : Perte = - 10 000 $
• Si Mouna maintient : EM = [P(Soleil | Prévision Pluie) × 15 000] + [P(Pluie | Prévision Pluie) × - 20 000] EM = (0,10 × 15 000) + (0,90 × - 20 000) EM = 1 500 - 18 000 = - 16 500 $
• Décision optimale si "Prévision Pluie" : Annuler (car - 10 000 $ > - 16 500 $). L'espérance conditionnelle de cette branche est de - 10 000 $.

Calcul de l'espérance de la stratégie "Attendre le 14 août" : EM(Attendre) = [P(Prévision Soleil) × EM(Branche Soleil)] + [P(Prévision Pluie) × EM(Branche Pluie)] EM(Attendre) = (0,90 × 8 000) + (0,10 × - 10 000) EM(Attendre) = 7 200 - 1 000 = 6 200 $

Comparaison finale au 31 juillet :

• Annuler immédiatement : - 1 000 $
• Maintenir sans informations : 5 550 $
• Attendre les informations du 14 août : 6 200 $

Conclusion : Puisque 6 200 $ est l'espérance mathématique la plus élevée, la stratégie de décision optimale est d'attendre le 14 août. Si la station locale prévoit du soleil, Mouna doit maintenir le spectacle. Si la station prévoit de la pluie, elle doit annuler.

Exercice 2 - Le forage de test

Note concernant le sujet : Les énoncés et paramètres de départ pour cet exercice sont absents du document source fourni (diapositive 50 vide). Cependant, la conclusion d'évaluation (diapositive 52) donne directement la stratégie optimale dérivée de l'arbre manquant.

Stratégie optimale fournie par le document :

• Faire le test.
• Ne pas forer s'il se révèle qu'il n'y a pas de structure (ns).
• Forer dans les autres cas.
• Le profit espéré avec cette stratégie (valeur de l'arbre remonté) est de 22 500 $.

Exercice 3 - Examen Session principale 2013-2014

Note concernant la matrice des gains : Bien que la matrice initiale ne soit pas affichée explicitement, nous pouvons la déduire des calculs de critères fournis dans les diapositives suivantes. Elle oppose trois décisions (d1 = cultiver petite surface, d2 = cultiver moyenne surface, d3 = cultiver grande surface) à trois états de la nature (n1, n2, n3).

Matrice des gains reconstituée :

Décisions	État n1	État n2	État n3
d1	400	400	400
d2	100	600	600
d3	- 300	300	900

Question 3.1 - Critère MaxMin

Le critère MaxMin correspond à l'attitude d'un décideur extrêmement prudent (pessimiste) cherchant à maximiser le pire résultat possible.

1. Détermination des gains minimums pour chaque décision :
   • Min profit(d1) = 400
   • Min profit(d2) = 100
   • Min profit(d3) = - 300

Sélection du maximum parmi ces minimums : Max(400, 100, - 300) = 400.

Décision : Choisir d1.

Question 3.2 - Critère MaxMax

Le critère MaxMax correspond à l'attitude d'un décideur optimiste cherchant le gain maximal absolu.

1. Détermination des gains maximums pour chaque décision :
   • Max profit(d1) = 400
   • Max profit(d2) = 600
   • Max profit(d3) = 900
2. Sélection du maximum parmi ces maximums : Max(400, 600, 900) = 900.

Décision : Choisir d3.

Question 3.3 - Critère MinMax Regret

Ce critère vise à minimiser le regret maximal (le manque à gagner par rapport à la meilleure décision a posteriori pour un état donné).

1. Identification des meilleurs gains par état de la nature :

   • Pour n1 : Max(400, 100, - 300) = 400
   • Pour n2 : Max(400, 600, 300) = 600
   • Pour n3 : Max(400, 600, 900) = 900

2. Construction du tableau des regrets (Gain Max de l'état - Gain de la décision) :

Décisions	Regret n1	Regret n2	Regret n3	Regret Maximal
d1	400 - 400 = 0	600 - 400 = 200	900 - 400 = 500	500
d2	400 - 100 = 300	600 - 600 = 0	900 - 600 = 300	300
d3	400 - (- 300) = 700	600 - 300 = 300	900 - 900 = 0	700

3. Sélection de la décision minimisant ce regret maximal : Min(500, 300, 700) = 300.

Décision : Choisir d2.

Question 3.4 - Critère de l'espérance mathématique des gains (EMG)

Ce critère est utilisé en environnement probabilisable. Il s'agit de faire la moyenne pondérée des gains par la probabilité de survenue des états. Probabilités données : P(n1) = 0,2 ; P(n2) = 0,35 ; P(n3) = 0,45.

• EMG(d1) = (0,2 × 400) + (0,35 × 400) + (0,45 × 400) = 400
• EMG(d2) = (0,2 × 100) + (0,35 × 600) + (0,45 × 600) = 20 + 210 + 270 = 500
• EMG(d3) = (0,2 × - 300) + (0,35 × 300) + (0,45 × 900) = - 60 + 105 + 405 = 450

Décision : Le maximum des espérances mathématiques est 500, il faut donc choisir d2.

Question 3.5 - Évaluation avec acquisition d'information additionnelle

Dans cette section, nous envisageons d'acheter une étude statistique (indicateurs i1, i2, i3) pour affiner les probabilités. La formule des probabilités totales est appliquée dans le document pour déterminer la probabilité d'obtenir chaque indicateur de demande :

• p(ik) = p(ik/n1)p(n1) + p(ik/n2)p(n2) + p(ik/n3)p(n3)
• p(i1) = (0,6 × 0,2) + (0,4 × 0,35) + (0,1 × 0,45) = 0,305
• p(i2) = (0,3 × 0,2) + (0,4 × 0,35) + (0,4 × 0,45) = 0,38
• p(i3) = (0,1 × 0,2) + (0,2 × 0,35) + (0,5 × 0,45) = 0,315

L'évaluation de l'arbre complet avec les probabilités révisées (théorème de Bayes) démontre que la valeur de l'information (différence entre l'espérance avec information parfaite/échantillonnale et l'espérance initiale de d2 qui est 500) est de 38.

Stratégie optimale (selon l'énoncé) :

• Si le prix de l'étude est supérieur à 38, alors ne pas l'acheter et choisir d'emblée la décision a priori : cultiver une moyenne surface (d2).
• Si le prix de l'étude est inférieur à 38 (note : la source indique par erreur textuelle "supérieure" deux fois, mais la logique décisionnelle impose que l'on n'achète une information que si son coût est strictement inférieur à la Valeur Espérée de l'Information), alors l'acheter.
  • Si l'étude annonce une demande croissante, cultiver une grande surface (d3).
  • Sinon, cultiver une surface moyenne (d2).

Méthode

Pour réussir les exercices sur les arbres de décision (de Raiffa) :

1. Identifier les nœuds : Distinguez clairement les décisions (nœuds carrés, sous votre contrôle) des événements ou "états de la nature" (nœuds ronds, gérés par les probabilités).
2. Ordonner le temps : Dessinez l'arbre de gauche à droite dans l'ordre chronologique de l'apparition des informations et des décisions. N'oubliez pas la décision de "ne rien faire".
3. Réviser les probabilités : Si une étude ou une prévision s'ajoute, utilisez le Théorème de Bayes et la formule des probabilités totales pour passer des probabilités a priori aux probabilités a posteriori.
4. Calculer à l'envers (Roll-back) : Partez toujours de l'extrême droite de l'arbre (les gains ou pertes finaux) et remontez vers la gauche.
   • Sur un nœud de hasard, calculez l'Espérance Mathématique (somme pondérée des gains par leurs probabilités).
   • Sur un nœud de décision, appliquez le critère du maximum (ou de l'utilité espérée maximale, MEU).
5. Valoriser l'information : La valeur de l'information additionnelle est toujours calculée en soustrayant le gain espéré initial (sans information) du gain espéré de l'arbre avec information. Une information ne s'achète jamais plus cher que cette valeur.