Antennas and Electromagnetic Radiation Analysis

Exercice 1 - Analyse du dipôle rayonnant

Question 1 - Démonstration du champ électrique rayonné

La répartition du courant sur le dipôle de longueur 2l est donnée par I(z) = I₀ cos(2πz/λ). Puisque 2l = λ/2, nous avons l = λ/4. En posant k = 2π/λ (le nombre d'onde), l'expression du courant devient I(z) = I₀ cos(kz).

L'expression générale du champ rayonné par le dipôle s'écrit : E(θ) = [ (j 60 π) / (λ r) ] sin(θ) e^(-jkr) ∫_{-l}^{l} I(z) e^(j k z cos θ) dz

Calculons l'intégrale de distribution spatiale : Intégrale = ∫_{-λ/4}^{λ/4} I₀ cos(kz) e^(j k z cos θ) dz

En utilisant la formule d'Euler pour exprimer le cosinus, cos(kz) = (e^(jkz) + e^(-jkz)) / 2, l'intégrale se sépare en deux parties faciles à intégrer. Après évaluation aux bornes -λ/4 et λ/4 (où k l = π/2), on obtient un résultat classique des antennes filaires : Intégrale = I₀ [ 2 / (k sin²(θ)) ] × cos( (π/2) cos θ )

Remplaçons ce résultat dans l'expression du champ, en nous rappelant que k = 2π/λ : E(θ) = [ (j 60 π) / (λ r) ] sin(θ) e^(-jkr) × I₀ [ (2 λ) / (2 π sin²(θ)) ] cos( (π/2) cos θ )

En simplifiant les termes (π, λ et un sin(θ) au numérateur et dénominateur) : E(θ) = j 60 I₀ (e^(-jkr) / r) [ cos( (π/2) cos θ ) / sin(θ) ]

Ce qui correspond exactement à l'expression demandée.

Question 2 - Calcul du gain du dipôle

Pour trouver le gain, il faut déterminer la puissance totale rayonnée (P_rad) et la densité de puissance maximale (U_max). La densité de puissance rayonnée U(θ) (en W/sr) est donnée par : U(θ) = (r² |E|²) / (2 η₀) = (r² |E|²) / (240 π)

En substituant l'amplitude de E(θ) trouvée à la question 1 : U(θ) = (r² / 240 π) × (3600 I₀² / r²) × [ cos²( (π/2) cos θ ) / sin²(θ) ] U(θ) = (15 I₀² / π) [ cos²( (π/2) cos θ ) / sin²(θ) ]

Le maximum de rayonnement se produit dans le plan horizontal, pour θ = π/2. U_max = U(π/2) = (15 I₀² / π) × (1 / 1) = 15 I₀² / π

La puissance totale rayonnée est l'intégrale de la densité de puissance sur toute la sphère : P_rad = ∫{0}^{2π} ∫{0}^{π} U(θ) sin(θ) dθ dφ = 2π ∫{0}^{π} U(θ) sin(θ) dθ P_rad = 2π × (15 I₀² / π) ∫{0}^{π} [ cos²( (π/2) cos θ ) / sin(θ) ] dθ

L'astuce de l'énoncé nous donne la valeur de cette intégrale (≈ 1,22) : P_rad = 30 I₀² × 1,22 = 36,6 I₀²

Le gain (en supposant une antenne sans pertes, Gain = Directivité) est le rapport entre la densité de puissance maximale et la densité de puissance moyenne (P_rad / 4π) : Gain = (4π U_max) / P_rad Gain = [ 4π (15 I₀² / π) ] / (36,6 I₀²) = 60 / 36,6 ≈ 1,639

Le gain du dipôle λ/2 est donc bien de 1,64.

Exercice 2 - Calculs de champ électrique

Question 1 - Champ à 1 km pour une antenne λ/2

Données : r = 1000 m, I₀ = 1 A. L'amplitude du champ est |E| = 60 (1 / 1000) [ cos( (π/2) cos θ ) / sin(θ) ] = 0,06 × [ cos( (π/2) cos θ ) / sin(θ) ] (en V/m). Attention : l'angle θ en coordonnées sphériques est l'angle zénithal (par rapport à la verticale). L'angle donné α est par rapport à l'horizontale. La relation est θ = 90° - α.

• Pour α = 0° (θ = 90°) : |E| = 0,06 × (cos(0) / 1) = 0,06 V/m = 60 mV/m.
• Pour α = 30° (θ = 60°) : |E| = 0,06 × [ cos( (π/2) × 0,5 ) / sin(60°) ] = 0,06 × [ cos(π/4) / (√3/2) ] = 0,06 × [ (√2/2) / (√3/2) ] = 0,06 × √(2/3) ≈ 0,049 V/m = 49 mV/m.
• Pour α = 60° (θ = 30°) : |E| = 0,06 × [ cos( (π/2) × √3/2 ) / sin(30°) ] ≈ 0,06 × [ 0,209 / 0,5 ] ≈ 0,0251 V/m = 25,1 mV/m.

Question 2 - Comparaison avec un dipôle court

Considérons que la longueur totale de ce dipôle court est L = 0,1 λ. L'expression de l'amplitude du champ électrique pour un dipôle court est : |E_court| = (60 π I₀ L) / (λ r) sin(θ)

En remplaçant par nos valeurs (I₀ = 1, r = 1000, L/λ = 0,1) : |E_court| = (60 π × 1 × 0,1) / 1000 × sin(θ) = (6 π / 1000) sin(θ) ≈ 0,0188 sin(θ) V/m = 18,8 sin(θ) mV/m.

Direction (horizontale α)	Angle zénithal (θ)	Champ dipôle λ/2	Champ dipôle court 0,1 λ
0°	90°	60,0 mV/m	18,8 mV/m
30°	60°	49,0 mV/m	16,3 mV/m
60°	30°	25,1 mV/m	9,4 mV/m

Comparaison : Dans des conditions d'alimentation identiques (I₀ = 1 A), le dipôle demi-onde rayonne un champ nettement plus intense dans toutes les directions par rapport au dipôle court (approximativement 3 fois plus grand à l'horizontale).

Exercice 3 - Bilan de liaison hertzienne

Question 1 - Courant I₀ pour l'antenne émettrice dipôle λ/2

Données : D = 10 km = 10000 m, f = 10 GHz, champ E = 100 μV/m = 10⁻⁴ V/m. Nous nous plaçons dans la direction de rayonnement maximal pour déterminer le courant minimal requis (θ = π/2). L'amplitude du champ se simplifie à : |E| = 60 I₀ / D 10⁻⁴ = 60 I₀ / 10000 I₀ = (10⁻⁴ × 10000) / 60 = 1 / 60 A ≈ 16,67 mA.

Question 2 - Courant I₀ pour le patch

L'équation du document source définissant la constante d'amplitude du patch est illisible en raison d'une erreur d'extraction PDF (séquence "m/5,109Ω=ρ"). Ce paramètre nous manque pour calculer numériquement I₀. Nous allons donc résoudre la question en nommant cette constante d'amplitude "ρ". La forme du champ est |E| = ρ (I₀ / D) f(θ, φ). Pour obtenir E = 100 μV/m avec une orientation optimale (θ = π/2, φ = π/2) : f(π/2, π/2) = sin(π/2) sin(π/2) = 1. Par conséquent, I₀ = (|E| × D) / ρ. Remarque : Si l'on suppose que la constante manquante est l'impédance du vide divisée par 2π (soit environ ρ = 60 Ω, pour s'aligner sur la formule du dipôle précédent), le résultat numérique serait identique à la question 1, soit 16,67 mA.

Question 3 - Diagramme de rayonnement du patch

Bien que la Figure 1 soit absente du document extrait, on peut déduire la bonne réponse. La fonction f(θ, φ) = sin(θ) sin(φ) pour des angles variant de 0 à π ne possède qu'un seul lobe principal. Ce lobe pointe selon l'axe Y (où θ = 90° et φ = 90°). Parmi les 4 propositions, il faut choisir la représentation montrant un lobe unique large occupant l'hémisphère avant (orienté vers l'avant du patch).

Question 4 - Calcul du gain Gp du patch

La directivité (égale au gain Gp pour une antenne sans pertes) se calcule avec D = 4π / Ω_A, où Ω_A est l'angle solide équivalent. L'intensité de rayonnement normalisée est U(θ, φ) = sin²(θ) sin²(φ). Ω_A = ∫{0}^{π} ∫{0}^{π} sin²(θ) sin²(φ) sin(θ) dθ dφ Ω_A = [ ∫{0}^{π} sin³(θ) dθ ] × [ ∫{0}^{π} sin²(φ) dφ ]

La première intégrale (sin³θ) vaut 4/3. La deuxième (sin²φ) vaut π/2. Ω_A = (4/3) × (π/2) = 2π / 3 sr. Gp = 4π / (2π / 3) = 6. En décibels isotropes : Gp(dBi) = 10 log₁₀(6) ≈ 7,78 dBi.

Question 5 - Résistance de rayonnement du patch

La puissance totale rayonnée s'exprime P_rad = (1/2) R_r I₀². À partir du champ : U_max = (D² |E_max|²) / (120π) = (ρ² I₀²) / (120π) (en utilisant la valeur efficace, ou 240π pour l'amplitude crête. Prenons la convention crête standard : 240π). P_rad = U_max × Ω_A = [ (ρ² I₀²) / (240π) ] × (2π / 3) = (ρ² I₀²) / 360. En égalant les deux expressions de P_rad : (1/2) R_r I₀² = (ρ² I₀²) / 360 => R_r = ρ² / 180 Ω.

Question 6 - Réception parabolique

a) Puissance électromagnétique captée

La densité de puissance incidente (vecteur de Poynting) est S = E² / (120π) (en considérant E comme une valeur efficace, ce qui est l'usage en bilan de liaison). L'antenne étant pointée de façon optimale, sa surface effective est approchée par sa surface géométrique : A = (π d²) / 4. P_capt = S × A = [ E² / (120π) ] × [ (π d²) / 4 ] = (E² d²) / 480.

b) Puissance micro-onde utilisable Pu

Seulement 60 % de la puissance est convertie (rendement γ = 0,6). Pu = γ × P_capt = (γ E² d²) / 480.

c) Valeur numérique de d

On nous donne : Pu = -70 dBm = 10⁻¹⁰ W, E = 100 μV/m = 10⁻⁴ V/m. 10⁻¹⁰ = (0,6 × (10⁻⁴)² × d²) / 480 10⁻¹⁰ = (0,6 × 10⁻⁸ × d²) / 480 d² = (480 × 10⁻¹⁰) / (0,6 × 10⁻⁸) = (4,8 × 10⁻⁸) / (0,6 × 10⁻⁸) = 8. d = √8 ≈ 2,83 m. Le diamètre de l'antenne est d'environ 2,83 mètres.

Exercice 4 - Antenne à motif composé

L'expression du champ extraite du document source présente des corruptions de caractères importantes. Nous modéliserons le comportement en nous basant sur les fragments lisibles qui suggèrent la présence d'un facteur d'élément patch multiplié par un facteur de réseau : Expression modélisée étudiée : F(θ, φ) = sin(θ) sin(φ) [ cos( π cos(θ) + π/6 ) ]

Question 1 - Direction du maximum de radiation

L'indépendance de l'angle azimutal φ permet de maximiser immédiatement le terme sin(φ) pour φ_m = π/2. Pour trouver l'angle d'élévation θ_m, il faut chercher le maximum de la fonction g(θ) = sin(θ) cos( π cos(θ) + π/6 ). Le terme en cosinus déplace le lobe principal en dehors de l'axe pur (θ = π/2) en raison du déphasage de π/6. Un tel point maximum s'obtient typiquement par résolution numérique de la dérivée g'(θ) = 0. Sans le déphasage (π/6), le maximum serait strictement à θ = π/2.

Question 2 - Diagrammes de rayonnement

• Plan azimutal (élévation fixée à θ_m) : Le diagramme suit F(φ) = K sin(φ) (où K est la constante obtenue en évaluant g(θ_m)). C'est un cercle tangent ou un double lobe symétrique.
• Plan d'élévation (azimut fixé à φ_m = π/2) : Le tracé suit la fonction |sin(θ) cos( π cos(θ) + π/6 )|.

Pour s'assurer de générer des diagrammes corrects sans erreur d'interprétation, le script Python suivant est mis à votre disposition pour visualiser le diagramme dans le plan d'élévation avec la fonction proposée :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Définition des angles de 0 à pi (plan d'élévation)
theta = np.linspace(0, np.pi, 500)

# Fonction modélisée F(theta)
F_theta = np.abs(np.sin(theta) * np.cos(np.pi * np.cos(theta) + np.pi/6))
F_norm = F_theta / np.max(F_theta) # Normalisation

# Tracé en coordonnées polaires
plt.figure(figsize=(6, 6))
ax = plt.subplot(111, polar=True)
ax.plot(theta, F_norm, label="Plan d'élévation (φ = π/2)")
ax.set_theta_zero_location("N") # 0 degré en haut (Z axis)
ax.set_theta_direction(-1)      # Sens horaire
plt.title("Diagramme de rayonnement normalisé")
plt.legend()
# plt.show() # Exécuter localement pour visualiser

Question 3 - Angles d'ouverture à -3dB

La recherche de l'ouverture s'effectue en trouvant les angles où la puissance est divisée par 2, c'est-à-dire où l'amplitude normalisée tombe à 1/√2 (environ 0,707).

• Dans le plan θ = θ_m : F(φ) ∝ sin(φ). sin(φ) = 1/√2 => φ₁ = 45° (π/4) et φ₂ = 135° (3π/4). L'angle d'ouverture est Δφ = 135° - 45° = 90°.
• Dans le plan φ = φ_m : La détermination exacte de Δθ nécessite de résoudre numériquement g(θ) / g(θ_m) = 1/√2, dont les racines délimiteront l'ouverture angulaire du lobe principal tracé par le script ci-dessus.

Exercice 5 - Rayonnement d'un dipôle en présence d'un plan conducteur

La hauteur est fixée à h = λ. Le nombre d'onde k multiplié par h vaut donc kh = (2π/λ) × λ = 2π. L'antenne réelle (en z = h) s'accompagne d'une antenne image virtuelle (en z = -h). Le facteur de réseau (AF) dépend du coefficient de réflexion (R) du sol métallique, défini par la polarisation de l'antenne.

Question 1 - Dipôle perpendiculaire au plan de la figure (horizontal)

La polarisation est horizontale (parallèle au sol métallique). Le coefficient de réflexion est R = -1. L'antenne image est en opposition de phase. Le facteur de réseau s'écrit : AF(θ) = 2j sin(kh cos θ). Avec kh = 2π, la forme du champ global est proportionnelle à |sin(2π cos θ)|. L'étude des extrema pour 0 ≤ θ ≤ 90° (au-dessus du plan) donne :

• Minimas (zéros) : sin(2π cos θ) = 0 => 2π cos θ = nπ => cos θ = n/2. Pour n = 0, 1, 2 : cos θ = 0, 0,5 ou 1. Les angles d'annulation sont θ = 90°, 60° et 0°.
• Maximas : sin(2π cos θ) = ±1 => 2π cos θ = π/2 + nπ => cos θ = 1/4 ou 3/4. Les lobes principaux pointent vers θ ≈ 75,5° et θ ≈ 41,4°.

Question 2 - Dipôle dans le plan de la figure, parallèle au sol (horizontal)

La polarisation reste horizontale, donc R = -1. Le facteur de réseau AF(θ) est strictement identique au cas précédent : |sin(2π cos θ)|. Les positions des minimas (90°, 60°, 0°) et des maximas (75,5°, 41,4°) dictées par l'interférence avec le sol sont exactement les mêmes. Seule l'enveloppe extérieure sera modifiée par le diagramme propre du dipôle dans ce plan spécifique, qui pourrait rajouter un zéro à θ = 90° s'il pointe dans l'axe de l'antenne.

Question 3 - Dipôle dans le plan de la figure, perpendiculaire au sol (vertical)

L'antenne est en polarisation verticale. Le coefficient de réflexion d'un plan métallique parfait pour cette polarisation est R = +1. L'antenne image est en phase. Le facteur de réseau s'écrit : AF(θ) = 2 cos(kh cos θ) = 2 cos(2π cos θ). L'étude des extrema au-dessus du plan (0 ≤ θ ≤ 90°) donne :

• Minimas du réseau : cos(2π cos θ) = 0 => 2π cos θ = π/2 + nπ => cos θ = 1/4 ou 3/4. Le champ s'annule à θ ≈ 75,5° et θ ≈ 41,4°.
• Maximas du réseau : cos(2π cos θ) = ±1 => 2π cos θ = nπ => cos θ = 0, 0,5 ou 1. Les maximas d'interférence sont à θ = 90°, 60° et 0°.
• Attention physique (piège classique) : Bien que le réseau constructif possède un maximum à θ = 0° (verticale pure), un dipôle vertical ne rayonne pas dans son propre axe (son diagramme propre E₀ s'annule à 0°). Le rayonnement global total aura donc un minimum strict à θ = 0°.

Méthode

Face à ce type de sujet mêlant antennes filaires, surfaces rayonnantes (patch) et bilans de liaison :

1. Distinguer la source de son environnement : Ne confondez jamais le diagramme de l'élément rayonnant seul (le dipôle, le patch) et le facteur de réseau induit (plan réflecteur, réseau d'antennes). Le champ total est systématiquement le produit multiplicatif des deux.
2. Repères angulaires : Identifiez immédiatement la convention d'angle. En électromagnétisme classique, θ part toujours du zénith (verticale). Si l'énoncé vous donne un angle "par rapport à l'horizontale", convertissez-le systématiquement avant tout calcul (θ = 90° - élévation).
3. Puissances et amplitudes : Soyez très vigilants concernant les formules de densité de puissance (Poynting). Le dénominateur de l'impédance caractéristique est 240π si vous utilisez l'amplitude crête du champ E, mais il devient 120π si E est une valeur efficace (RMS). Les bilans de liaison en télécommunications s'expriment la quasi-totalité du temps en valeurs efficaces, ce qui valide des diamètres de parabole réalistes.