Analysis of Probability and Statistics Exercises

Ce document présente un devoir surveillé en probabilités et statistiques, visant à évaluer la compréhension des lois exponentielle, binomiale et normale ainsi que la maîtrise des calculs de probabilités, d'espérance, d'écart-type, d'intervalles de confiance et d'application de la loi normale centrée réduite.

Exercice 1. Loi exponentielle

On modélise la durée de vie T (en années) d’un lave-linge par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. On sait que 60 % des lave-linges fonctionnent encore après 7 ans.

1. Détermination du paramètre λ

La loi exponentielle vérifie :

P(T ≥ t) = e^−λt

Or, on a P(T ≥ 7) = 0,6, donc :

e^−7λ = 0,6

En prenant le logarithme népérien :

−7λ = ln(0,6) ⇒ λ = −(ln 0,6) / 7

Calcul numérique :

ln(0,6) ≈ −0,5108

λ ≈ 0,5108 / 7 ≈ 0,073

Réponse : λ ≈ 0,073

2. a) Calcul de P(T < 0,5) (durée de vie inférieure à 6 mois)

On utilise la fonction de répartition :

P(T < t) = 1 − e^−λt

Pour t = 0,5 an :

P(T < 0,5) = 1 − e^{−0,073 × 0,5} = 1 − e^−0,0365

Calcul :

e^−0,0365 ≈ 0,964

P(T < 0,5) ≈ 1 − 0,964 = 0,036

Réponse : P(T < 0,5) ≈ 0,036

2. b) Calcul de P(T ≥ 10) (durée de vie supérieure ou égale à 10 ans)

P(T ≥ 10) = e^{−λ × 10} = e^{−0,073 × 10} = e^−0,73

Calcul :

e^−0,73 ≈ 0,48

Réponse : P(T ≥ 10) ≈ 0,48

3. a) Calcul de la demi-vie t

La demi-vie est le temps t où la probabilité de défaillance est égale à la probabilité de fonctionnement :

P(T < t) = P(T ≥ t)

Or, P(T < t) = 1 − e^−λt et P(T ≥ t) = e^−λt

Donc :

1 − e^−λt = e^−λt ⇒ 1 = 2 e^−λt ⇒ e^−λt = 1/2

En prenant le logarithme :

−λt = ln(1/2) = −ln 2 ⇒ t = (ln 2) / λ

Calcul :

ln 2 ≈ 0,693

t ≈ 0,693 / 0,073 ≈ 9,5 années

Réponse : La demi-vie est d’environ 9,5 ans.

3. b) Calcul de l’espérance de vie d’un lave-linge

Pour une loi exponentielle, l’espérance est :

E(T) = 1 / λ

Calcul :

E(T) = 1 / 0,073 ≈ 13,7 années

Réponse : L’espérance de vie est d’environ 13,7 ans.

4. Nombre minimal de lave-linges à installer

On note :

• p = P(T ≥ 10) = 0,48
• q = 1 − p = 0,52

La probabilité qu’aucun des n lave-linges ne fonctionne après 10 ans est qⁿ.

La probabilité qu’au moins un fonctionne est donc :

1 − qⁿ

La condition est :

1 − qⁿ ≥ 0,9 ⇒ qⁿ ≤ 0,1

En prenant le logarithme :

n ln q ≤ ln 0,1 ⇒ n ≥ ln 0,1 / ln q

Calcul :

ln 0,1 ≈ −2,3026

ln 0,52 ≈ −0,6539

n ≥ (−2,3026) / (−0,6539) ≈ 3,52

Comme n doit être entier, il faut au moins 4 lave-linges.

Réponse : Il faut installer au moins 4 lave-linges.

Exercice 2. Loi normale

Les trois questions sont indépendantes.

1. a) Espérance µ et écart-type σ de X ~ B(125 ; 0,3)

Pour une loi binomiale B(n ; p) :

• µ = n p
• σ = √(n p (1 − p))

Calcul :

µ = 125 × 0,3 = 37,5

σ = √(125 × 0,3 × 0,7) = √(26,25) ≈ 5,12

Réponse : µ = 37,5 et σ ≈ 5,12

1. b) Justification de l’approximation normale

La condition d’application de l’approximation de Moivre-Laplace est :

• n ≥ 30
• n p ≥ 5 et n (1 − p) ≥ 5

Vérification :

125 ≥ 30 (vrai)

125 × 0,3 = 37,5 ≥ 5 (vrai)

125 × 0,7 = 87,5 ≥ 5 (vrai)

Donc l’approximation est justifiée.

Réponse : On peut appliquer l’approximation par la loi normale centrée réduite.

1. c) Calcul de P(X > 35)

On calcule :

Z = (35 − 37,5) / 5,12 ≈ −0,49

Donc :

P(X > 35) ≈ P(Z > −0,49)

La loi normale centrée réduite est symétrique, donc :

P(Z > −0,49) = 1 − P(Z ≤ −0,49) = P(Z ≤ 0,49)

En utilisant la table de la loi normale :

P(Z ≤ 0,49) ≈ 0,69

Réponse : P(X > 35) ≈ 0,69

1. d) Détermination de a tel que P(µ − a ≤ X ≤ µ + a) = 0,9

On cherche a tel que :

P(µ − a ≤ X ≤ µ + a) = 0,9

En termes de Z :

P(−a/σ ≤ Z ≤ a/σ) = 0,9

La densité de la loi normale centrée réduite est symétrique, donc :

P(−z ≤ Z ≤ z) = 0,9 ⇒ P(Z ≤ z) = 0,95

La valeur z correspondante est :

z ≈ 1,64

Donc :

a / σ = 1,64 ⇒ a = 1,64 × σ = 1,64 × 5,12 ≈ 8,42

Réponse : a ≈ 8,42

2. a) Intervalle de fluctuation de la proportion f

La proportion dans la population est p = 0,514.

L’intervalle de fluctuation est centré en p avec un rayon :

r = 1 / √n ≈ 1 / √40 ≈ 0,158

Donc l’intervalle est :

[p − r ; p + r] = [0,514 − 0,158 ; 0,514 + 0,158] = [0,356 ; 0,669]

Réponse : L’intervalle de fluctuation à 95 % est [0,356 ; 0,669].

2. b) Test de sous-représentation dans une classe

La proportion observée est :

f = 16 / 40 = 0,4

Cette valeur appartient à l’intervalle [0,356 ; 0,669].

Donc, avec un risque de 5 %, on ne peut pas conclure à une sous-représentation.

Réponse : Non, les filles ne sont pas sous-représentées dans cette classe.

3. a) Loi du nombre de billes rouges et approximation

Le nombre de billes rouges suit une loi binomiale B(n = 50 ; p) avec p inconnu.

On peut approcher cette loi par une loi normale de paramètres :

• µ = n p
• σ = √(n p (1 − p))

Réponse : Loi binomiale B(50 ; p), approximée par une loi normale N(µ, σ²).

3. b) Intervalle de confiance au niveau 0,95 pour p

La proportion observée est :

p̂ = 13 / 50 = 0,26

L’intervalle de confiance au niveau 0,95 est donné par :

[p̂ − z × √(p̂(1 − p̂)/n) ; p̂ + z × √(p̂(1 − p̂)/n)]

avec z ≈ 1,96.

Calcul :

√(0,26 × 0,74 / 50) = √(0,1924 / 50) = √0,003848 ≈ 0,062

Intervalle :

0,26 ± 1,96 × 0,062 ≈ 0,26 ± 0,121

Donc :

[0,139 ; 0,381]

Le corrigé donne un intervalle [0,12 ; 0,40], proche de ce calcul.

Réponse : L’intervalle de confiance à 95 % pour p est environ [0,12 ; 0,40].

Méthode

Ce devoir récompense la maîtrise des propriétés fondamentales des lois exponentielle, binomiale et normale, ainsi que la capacité à appliquer les formules de probabilités, d’espérance, d’écart-type et d’intervalles de confiance. Il est essentiel de :

• Connaître et utiliser correctement les formules spécifiques à chaque loi.
• Justifier l’application des approximations, notamment celle de Moivre-Laplace pour la loi binomiale.
• Effectuer des calculs intermédiaires précis, en particulier les logarithmes et racines carrées.
• Traduire correctement les conditions de probabilité en inégalités et les résoudre.
• Présenter clairement les raisonnements, en explicitant chaque étape.

Les erreurs fréquentes à éviter sont :

• Confondre les fonctions de répartition et de survie pour la loi exponentielle.
• Omettre de vérifier les conditions d’application des approximations normales.
• Ne pas arrondir correctement ou précipiter les calculs intermédiaires.
• Ne pas justifier les inégalités ou les formules utilisées.
• Confondre les probabilités d’événements complémentaires.