Chapitre : Mécanique quantique

2 ème année préparatoire

Etats non stationnaires

Etats non stationnaires dans un puits infini

Une particule de masse m, se déplaçant selon l'axe Ox, est confinée dans un puits de

potentiel infini, de largeur a.

Les fonctions d'onde des états stationnaires de cette particule sont :

𝜓𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝜑𝑛(𝑥) 𝑒−𝑖

𝐸𝑛

ℎ

𝑡 = √

𝑎

sin (

𝑛𝜋𝑥

𝑎

) 𝑒−𝑖

𝐸𝑛

ℎ

𝑡 avec 𝐸𝑛 = 𝑛2 𝜋2ℎ2

2𝑚𝑎2

On envisage un état décrit par la combinaison linéaire des deux premiers états

stationnaires 𝑛 = 1 et 𝑛 = 2.

La fonction d'onde s'écrit alors:

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝛼 𝜑1(𝑥)𝑒−𝑖

𝐸1

ℎ 𝑡 + 𝛽 𝜑2(𝑥)𝑒−𝑖

𝐸2

ℎ 𝑡

On note dans la suite 𝐸1

ℎ

= 𝜔 et 𝐸2

ℎ

= 22 𝐸1

ℎ

= 4𝜔.

1) Proposer des valeurs adéquates pour 𝛼 et 𝛽.

2) Arranger l'expression de la fonction d'onde 𝜓 (x, t)

-En fonction de 𝜑1(𝑥), 𝜑2(𝑥) et 𝜔.

-Explicitement en fonction de x.

3) Etablir l'expression de la densité de probabilité de présence de la particule

𝜌(x, t) et interpréter le résultat obtenu.

4) Représenter 𝜑1(𝑥) et 𝜑2(𝑥).

5) Déduire de ce qui précède la représentation de 𝜓 (x, t) et 𝜌 (x, t) aux

instants 𝑡 = 0, 𝑡 =

𝑇

, 𝑡 =

𝑇

et 𝑡 =

3𝑇

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